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2021年北京海淀区中关村中学高二上学期期末数学试卷
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这是一份2021年北京海淀区中关村中学高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若图中直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3 ，则
A. k1
2. 设点 M 是 z 轴上一点，且点 M 到 A1,0,2 与点 B1,−3,1 的距离相等，则点 M 的坐标是
A. −3,−3,0B. 0,0,−3
C. 0,−3,−3D. 0,0,3
3. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an+2an+1+1，则 a13=
A. 143B. 156C. 168D. 195
4. 已知点 A5,−1，Bm,m，C2,3，若 △ABC 为直角三角形且 AC 边最长，则整数 m 的值为
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为 0.5 和 0.7，则线路能够正常工作的概率是
A. 0.35B. 0.65C. 0.85D. 57
6. 若圆 x2+y2−2x−4y=0 的圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，则 a 的值为
A. −2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. −2 或 0
7. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息．某人在银行贷款金额为 A 元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款 1 次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止．若月利率 p 固定不变，按“复利”计算本息和，分 n 个月还清（贷款 1 个月后开始第 1 次还款），则此人每月还款金额为
A. An 元B. A1+pnn 元
C. A1+pn1+pn−1 元D. Ap1+pn1+pn−1 元
8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 的最小值是
A. 2B. 2C. 4D. 22
9. 已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2+y24=1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为 MF1 的圆上，则 NF2 的最大值为
A. 2B. 4C. 8D. 16
10. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an−1．若对任意正整数 n 都有 λSn+1−Sn<0 恒成立，则实数 λ 的取值范围为
A. −∞,1B. −∞,12C. −∞,13D. −∞,14
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 ．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−2,6 关于直线 3x−4y+5=0 的对称点的坐标为 ．
13. 数列 an 中，已知 a1=1，若 an−an−1=2（n≥2 且 n∈N*），则 an= ，若 anan−1=2（n≥2 且 n∈N*），则 an= ．
14. 若点 O 是线段 AB 上一点，则 OB⋅OA+OA⋅OB=0；类比到平面的情形：若 O 是 △ABC 内一点，有 S△OAB⋅OC+S△OBC⋅OA+S△OCA⋅OB=0；类比到空间的情形：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 ．
15. 设事件 A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件 A 至少发生一次的概率为 6364，则事件 A 恰好发生一次的概率为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
16. 5 名师生站成一排照相留念，其中教师 1 人，男生 2 人，女生 2 人．
（1）求两名女生相邻而站的概率；
（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率．
17. 已知等差数列 an 满足：a1+a3+a5=24，an=an−2−2（n≥3 且 n∈N+）．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求数列 an 的前 n 项和 Sn．
18. 在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形，∠CAD=90∘，EF∥BC，EF=12BC，AC=2，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若二面角 E−AC−F 的余弦值为 33，求点 D 到平面 ACF 的距离．
19. 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M2,0，AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，点 T−1,1 在 AD 边所在直线上．
（1）求 AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形 ABCD 外接圆的方程．
20. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M 是侧棱 CC1 上一点，设 MC=h．
（1）若 BM⊥A1C，求 h 的值．
（2）若 h=2，求直线 BA1 与平面 ABM 所成的角．
21. 如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴的两端点为 A，B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形．
（1）求椭圆的方程．
（2）若 C，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MD⊥CD，连接 CM，交椭圆于点 P，证明：OM⋅OP 为定值．
（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP，MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】由图可知，l1 的倾斜角 α1>90∘，
所以 k1<0，l2，l3 的倾斜角满足 0∘<α3<α2<90∘，
所以 k32. B
3. C【解析】由 an+1=an+2an+1+1，得 an+1+1=an+1+12，
所以 an+1+1−an+1=1．
又 a1=0，
所以数列 an+1 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，则 an+1=n，
所以 an=n2−1，
所以 a13=132−1=168．
4. D
5. C
6. C【解析】把 x2+y2−2x−4y=0 化为标准方程为 x−12+y−22=5，故圆心坐标为 1,2，由圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，得 22=∣1−2+a∣2，所以 a=2 或 a=0．
7. D【解析】因为贷款金额为 A 元，月利率为 p，分 n 个月还清，
所以本息和一共为 A1+pn 元，
设每个月还款金额为 Q 元，则 A1+pn＝Q+Q1+p+Q1+p2+⋯+Q1+pn−1，
由等比数列求和公式可得 A1+pn=Q1+pn−11+p−1，
所以 Q=Ap1+pn1+pn−1，
所以此人每月还款金额为 Ap1+pn1+pn−1 元．
故选：D．
8. C【解析】设直线 AB 的倾斜角为 θ，
可得 ∣AF∣=21−csθ，∣BF∣=21+csθ，
则 ∣AF∣⋅∣BF∣=21−csθ×21+csθ=4sin2θ≥4，
当 θ=π2 时，等号成立．
9. B
10. C
【解析】当 n=1 时，S1=2a1−1，即 a1=2a1−1，得 a1=1；
当 n≥2 时，由 Sn=2an−1，得 Sn−1=2an−1−1，
两式相减得 an=2an−2an−1，得 an=2an−1，
所以 anan−1=2，所以数列 an 为等比数列，且首项为 1，公比为 2，
所以 an=1×2n−1=2n−1．
所以 Sn=2an−1=2×2n−1−1=2n−1，
由 λSn+1−Sn<0，
得 λ因为数列 SnSn+1 单调递增，其最小项为 S1S2=2−122−1=13，所以 λ<13，
因此，实数 λ 的取值范围是 −∞,13．
第二部分
11. x25+y2=1
【解析】直线 x−2y+2=0 与 x 轴的交点为 −2,0，即为椭圆的左焦点，故 c=2．
直线 x−2y+2=0 与 y 轴的交点为 0,1，即为椭圆的上顶点，故 b=1．
所以 a2=b2+c2=5，
所以椭圆的方程为 x25+y2=1．
12. 4,−2
【解析】设点 A−2,6 关于直线 3x−4y+5=0 的对称点为 Bx0,y0，则 34⋅y0−6x0+2=−1,3−2+x02−46+y02+5=0, 解得 x0=4,y0=−2.
13. 2n−1，2n−1
【解析】在数列 an 中，由 an−an−1=2（n≥2 且 n∈N*），可知数列是公差为 2 的等差数列，
又 a1=1，所以 an=1+2n−1=2n−1；
由 anan−1=2（n≥2 且 n∈N*），可知数列是公比为 2 的等比数列，
又 a1=1，所以 an=1×2n−1=2n−1．
14. VO−BCD⋅OA+VO−ACD⋅OB+VO−ABD⋅OC+VO−ABC⋅OD=0
15. 964
【解析】设事件 A 发生的概率为 p，由题意知 1−p3=1−6364=164，解得 p=34，则事件 A 恰好发生一次的概率为 C31×3×142=964．
第三部分
16. （1） 5 名师生站成一排照相留念共有 A55=120 种站法．
记“两名女生相邻而站”为事件 A，将两名女生“捆绑”视为一个整体与其余 3 个人全排列，有 A44 种排法，再将两名女生排序有 A22 种站法，
所以共有 A22A44=48 种不同站法，则 PA=48120=25，
即两名女生相邻而站的概率为 25．
（2） 记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 B，事件 B 分两类：
①教师站在一端，另一端由男生站，有 A21A21A33=24 种站法；
②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的 2 个位置之一，A22A21A22=8 种站法，
所以事件 B 共包含 24+8=32 种站法，
则 PB=32120=415，
即教师不站中间且女生不站两端的概率为 415．
17. （1） 因为等差数列 an 满足 a1+a3+a5=24，
所以 3a3=24，
所以 a3=8，
设 an 的公差为 d，
因为 an=an−2−2，
所以 an−an−2=2d=−2，
所以 d=−1，an=a3+n−3d=11−n．
（2） 由（1）可知 an=11−n，则 an=∣11−n∣，
当 n≤11，n∈N+ 时，Sn=na1+an2=n210+11−n=n21−n2；
当 n>11，n∈N+ 时，
Sn=S11+a12+⋯+an=55+n−11a12+an2=55+n−1110−n2=n2−21n2+110.
综上所述，Sn=n21−n2,n≤11,n∈N+n2−21n2+110,n>11,n∈N+．
18. （1） 因为 ∠CAD=90∘，
所以 AD⊥AC，
又因为 平面ACE⊥平面ABCD，且 平面ACE∩平面ABCD=AC，
所以 AD⊥平面AEC，CE⊂平面AEC，
所以 AD⊥CE，
又 AC=2，AE=EC=1．
所以 AC2=AE2+CE2，
所以 AE⊥EC，
因为 EF∥BC，BC∥AD，
所以 EF∥AD，
即 A，D，E，F 共面，
又 AE∩AD=A，
所以 CE⊥平面ADEF，
因为 AF⊂面ADEF，
所以 CE⊥AF．
（2） 因为 平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD=90∘，
如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 O−xyz，
设 AD=2a，则 A0,0,0，C2,0,0，E22,0,22，F22,−a,22，
由 AD⊥面ACE 知平面 ACE 的一个法向量 n=0,1,0，
设平面 ACF 的一个法向量 m=x,y,z，因为
AC=2,0,0，AF=22,−a,22，
所以 2x=0,22x−ay+22z=0,
取 z=2，y=1a，
则 m=0,1a,2，
则 cs⟨m,n⟩=m⋅n∣m∣∣n∣=1a2+1a2=12a2+1，
因为二面角 E−AC−F 的余弦值为 33，
所以 12a2+1=33，即 a=1，
所以 m=0,1,2，AD=0,2,0，
设点 D 到平面 ACF 的距离为 d，则 d=∣AD⋅m∣∣m∣=23=233，
所以点 D 到平面 ACF 的距离 233．
19. （1） 因为 AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，且 AD 与 AB 垂直，
所以直线 AD 的斜率为 −3，
又因为点 T−1,1 在直线 AD 上，
所以 AD 边所在的直线的方程为 y−1=−3x+1，即 3x+y+2=0．
（2） 由 x−3y−6=0,3x+y+2=0, 解得点 A 的坐标为 0,−2，
因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M2,0，
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心，
又 ∣AM∣=2−02+0+22=22，
从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 x−22+y2=8．
20. （1） 以 A 为原点，以 AB，AC，AA1 为坐标轴建立空间直角坐标系 A−xyz，
则 B2,0,0，A10,0,4，C0,2,0，M0,2,h，
所以 BM=−2,2,h，A1C=0,2,−4，
若 BM⊥A1C，则 BM⋅A1C=0，即 4−4h=0，
所以 h=1．
（2） 当 h=2 时，M0,2,2，BM=−2,2,2，AB=2,0,0，BA1=−2,0,4，
设平面 ABM 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅AB=0,n⋅BM=0, 即 2x=0,−2x+2y+2z=0,
令 z=1 可得 n=0,−1,1，
所以 csn,BA1=n⋅BA1nBA1=42×25=105，
设直线 BA1 与平面 ABM 所成的角为 θ，则 sinθ=csn,BA1=105，
所以 θ=arcsin105．
21. （1） 由题意，得 b=c=2，a=2，
所以，所求椭圆的方程是 x24+y22=1．
（2） 由（1）知，C−2,0，D2,0．
由题意可设 CM 所在的直线方程为 y=kx+2 （ k≠0 ），Px1,y1．
因为 MD⊥CD，所以 M2,4k．
由 x24+y22=1,y=kx+2, 消去 y 并整理得 1+2k2x2+8k2x+8k2−4=0．
所以 −2x1=8k2−41+2k2，即 x1=2−4k21+2k2．
因为 y1=kx1+2=4k1+2k2，所以点 P2−4k21+2k2,4k1+2k2．
从而 OM⋅OP=2⋅2−4k21+2k2+4k⋅4k1+2k2=41+2k31+2k2=4，
即 OM⋅OP 为定值．
（3） 设存在 Qx0,0 （ x0≠−2 ）使得以 MP 为直径的圆恒过 DP，MQ 的交点，
则 DP⊥MQ，所以 QM⋅DP 恒为 0．
由（2）可知 QM=2−x0,4k，DP=−8k21+2k2,4k1+2k2．
所以 QM⋅DP=2−x0⋅−8k21+2k2+4k⋅4k1+2k2=8k21+2k2x0．
当 x0=0，即 Q 为 0,0 时，QM⋅DP 恒为 0．
所以存在 Q0,0，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP，MQ 的交点．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若图中直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3 ，则
A. k1
2. 设点 M 是 z 轴上一点，且点 M 到 A1,0,2 与点 B1,−3,1 的距离相等，则点 M 的坐标是
A. −3,−3,0B. 0,0,−3
C. 0,−3,−3D. 0,0,3
3. 已知数列 an 满足 a1=0，an+1=an+2an+1+1，则 a13=
A. 143B. 156C. 168D. 195
4. 已知点 A5,−1，Bm,m，C2,3，若 △ABC 为直角三角形且 AC 边最长，则整数 m 的值为
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为 0.5 和 0.7，则线路能够正常工作的概率是
A. 0.35B. 0.65C. 0.85D. 57
6. 若圆 x2+y2−2x−4y=0 的圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，则 a 的值为
A. −2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. −2 或 0
7. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息．某人在银行贷款金额为 A 元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款 1 次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止．若月利率 p 固定不变，按“复利”计算本息和，分 n 个月还清（贷款 1 个月后开始第 1 次还款），则此人每月还款金额为
A. An 元B. A1+pnn 元
C. A1+pn1+pn−1 元D. Ap1+pn1+pn−1 元
8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 的最小值是
A. 2B. 2C. 4D. 22
9. 已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2+y24=1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为 MF1 的圆上，则 NF2 的最大值为
A. 2B. 4C. 8D. 16
10. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an−1．若对任意正整数 n 都有 λSn+1−Sn<0 恒成立，则实数 λ 的取值范围为
A. −∞,1B. −∞,12C. −∞,13D. −∞,14
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 ．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−2,6 关于直线 3x−4y+5=0 的对称点的坐标为 ．
13. 数列 an 中，已知 a1=1，若 an−an−1=2（n≥2 且 n∈N*），则 an= ，若 anan−1=2（n≥2 且 n∈N*），则 an= ．
14. 若点 O 是线段 AB 上一点，则 OB⋅OA+OA⋅OB=0；类比到平面的情形：若 O 是 △ABC 内一点，有 S△OAB⋅OC+S△OBC⋅OA+S△OCA⋅OB=0；类比到空间的情形：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 ．
15. 设事件 A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件 A 至少发生一次的概率为 6364，则事件 A 恰好发生一次的概率为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
16. 5 名师生站成一排照相留念，其中教师 1 人，男生 2 人，女生 2 人．
（1）求两名女生相邻而站的概率；
（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率．
17. 已知等差数列 an 满足：a1+a3+a5=24，an=an−2−2（n≥3 且 n∈N+）．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求数列 an 的前 n 项和 Sn．
18. 在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形 ABCD 为平行四边形，∠CAD=90∘，EF∥BC，EF=12BC，AC=2，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若二面角 E−AC−F 的余弦值为 33，求点 D 到平面 ACF 的距离．
19. 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M2,0，AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，点 T−1,1 在 AD 边所在直线上．
（1）求 AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形 ABCD 外接圆的方程．
20. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M 是侧棱 CC1 上一点，设 MC=h．
（1）若 BM⊥A1C，求 h 的值．
（2）若 h=2，求直线 BA1 与平面 ABM 所成的角．
21. 如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴的两端点为 A，B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形．
（1）求椭圆的方程．
（2）若 C，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MD⊥CD，连接 CM，交椭圆于点 P，证明：OM⋅OP 为定值．
（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP，MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】由图可知，l1 的倾斜角 α1>90∘，
所以 k1<0，l2，l3 的倾斜角满足 0∘<α3<α2<90∘，
所以 k3
3. C【解析】由 an+1=an+2an+1+1，得 an+1+1=an+1+12，
所以 an+1+1−an+1=1．
又 a1=0，
所以数列 an+1 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，则 an+1=n，
所以 an=n2−1，
所以 a13=132−1=168．
4. D
5. C
6. C【解析】把 x2+y2−2x−4y=0 化为标准方程为 x−12+y−22=5，故圆心坐标为 1,2，由圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，得 22=∣1−2+a∣2，所以 a=2 或 a=0．
7. D【解析】因为贷款金额为 A 元，月利率为 p，分 n 个月还清，
所以本息和一共为 A1+pn 元，
设每个月还款金额为 Q 元，则 A1+pn＝Q+Q1+p+Q1+p2+⋯+Q1+pn−1，
由等比数列求和公式可得 A1+pn=Q1+pn−11+p−1，
所以 Q=Ap1+pn1+pn−1，
所以此人每月还款金额为 Ap1+pn1+pn−1 元．
故选：D．
8. C【解析】设直线 AB 的倾斜角为 θ，
可得 ∣AF∣=21−csθ，∣BF∣=21+csθ，
则 ∣AF∣⋅∣BF∣=21−csθ×21+csθ=4sin2θ≥4，
当 θ=π2 时，等号成立．
9. B
10. C
【解析】当 n=1 时，S1=2a1−1，即 a1=2a1−1，得 a1=1；
当 n≥2 时，由 Sn=2an−1，得 Sn−1=2an−1−1，
两式相减得 an=2an−2an−1，得 an=2an−1，
所以 anan−1=2，所以数列 an 为等比数列，且首项为 1，公比为 2，
所以 an=1×2n−1=2n−1．
所以 Sn=2an−1=2×2n−1−1=2n−1，
由 λSn+1−Sn<0，
得 λ
因此，实数 λ 的取值范围是 −∞,13．
第二部分
11. x25+y2=1
【解析】直线 x−2y+2=0 与 x 轴的交点为 −2,0，即为椭圆的左焦点，故 c=2．
直线 x−2y+2=0 与 y 轴的交点为 0,1，即为椭圆的上顶点，故 b=1．
所以 a2=b2+c2=5，
所以椭圆的方程为 x25+y2=1．
12. 4,−2
【解析】设点 A−2,6 关于直线 3x−4y+5=0 的对称点为 Bx0,y0，则 34⋅y0−6x0+2=−1,3−2+x02−46+y02+5=0, 解得 x0=4,y0=−2.
13. 2n−1，2n−1
【解析】在数列 an 中，由 an−an−1=2（n≥2 且 n∈N*），可知数列是公差为 2 的等差数列，
又 a1=1，所以 an=1+2n−1=2n−1；
由 anan−1=2（n≥2 且 n∈N*），可知数列是公比为 2 的等比数列，
又 a1=1，所以 an=1×2n−1=2n−1．
14. VO−BCD⋅OA+VO−ACD⋅OB+VO−ABD⋅OC+VO−ABC⋅OD=0
15. 964
【解析】设事件 A 发生的概率为 p，由题意知 1−p3=1−6364=164，解得 p=34，则事件 A 恰好发生一次的概率为 C31×3×142=964．
第三部分
16. （1） 5 名师生站成一排照相留念共有 A55=120 种站法．
记“两名女生相邻而站”为事件 A，将两名女生“捆绑”视为一个整体与其余 3 个人全排列，有 A44 种排法，再将两名女生排序有 A22 种站法，
所以共有 A22A44=48 种不同站法，则 PA=48120=25，
即两名女生相邻而站的概率为 25．
（2） 记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 B，事件 B 分两类：
①教师站在一端，另一端由男生站，有 A21A21A33=24 种站法；
②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的 2 个位置之一，A22A21A22=8 种站法，
所以事件 B 共包含 24+8=32 种站法，
则 PB=32120=415，
即教师不站中间且女生不站两端的概率为 415．
17. （1） 因为等差数列 an 满足 a1+a3+a5=24，
所以 3a3=24，
所以 a3=8，
设 an 的公差为 d，
因为 an=an−2−2，
所以 an−an−2=2d=−2，
所以 d=−1，an=a3+n−3d=11−n．
（2） 由（1）可知 an=11−n，则 an=∣11−n∣，
当 n≤11，n∈N+ 时，Sn=na1+an2=n210+11−n=n21−n2；
当 n>11，n∈N+ 时，
Sn=S11+a12+⋯+an=55+n−11a12+an2=55+n−1110−n2=n2−21n2+110.
综上所述，Sn=n21−n2,n≤11,n∈N+n2−21n2+110,n>11,n∈N+．
18. （1） 因为 ∠CAD=90∘，
所以 AD⊥AC，
又因为 平面ACE⊥平面ABCD，且 平面ACE∩平面ABCD=AC，
所以 AD⊥平面AEC，CE⊂平面AEC，
所以 AD⊥CE，
又 AC=2，AE=EC=1．
所以 AC2=AE2+CE2，
所以 AE⊥EC，
因为 EF∥BC，BC∥AD，
所以 EF∥AD，
即 A，D，E，F 共面，
又 AE∩AD=A，
所以 CE⊥平面ADEF，
因为 AF⊂面ADEF，
所以 CE⊥AF．
（2） 因为 平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD=90∘，
如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 O−xyz，
设 AD=2a，则 A0,0,0，C2,0,0，E22,0,22，F22,−a,22，
由 AD⊥面ACE 知平面 ACE 的一个法向量 n=0,1,0，
设平面 ACF 的一个法向量 m=x,y,z，因为
AC=2,0,0，AF=22,−a,22，
所以 2x=0,22x−ay+22z=0,
取 z=2，y=1a，
则 m=0,1a,2，
则 cs⟨m,n⟩=m⋅n∣m∣∣n∣=1a2+1a2=12a2+1，
因为二面角 E−AC−F 的余弦值为 33，
所以 12a2+1=33，即 a=1，
所以 m=0,1,2，AD=0,2,0，
设点 D 到平面 ACF 的距离为 d，则 d=∣AD⋅m∣∣m∣=23=233，
所以点 D 到平面 ACF 的距离 233．
19. （1） 因为 AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0，且 AD 与 AB 垂直，
所以直线 AD 的斜率为 −3，
又因为点 T−1,1 在直线 AD 上，
所以 AD 边所在的直线的方程为 y−1=−3x+1，即 3x+y+2=0．
（2） 由 x−3y−6=0,3x+y+2=0, 解得点 A 的坐标为 0,−2，
因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M2,0，
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心，
又 ∣AM∣=2−02+0+22=22，
从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 x−22+y2=8．
20. （1） 以 A 为原点，以 AB，AC，AA1 为坐标轴建立空间直角坐标系 A−xyz，
则 B2,0,0，A10,0,4，C0,2,0，M0,2,h，
所以 BM=−2,2,h，A1C=0,2,−4，
若 BM⊥A1C，则 BM⋅A1C=0，即 4−4h=0，
所以 h=1．
（2） 当 h=2 时，M0,2,2，BM=−2,2,2，AB=2,0,0，BA1=−2,0,4，
设平面 ABM 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅AB=0,n⋅BM=0, 即 2x=0,−2x+2y+2z=0,
令 z=1 可得 n=0,−1,1，
所以 csn,BA1=n⋅BA1nBA1=42×25=105，
设直线 BA1 与平面 ABM 所成的角为 θ，则 sinθ=csn,BA1=105，
所以 θ=arcsin105．
21. （1） 由题意，得 b=c=2，a=2，
所以，所求椭圆的方程是 x24+y22=1．
（2） 由（1）知，C−2,0，D2,0．
由题意可设 CM 所在的直线方程为 y=kx+2 （ k≠0 ），Px1,y1．
因为 MD⊥CD，所以 M2,4k．
由 x24+y22=1,y=kx+2, 消去 y 并整理得 1+2k2x2+8k2x+8k2−4=0．
所以 −2x1=8k2−41+2k2，即 x1=2−4k21+2k2．
因为 y1=kx1+2=4k1+2k2，所以点 P2−4k21+2k2,4k1+2k2．
从而 OM⋅OP=2⋅2−4k21+2k2+4k⋅4k1+2k2=41+2k31+2k2=4，
即 OM⋅OP 为定值．
（3） 设存在 Qx0,0 （ x0≠−2 ）使得以 MP 为直径的圆恒过 DP，MQ 的交点，
则 DP⊥MQ，所以 QM⋅DP 恒为 0．
由（2）可知 QM=2−x0,4k，DP=−8k21+2k2,4k1+2k2．
所以 QM⋅DP=2−x0⋅−8k21+2k2+4k⋅4k1+2k2=8k21+2k2x0．
当 x0=0，即 Q 为 0,0 时，QM⋅DP 恒为 0．
所以存在 Q0,0，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP，MQ 的交点．
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