2021年北京西城区北京三十九中高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区北京三十九中高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 复数 1−i2=
A. 0B. 1C. 2iD. −2i

2. “a>1”是“1a<1”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

3. 一个等差数列第 5 项 a5=10，且 a1+a2+a3=3，则有
A. a1=2，d=−3B. a1=−2，d=3C. a1=−3，d=2D. a1=3，d=2

4. 设实数 x，y 满足条件 x+y−2≤0,2x−y+3≥0,x−y≤0, 则 x+y+1 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

5. 设 P 是双曲线 x2a2−y29=1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−2y=0 ， F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点．若 ∣PF1∣=3 ，则 ∣PF2∣=
A. 1 或 5B. 6C. 7D. 9

6. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为
A. 8B. 83C. 163D. 6

7. 动点 P 在直线 x+y−4=0 上，O 为原点，则 OP 的最小值为
A. 10B. 22C. 6D. 2

8. 已知点列如下：P11,1，P21,2，P32,1，P41,3，P52,2，P63,1，P71,4，P82,3，P93,2，P104,1，P111,5，P122,4，⋯，则 P60 的坐标为
A. 3,8B. 4,7C. 4,8D. 5,7

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 命题“任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为 ．

10. 一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的 ．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．

11. 已知 fx 为 R 上的奇函数，则 fxdx−aa= ．

12. 已知直线 x−2ay−3=0 为圆 x2+y2−2x+2y−3=0 的一条对称轴，则实数 a= ．

13. 已知抛物线 y2=4x 焦点 F 恰好是双曲线 x2a2−y2b2=1 的右焦点，且双曲线过点 3a22,b，则该双曲线的渐近线方程为 ．

14. 对于 E=a1,a2,⋯,a100 的子集 X=ai1,ai2,⋯,aik，定义 X 的"特征数列"为 x1,x2,⋯,x100，其中 xi1=xi2=⋅⋅⋅=xik=1，其余项均为 0，例如：子集 a2,a3 的"特征数列"为 0,1,1,0,0,⋯,0．
（1）子集 a1,a3,a5 的"特征数列"的前 3 项和等于 ．
（2）若 E 的子集 P 的"特征数列" p1,p2,⋯,p100 满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99，E 的子集 Q 的"特征数列" q1,q2,⋯,q100 满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98，则 P∩Q 的元素个数为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知函数 fx=1x+lnx .
（1）求函数在 x=e 处的切线方程；
（2）写出函数的单调增区间和最值.

16. 在四棱锥 P−ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，PA=AB=2CD=4，PB=2AD=42，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角 A−PC−D 的余弦值；
（3）设点 Q 为线段 PB 上一点，且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 33，求 PQPB 的值．

17. 在数列 an 中，a1=12，an+1=3anan+3，求 a2，a3，a4 的值，并由此猜想数列 an 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

18. 已知函数 fx=32x2+2ax+lnx，a∈R．
（1）讨论函数 fx 的单调区间；
（2）若函数 fx 在 13,23 内单调递减，求 a 的取值范围．

19. 已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22，过左焦点且倾斜角为 45∘ 的直线被椭圆截得的弦长为 423．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M1,0 作 l 的垂线垂足为 Q，求点 Q 的轨迹方程．

20. an 是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项的和，满足 a22+a32=a42+a52，S7=7．
（1）求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn．
（2）试求所有的正整数 m，使得 amam+1am+2 为数列 an 中的项．
答案
第一部分
1. D【解析】因为 1−i2=1−2i+i2=1−2i+−1=−2i．
2. A
3. B【解析】由题意设 an=a1+n−1d 得，
a5=a1+4d=10，
a1+a2+a3=3a1+3d=3，
由①②式得 a1=−2，d=3．
4. C【解析】作出不等式条件 x+y−2≤0,2x−y+3≥0,x−y≤0 表示的平面区域，得到如图的 △ABC 及其内部，
设令 z=x+y+1，将直线 l:z=x+y+1 进行平移，
当 l 与 AB 重合时，目标函数 z 达到最大值，
因为 BC 过点 0,2，所以 z最大值=0+2+1=3．
5. C
【解析】提示：y=32x=3∣a∣x，所以 ∣a∣=2，PF1−PF2=2∣a∣=4，所以 PF2=7．
6. B
7. B
8. D【解析】设 Px,y，
P11,1，x+y=2，第 1 行，1 个点；
P21,2，P32,1，x+y=3，第 2 行，2 个点；
P41,3，P52,2，P63,1，x+y=4，第 3 行，3 个点；
⋯⋯
因为 1 个点 +2 个点 +3 个点 +…+10 个点= 55 个点，
所以 P55 为第 55 个点，x+y=11，第 10 行，第 10 个点，P5510,1，
所以 P561,11，P572,10，P583,9，P594,8，P605,7．
所以 P60 的坐标为 5,7．
第二部分
9. “存在 x∈R，有 x2<0”
10. 元素，解三角形
11. 0
12. 1
【解析】提示：圆心 1,−1 在直线 x−2ay−3=0 上．
13. y=±24x
14. 2，17
【解析】（1）子集 a1,a3,a5 的"特征数列"中 x1=x3=x5=1，其余均为 0，该数列为 1,0,1,0,1,0,0,⋯,0．
故该数列前 3 项的和为 2．
（2）E 的子集 P 的"特征数列" p1,p2,⋯,p100 中，由于
p1=1,pi+pi+1=11≤i≤99.
因此集合 P 中必含有元素 a1．
又当 i=1 时，p1+p2=1，且 p1=1，故 p2=0．
同理可求得
p3=1,p4=0,p5=1,p6=0,⋯,
故 E 的子集 P 的"特征数列"为 1,0,1,0,1,0,1,0,⋯,1,0，即
P=a1,a3,a5,a7,⋯,a99.
E 的子集 Q 的"特征数列" q1,q2,⋯,q100 中，由于
q1=1,qj+qj+1+qj+2=11≤j≤98,
因此集合 Q 中必含有元素 a1．
又当 j=1 时，
q1+q2+q3=1,
当 j=2 时，
q2+q3+q4=1,
当 j=3 时，
q3+q4+q5=1,
⋯⋯,
故
q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,⋯.
所以 E 的子集 Q 的"特征数列"为
1,0,0,1,0,0,1,0,0,⋯,0,1,
即
Q=a1,a4,a7,a10,⋯,a100.
因为 100=1+n−1×3，故 n=34．
所以集合 Q 中有 34 个元素，其下标为奇数的有 17 个．
因此
P∩Q=a1,a7,a13,a19,⋯,a97,
共有 17 个元素．
第三部分
15. （1） 因为 fʹx=−1x2+1x，
所以 fʹe=e−1e2，
又 fe=e+1e，
所以函数 fx 在 x=e 处的切线方程为 y−e+1e=e−1e2x−e，即 e−1x−e2y+2e=0 .
（2） 单调增区间 1,+∞，最小值为 1，无最大值.
16. （1） 因为 PA=4，AB=4，PB=42，
所以 PA⊥AB，
又因为 平面PAB⊥平面ABCD，AB 为其交线，
所以 PA⊥平面ABCD，
又因为 AB⊥AD，
所以 AB，AD，PA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A0,0,0，B4,0,0，C2,22,0，D0,22,0，P0,0,4，
所以 BD=−4,22,0，PC=2,22,−4．
所以 BD⋅PC=0，从而 BD⊥PC．
又因为 PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以 BD⊥PA．
又因为 PA 与 PC 相交，
所以 BD⊥平面PAC．
（2） 因为 BD⊥平面PAC，
所以 BD 是平面 PAC 的一个法向量，BD=−4,22,0，
设平面 PCD 的法向量为 n=x,y,z，则 n⊥PC，n⊥CD，
所以 2x+22y−4z=0,−2x=0,
令 z=1 得 n=0,2,1，
所以 n⋅BD=4，∣n∣=3，∣BD∣=26，
所以 cs⟨n,BD⟩=n⋅BD∣n∣∣BD∣=23，
所以二面角 A−PC−D 的余弦值为 23．
（3） PB=4,0,−4，设 PQ=λPB=4λ,0,−4λ，则 QC=PC−PQ=2−4λ,22,4λ−4．
所以 QC⋅BD=16λ−8+8=16λ，∣QC∣=28λ2−12λ+7．
因为直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 33，
所以 cs⟨QC,BD⟩=QC⋅BD∣QC∣∣BD∣=16λ28λ2−12λ+7⋅26=33，解得 λ=712．
所以 PQPB=712．
17. 由 a1=12 及 an+1=3anan+3，得 a2=37，a3=38，a4=13．
猜想 an=3n+5．
下面用数学归纳法证明．
当 n=1 时，显然猜想成立；
假设当 n=k 时，ak=3k+5 成立，
则当 n=k+1 时，ak+1=3akak+3=3×3k+53k+5+3=3k+1+5，
所以当 n=k+1 时，猜想成立．
综上，an=3n+5 成立．
18. （1） 定义域：0,+∞，
函数 fx 的导函数为 fʹx=3x+2a+1x=3x2+2ax+1x，
①当 a≥0 时，
fʹx 在 0,+∞ 恒大于零，fx 在 0,+∞ 上单调递增，
②当 a<0 时，
（Ⅰ）−3≤a，
fʹx 在 0,+∞ 大于等于零，fx 在 0,+∞ 上单调递增，
（Ⅱ）a<−3，
fx 在 0,x1 和 x2,+∞ 上单调递增；在 x1,x2 上单调递减，
其中 x1=−a−a2−33，x2=−a+a2−33，
综上所述：a≥−3，fx 在 0,+∞ 上单调递增，a<−3，fx 在 0,x1 和 x2,+∞ 上单调递增；在 x1,x2 上单调递减．
（2） 由（1）得：a<−3 函数 fx 在 13,23 内单调递减，
即 fʹ13≤0,fʹ23≤0,
解得 a≤−2，
所以 a 的取值范围是 −∞,−2．
19. （1） 因为椭圆 E 的离心率为 22，
所以 ca=a2−b2a=22，解得 a2=2b2，
所以 c2=a2−b2=b2，即 c=b．
故椭圆 E 的方程可设为 x2+2y2=2b2，则椭圆 E 的左焦点坐标为 −b,0，过左焦点倾斜角为 45∘ 的直线方程为 l′：y=x+b．
设直线 l′ 与椭圆 E 的交点记为 A，B 两点，联立 x2+2y2=2b2,y=x+b, 消去 y，得 3x2+4bx=0
解得 x1=0，x2=−4b3，所以
∣AB∣=1+12x1+x22−4x1x2=42b3=423.
解得 b=1．
所以椭圆方程为 x22+y21=1 .
（2） （i）当切线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l 的方程为 y=kx+m，
联立 y=kx+m,x2+2y2=2, 消去 y 并整理，得
1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0,
因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点，所以
Δ=16k2m2−41+2k22m2−2=0,
化简并整理，得 m2=2k2+1．
因为直线 MQ 与 l 垂直，所以直线 MQ 的方程为：y=−1kx−1，
联立 y=−1kx−1,y=kx+m, 解得 x=1−km1+k2,y=k+m1+k2,
所以
x2+y2=1−km1+k22+k+m1+k22=m2+11+k2=2k2+21+k2=2.*
（ ii）当切线 l 的斜率为 0 时，此时 Q1,±1，符合（*）式．
（ iii）当切线 l 的斜率不存在时，此时 Q2,0 或 −2,0，符合（*）式．
综上所述，点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=2．
20. （1） 由题意，设等差数列 an 的通项公式为 an=a1+n−1d,d≠0．
由 a22+a32=a42+a52，
知 2a1+5d=0 ①．
又 S7=7，
所以 a1+3d=1 ②．
由①②可得 a1=−5，d=2．
所以数列 an 的通项公式 an=2n−7，
Sn=na1+an2=n2n−122=n2−6n．
（2） 因为 amam+1am+2=am+2−4am+2−2am+2=am+2−6+8am+2 为数列 an 中的项，故 8am+2 为整数，又由（1）知 am+2 为奇数，
所以 am+2=2m−3=±1，即 m=1,2．
当 m=1 时，amam+1am+2=am+2−6+8am+2=−1−6−8=−15 不是 an 中的项；
当 m=2 时，amam+1am+2=am+2−6+8am+2=1−6+8=3=a5．
所以符合题意的正整数只有 m=2．