2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与圆综合问题

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2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与圆综合问题 一、解答题（共9小题；共117分）1. 如图，圆 O 的半径为 1，过点 A2,0 的直线与圆 O 相切于点 B，与 y 轴相交于点 C． （1）求 AB 的长；（2）求直线 AB 的解析式． 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 0,m，且 m≠0，点 B 的坐标为 n,0，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘．得到线段 BA1，称点 A1 为点 A 关于点 B 的“伴随点”，图 1 为点 A 关于点 B 的“伴随点”的示意图． （1）已知点 A0,4，①当点 B 的坐标分别为 1,0，−2,0 时，点 A 关于点 B 的“伴随点”的坐标分别为  ，  ；（2）②点 x,y 是点 A 关于点 B 的“伴随点”，直接写出 y 与 x 之间的关系式；（3）如图 2，点 C 的坐标为 −3,0，以 C 为圆心，2 为半径作圆，若在 ⊙C 上存在点 A 关于点 B 的“伴随点”，直接写出点 A 的纵坐标 m 的取值范围． 3. 如图，一次函数 y=x+4 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的一动点，以 P 为圆心，r 为半径画圆． （1）若点 P 的横坐标为 −3，当 ⊙P 与 x 轴相切时，求半径 r 的值并判断此时 ⊙P 与 y 轴的位置关系；（2）若 r=52，当 ⊙P 与坐标轴有且只有 3 个公共点时，求点 P 的坐标． 4. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d1，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1=d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A6,0，B0,23．（1）在 C4,0，D2,0，E1,3 三点中，点 A 和点 B 的等距点是  ．（2）已知直线 y=2． ①若点 A 和直线 y=2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为  ． ②若直线 y=b 上存在点 A 和直线 y=2 的等距点，求实数 b 的取值范围．（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：y=−33x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的 ⊙O．若 ⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求 r 的取值范围． 5. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙C，给出如下定义：若 ⊙C 上存在两个点 A，B，使得点 P 在射线 BC 上，且 ∠APB=14∠ACB 0∘<∠ACB<180∘，则称 P 为 ⊙C 的依附点．（1）当 ⊙O 的半径为 1 时， ①已知点 D−1,0，E0,−2，F2.5,0，在点 D，E，F 中，⊙O 的依附点是  ； ② 点 T 在直线 y=−x 上，若 T 为 ⊙O 的依附点，求点 T 的横坐标 t 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=−x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上的所有点都是 ⊙C 的依附点，直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围． 6. 解答下列问题．（1）在直角坐标平面内，已知 ⊙O 的半径为 R，点 A 为 ⊙O 上任意一点，定点 B 与圆心 O 的距离为 m，线段 AB 的长度为 l．则当 m≥R 时，l 的最大值和最小值依次为  ，  ，当 m0 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B，若线段 AB 上存在点 P，使得 3≤KP≤23，请你直接写出 b 的取值范围． 7. 定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 Px,y 的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y−x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．（1）①点 A1,3 的“坐标差”为  ． ②抛物线 y=−x2+3x+3 的“特征值”为  ．（2）某二次函数 y=−x2+bx+cc≠0 的“特征值”为 1，点 Bm,0 与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等． ①直接写出 m=  （用含 c 的式子表示）； ②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M2,3 为圆心，2 为半径的圆与直线 y=x 相交于点 D，E 请直接写出 ⊙M 的“特征值”为  ． 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是 x 轴外的一点，若平面内的点 B 满足：线段 AB 的长度与点 A 到 x 轴的距离相等，则称点 B 是点 A 的“等距点”．（1）若点 A 的坐标为 0,2，点 P12,2，P21,−4，P3−3,1 中，点 A 的“等距点”是  ；（2）若点 M1,2 和点 N1,8 是点 A 的两个“等距点”，求点 A 的坐标；（3）记函数 y=33xx>0 的图象为 L，⊙T 的半径为 2，圆心坐标为 T0,t．若在 L 上存在点 M，⊙T 上存在点 N，满足点 N 是点 M 的“等距点”，直接写出 t 的取值范围． 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6 cm，∠ABC=30∘，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 3 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0≤t≤6），连接 PQ，以 PQ 为直径作 ⊙O． （1）当 t=1 时，求 △BPQ 的面积；（2）设 ⊙O 的面积为 y，求 y 与 t 的函数解析式；（3）若 ⊙O 与 Rt△ABC 的一条边相切，求 t 的值．答案第一部分1. （1） 连接 OB，则 △OAB 为直角三角形， ∴AB=22−12=3．    （2） ∵∠A=∠A，∠ABO=∠AOC， ∴△ABO∽△AOC． ∴ABAO=BOOC，即：32=1OC．解得：OC=233， ∴ 点 C 坐标为 0,233．设一次函数的解析式为：y=kx+233，将点 A2,0 代入，解得：k=−33， ∴ 以直线 AB 为图象的一次函数的解析式为：y=−33x+233．2. （1） 5,1；2,−2【解析】①如图 1 中，作 A1M⊥x 轴于 M． ∴AB=BA1，∠AOB=∠A1MB=90∘，易证 ∠ABO=∠A1， ∴△ABO≌△BA1MAAS， ∴OA=BM，OB=A1M，当 A0,4，B1,0 时，BM=4，A1M=1，OM=5， ∴A15,1，当 A0,4，B−2,0 时，同法可得 A12,−2．    （2） y=x−4．【解析】如图 2 中，取 N4,0，则 OA=ON，作 A1M⊥x 轴于 M， ∵△ABO≌△BA1M， ∴OA=BM=ON，OB=A1M， ∴OB=MN=A1M， ∴△A1MN 是等腰直角三角形， ∴∠A1NM=45∘， ∴ 点 A1 在经过点 N，与 x 轴的夹角为 45∘ 的直线上，易知这条直线的解析式为 y=x−4， ∴P1x,y 是点 A 关于点 B 的“伴随点”，y 与 x 之间的关系式为 y=x−4．    （3） m≤−1 或 m≥1．【解析】如图 3 中，由（1）可知，A0,m 关于 B 的“伴随点”A1x,y， y 与 x 之间的关系式：y=x−m，由题意可知，当直线 y=x−m 与 ⊙C 有交点时，在 ⊙C 上存在点 A 关于点 B 的“伴随点”，易知相切时 m=±1，观察图象可知，满足条件的 m 的范围为：m≤−1 或 m≥1．3. （1） 把 x=−3 代入 y=x+4，得：y=1， ∴P−3,1，即此时点 P 到 x 轴的距离为 1，到 y 轴的距离为 3， ∴ 当 ⊙P 与 x 轴相切时，r 的值为 1，此时 ⊙P 与 y 轴相离．    （2） 当 ⊙P 与 x 轴相切，与 y 轴相交时，则点 P 的纵坐标为 52，把 y=52 代入 y=x+4，得：x=−32， ∴ 点 P 的坐标为 −32,52；当 ⊙P 与 y 轴相切，与 x 轴相交时，则点 P 的横坐标是 −52，把 x=−52 代入 y=x+4，得：y=32， ∴ 点 P 的坐标为 −52,32．综上，⊙P 与坐标轴有且只有 3 个公共点时，点 P 的坐标为 −32,52 或 −52,32．4. （1） D【解析】∵A6,0，B0,23，C4,0，D2,0，E1,3， ∴AC=2，BC=27；DA=4，BD=4；AE=34，BE=22−123， ∵AD=BD，故点 D 是点 A 和点 B 的等距点．    （2） ① 4,0 或 8,0 ②如图，设直线 y=b 上的点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点，连接 MA，过点 M 作直线 y=2 的垂线，垂足为点 N． ∵ 点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点， ∴MN2=MA2． ∵ 点 M 在直线 y=b 上，故可设点 M 的坐标为 x,b，则 2−b2=b2+6−x2， ∴x2−12x+4b+32=0， ∵ 方程有实根， ∴Δ=−122−44b+32≥0， ∴b≤1．【解析】①设等距点的坐标为 x,0， ∴2=∣x−6∣， ∴x=4或8， ∴ 等距点的坐标为 4,0 或 8,0．    （3） 如图 2，由题意知，直线 l1 和直线 l2 的等距点在直线 l3：y=−33x+3 上，而直线 l1 和 y 轴的等距点在直线 l4：y=−3x+23 或 l5：y=33x+23 上． ∴r=3 或 r≥3．5. （1） ① E，F； ② −3220 与以 O 为圆心， 32 为半径的圆相切时，32=32b， ∴b=1；当 y=−3x+3bb>0 与以 O 为圆心， 3 为半径的圆相切时，32=3b， ∴b=2， ∴1≤b≤2．7. （1） ① 2；② 4【解析】① ∵ 点 A 的坐标为 1,3， ∴ 点 A 的坐标差为：3−1=2；② ∵ 二次函数的解析式为：y=−x2+3x+3， ∴ 该二次函数图象上所有点的坐标差都满足：y−x=−x2+3x+3−x=−x2+2x+3， ∵y−x=−x2+2x+3=−x−12+4，即该二次函数图象上点的坐标差的最大值为 4， ∴ 该二次函数图象的特征值为：4．    （2） ① −c ② ∵m=−c， ∴B−c,0，将其代入 y=x2+bx+cc≠0 中，得 −c2−bc+c=0， ∵c≠0， ∴−c−b+1=0， ∴c=−b+1, ⋯⋯① ∴y=x2+bx+c 的“坐标差”为：y−x=−x2+bx+c−x=−x2+b−1x+c， ∵“特征值”为 1， ∴4⋅−1⋅c−b−124×−1=1, ⋯⋯② 将①代入②中，得：b=3， ∴c=−2， ∴ 抛物线的表达式为 y=−x2+3x−2；【解析】①由已知易得点 C 的坐标为 0,c，而 B 的坐标为 m,0， ∴ 点 C 的坐标差为：c−0，点 B 的坐标差为：0−m，又 ∵ 点 B 与点 C 的“坐标差”相等， ∴c−0=0−m， ∴m=−c；    （3） 22+1【解析】如图，过点 M 作直线 PF⊥DE，交 ⊙M 于点 P 和 F， ∵ 直线 DE 的解析式为：y=x，点 M 的坐标为 2,3， ∴ 直线 PF 的解析式为 y=−x+5， ∵ 直线 y=x 上所有点的坐标差都等于 0，而在直线 y=x 的右侧距离直线 y=x 越远的点的坐标差就越大，而 ⊙M 上点 P 距离直线 y=x 最远， ∴ 点 P 的坐标差就是 ⊙M 的“特征值”，设点 P 的坐标为 x,y， ∵ 点 P 到点 M2,3 的距离为 2， ∴ 有 x−22+y−32=4，又 ∵ 点 Px,y 在直线 y=−x+5 上， ∴x−22+−x+22=4，解得：x1=2+2，x2=2−2， ∴ 对应的：y1=3−2，y2=3+2， ∴ 点 P 的坐标为 2−2,3+2， ∴ 点 P 的坐标差为：3+2−2−2=22+1， ∴⊙M 的“特征值”为：22+1．8. （1） P1，P3【解析】∵AP1=2−0=2， AP2=1−02+−4−22=37， AP3=−3−02+1−22=2， ∴ 点 A 的“等距点”是 P1，P3．    （2） ∵ 点 M1,2 和点 N1,8 是点 A 的两个“等距点”， ∴AM=AN， ∴ 点 A 在线段 MN 的垂直平分线上．设 MN 与其垂直平分线交于点 C，点 A 的坐标为 m,n，如图 1 所示． ∵ 点 M1,2，点 N1,8， ∴ 点 C 的坐标为 1,5，AM=AN=n=5， ∴CM=3，AC=AM2−CM2=4， ∴m=1−4=−3 或 m=1+4=5， ∴ 点 A 的坐标为 −3,5 或 5,5．    （3） −20，则 TM=a−02+33a−t2，MD=33a， MN=a−02+33a−t2−2．依题意，得：MD=MN，即 33a=a−02+33a−t2−2，整理，得：a2−233t+2a+t2−4=0， ∵ 关于 a 的一元二次方程有解， ∴Δ=−233t+22−4×1×t2−4≥0，即 t2−2t−8≤0，解得：−2≤t≤4．当 t=−2 时，a2=0，不合题意，舍去． ∴t 的取值范围为 −2

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