2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（二）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 已知正比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象与反比例函数 y=5−kx（k 为常数，k≠5）的图象有一个交点的横坐标是 2．
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）若点 Ax1,y1，Bx2,y2 是反比例函数 y=5−kx 图象上的两点，且 x1
2. 如图，已知直角坐标平面内的两点 A3,2，点 B6,0，过点 B 作 y 轴的平行线交直线 OA 于点 C．
（1）求直线 OA 所对应的函数解析式；
（2）若某一个反比例函数的图象经过点 A，且交 BC 于点 D，连接 AD，求 △ACD 的面积．

3. 如图，反比例函数 y=−8x 的图象与一次函数 y=kx+5（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A−2,b，B 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线 AB 向下平移 mm>0 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求 m 的值．

4. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kxx>0 的图象经过边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B，直线 y=mx+m+1 与 y=kxx>0 的图象交于点 D（点 D 在直线 BC 的上方），与 x 轴交于点 E．
（1）求 k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记 y=kxx>0 的图象在点 B，D 之间的部分与线段 AB，AE，DE 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 m=12 时，直接写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围．

5. 已知一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限内的图象交于点 A1,m．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 B 在反比例函数的图象上，且点 B 的横坐标为 2．若在 x 轴上存在一点 M，使 MA+MB 的值最小，求点 M 的坐标．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=kx+2kk>0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与函数 y=mxx>0 的图象的交点 P 位于第一象限．
（1）若点 P 的坐标为 1,6，
①求 m 的值及点 A 的坐标；
② PBPA= ．
（2）直线 l2:y=2kx−2 与 y 轴交于点 C，与直线 l1 交于点 Q，若点 P 的横坐标为 1，
①写出点 P 的坐标（用含 k 的式子表示）；
②当 PQ≤PA 时，求 m 的取值范围．

7. 在 △ABC 中，BC 边的长为 x，BC 边上的高为 y，△ABC 的面积为 2．
（1）y 关于 x 的函数关系式是 ，x 的取值范围是 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线 y=−x+3 向上平移 a（a>0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 a 的值．

8. 如图，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=6x 的图象交于点 A，B，其中点 A 的横坐标为 3，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，连接 BC．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）在 x 轴上有一点 P，若 S△POA=43S△ABC，求点 P 的坐标．

9. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象相交于 A1,2，Bn,−1 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若 △ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标．

10. 已知，如图，一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y=nx（n 为常数且 n≠0）的图象在第二象限交于点 C，CD⊥x轴，垂足为点 D，若 OB=2OA=3OD=6．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若两函数图象的另一个交点为 E，在 x 轴上有一点 P，使得 S△PCE=21，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. （1） 由题意得 2k=5−k2，解得 k=1，
∴ 正比例函数的表达式为 y=x，反比例函数的表达式为 y=4x，解 x=4x 得 x=±2，由 y=x 得 y=±2，
∴ 这两个函数图象的交点坐标为 2,2 、 −2,−2．
（2） ∵ 反比例函数 y=4x 的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x1y2；
当 0y2；
当 x1<0 ∵y1=4x1<0，y2=4x2>0，
∴y12. （1） 设直线 OA 的解析式为 y=kx，
∵A3,2，
∴2=3k，解得 k=23，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=23x；
（2） 设经过点 A 的反比例函数的解析式为 y=mx，
∴2=m3，
∴m=6．
∴ 反比例函数的解析式 y=6x，
∵BD∥y 轴，BD⊥x 轴，
∵B6,0，
∴C，D 的横坐标为 6，
把 x=6 代入 y=23x 得 y=23×6=4，
∴C6,4，
把 x=6 代入 y=6x 得 y=1，
∴D6,1，
∴CD=4−1=3，
∴S△ACD=12×3×6−3=92．
3. （1） 把 A−2,b 代入 y=−8x，
得 b=−8−2=4，
所以 A 点坐标为 −2,4，
把 A−2,4 代入 y=kx+5，
得 −2k+5=4，
解得 k=12，
所以一次函数解析式为 y=12x+5；
（2） 将直线 AB 向下平移 mm>0 个单位长度得直线解析式为 y=12x+5−m，
根据题意方程组 y=−8x,y=12x+5−m 只有一组解，
消去 y 得 −8x=12x+5−m，
整理得 12x2−m−5x+8=0，
Δ=m−52−4×12×8=0，
解得 m=9 或 m=1，
即 m 的值为 1 或 9．
4. （1） 由题意可知：边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B 的坐标为 2,2，
∵ 函数 y=kxx>0 的图象经过 B2,2，
∴k=4．
（2） ① 2 个．
②当 m 大于 12 时，直线以 −1,1 为中心逆时针旋转，新生成的第一个整点的坐标为 1,2；
当 m=1 时，如图所示，此时整点数也为 3．
综上，m 的取值范围是 12【解析】①由图象可知，当 m=12 时，区域 W 内有两个整点，坐标为 0,1，1,1．
5. （1） ∵A1,m 在一次函数 y=2x 的图象上，
∴m−2．
将 A1,2 代入反比例函数 y=kx，得 k=2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=2x．
（2） 作点 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ，连接 AʹB 交 x 轴于点 M，
此时 MA+MB 最小，
A 关于 x 轴的对称点为 Aʹ1,−2，易知 B2,1．
∴ 直线 AʹB 的表达式为 y=3x−5，
∴ 点 M 的坐标为 53,0．
6. （1） ①令 y=0，则 kx+2k=0．
∵k>0，解得 x=−2．
∴ 点 A 的坐标为 −2,0．
∵ 点 P 的坐标为 1,6，
∴m=6．
② 13
【解析】提示：如图，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，过点 B 作 BE⊥PM 于点 E，
由 △PBE∽△PAM，得 PBPA=BEAM=13．
（2） ① P1,3k．
②令 kx+2k=2kx−2，解得 x=2+2k．
∴ 点 Q 的横坐标为 2+2k，
∵2+2k>1k>0，
∴ 点 Q 在点 P 的右侧．
如图，分别过点 P，Q 作 PM⊥x 轴于 M，QN⊥x 轴于 N，
则点 M，点 N 的横坐标分别为 1，2+2k．
若 PQ=PA，则 PQPA=1，
∴PQPA=MNMA=1．
∴MN=MA，
∴2+2k−1=3，解得 k=1．
∴ 当 PQPA=MNMA≤1 时，k≥1．
∴m=3k≥3．
∴ 当 PQ≤PA 时，m≥3．
7. （1） y=4x；x>0
【解析】∵ 在 △ABC 中，BC 边的长为 x，BC 边上的高为 y，△ABC 的面积为 2，
∴12xy=2，
∴xy=4，
∴y 关于 x 的函数关系式是 y=4x，x 的取值范围为 x>0．
（2） 在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示：
（3） 将直线 y=−x+3 向上平移 a（a>0）个单位长度后所得直线的解析式为 y=−x+3+a，
联立得 y=−x+3+a,y=4x, 整理得 x2−3+ax+4=0，
∵ 平移后所得的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴Δ=−3+a2−16=0，
解得 a=1 或 a=−7（不合题意，舍去），
故此时 a 的值为 1．
8. （1） ∵ 点 A 在反比例函数 y=6x 的图象上，且横坐标为 3，
∴ 点 A 的坐标为 3,2．
∵ 点 A 在正比例函数 y=kx 的图象上，
∴3k=2，
∴k=23，
∴ 正比例函数的解析式为 y=23x．
（2） ∵ 正比例函数与反比例函数的图象交于点 A，B，
∴ 点 B 与点 A 关于原点对称，
又 ∵ 点 A 的坐标为 3,2，
∴ 点 B 的坐标为 −3,−2，
∴S△ABC=12×3×2+12×3×2=6．
（3） ∵S△POA=43S△ABC=8，
∴12OP⋅AC=8，
∴OP=8，
∵ 点 P 在 x 轴上，
∴ 点 P 的坐标为 8,0 或 −8,0．
9. （1） 将点 A1,2 代入 y=mx，得 2=m1，
∴m=2，
∴y=2x，
当 y=−1 时，x=−2，
∴B−2,−1，
将 A1,2，B−2,−1 代入 y=kx+b，得 k+b=2,−2k+b=−1,
解得 k=1,b=1,
∴y=x+1，
∴ 一次函数的解析式为 y=x+1，反比例函数的解析式为 y=2x．
（2） 在 y=x+1 中，当 y=0 时，x+1=0，解得 x=−1，
∴C−1,0，
设 Pn,0，则 PC=∣−1−n∣，
∵S△ACP=12⋅PC⋅yA=4，
∴12×∣−1−n∣×2=4，
解得 n=3 或 n=−5，
∴ 点 P 的坐标为 3,0 或 −5,0．
10. （1） ∵OB=2OA=6，
∴OB=6，OA=3，
∴ 点 A 的坐标为 3,0，点 B 的坐标为 0,6．
（2） ∵3OD=6，
∴OD=2，
∴D−2,0．
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴OBCD=AOAD，
∴6CD=35，
∴CD=10，
∴ 点 C 的坐标为 −2,10．
∵ 反比例函数 y=nx 的图象经过点 C−2,10，
∴n=−20，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−20x．
（3） 把 A3,0，B0,6 代入 y=kx+b，
得 3k+b=0,b=6, 解得 k=−2,b=6.
∴ 一次函数的解析式为 y=−2x+6．
由 y=−2x+6,y=−20x, 得 x=−2,y=10, 或 x=5,y=−4.
故另一个交点 E 的坐标为 5,−4．
设在 x 轴上有一点 P，使得 S△PCE=21．
∵S△PCE=S△PCA+S△PAE=12×AP×10+12×AP×4=7AP，
∴7AP=21，
∴AP=3，
∵A3,0，
∴P0,0或6,0．