2021年北京西城区四十四中高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区四十四中高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 双曲线 x23−y2=1 的一个焦点坐标为
A. 2,0B. 0,2C. 2,0D. 0,2

2. 已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为
A. 12B. 22C. 15D. 55

3. 设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是
A. 若 α∥β，l∥α，则 l⊂βB. 若 α∥β，l⊥α，则 l⊥β
C. 若 α⊥β，l⊥α，则 l⊂βD. 若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β

4. 设 m∈R，命题“若 m≥0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是
A. 若方程 x2=m 有实根，则 m≥0
B. 若方程 x2=m 有实根，则 mb>0，由 2b=2×2c，即 b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则 a=5c，
所以椭圆的离心率 e=ca=55．
3. B【解析】由 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，知：
在A中，若 α∥β，l∥α，则 l⊂β 或 l∥β，故A错误；
在B中，若 α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得 l⊥β，故B正确；
在C中，若 α⊥β，l⊥α，则 l 与 β 平行或 l⊂β，故C错误；
在D中，若 α⊥β，l∥α，则 l 与 β 相交、平行或 l⊂β，故D错误．
4. D【解析】命题“若 m≥0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是命题“若方程 x2=m 没有实根，则 m0,b>0，由 2c=25，则 c=5，双曲线的一条渐近线与直线 x−2y+1=0 平行，即 ba=12，由 c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，
所以双曲线的标准方程为：x24−y2=1．
6. C【解析】由题意可得直线 AB 的方程为 x3+y4=1，
所以线段 AB 的方程为 x3+y4=1（x≥0，y≥0），
所以 1=x3+y4≥2x3⋅y4，
所以 xy≤3，
当且仅当 x3=y4 即 x=32 且 y=2 时取等号，xy 有最大值 3．
7. D【解析】①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；
②正四面体的截面可能是直角三角形，不正确；
③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．
8. D
第二部分
9. 对任意 x∈R，都有 x2+2x+5≠0
【解析】因为命题“存在 x∈R，使得 x2+2x+5=0”是特称命题，
所以命题的否定为全称命题，即：对任意 x∈R，都有 x2+2x+5≠0．
10. 1
【解析】因为点 M0,−1，N2,3，
所以 kMN=3+12−0=2，
因为直线 MN 垂直于直线 ax+2y−3=0，
所以 2×−a2=−1，解得 a=1．
11. 33
【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 ABCD−A1B1C1D1 中棱长为 1，
则 A1,0,0，D0,0,0，B1,1,0，D10,0,1，
AD=−1,0,0，BD1=−1,−1,1，
设异面直线 AD，BD1 所成角为 θ，
则 csθ=AD⋅BD1AD⋅BD1=13=33．
所以异面直线 AD，BD1 所成角的余弦值为 33．
12. 83
【解析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的俯视图是边长为 4 的等边三角形，
所以由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：42−22=23，底面边长为：4，
所以侧视图的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为 S=23×4=83．
13. 2
【解析】由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=−1，焦点 F1,0，
又 P 为抛物线上一点，PF=3，
所以 xp=2，代入抛物线方程得：yp=22，
所以 S△POF=12×OF×22=2．
14. 碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h，y2=n2−m2hx
【解析】设方程为 y2=2pxp>0，则将点 a,m，a+h,n 代入抛物线方程可得 m2=2pa，n2=2pa+h，可得 2p=n2−m2h，
所以抛物线方程为 y2=n2−m2hx．
第三部分
15. （1） 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 O 为 AC 中点．
又因为 E 是 PA 的中点，
所以 PC∥OE，
因为 PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以 PC∥平面BDE．
（2） 因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 BD⊥AC．
因为 PA⊥底面ABCD，且 BD⊂平面ABCD，
所以 PA⊥BD．
又因为 AC∩PA=A，
所以 BD⊥平面PAC，
又 CE⊂平面PAC，
所以 BD⊥CE．
16. （1） 因为 PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以 PA⊥BC．
因为 BC⊥AB，PA∩AB=A，
所以 BC⊥平面PAB．
所以 AM⊥BC．
因为 PA=AB，M 为 PB 的中点，
所以 AM⊥PB．
所以 AM⊥平面PBC．
（2） 如图，在平面 ABC 内，作 Az∥BC，则 AP，AB，Az 两两互相垂直，
建立空间直角坐标系 A−xyz．
则 A0,0,0，P2,0,0，B0,2,0，C0,2,1，M1,1,0．
AP=2,0,0，AC=0,2,1，AM=1,1,0．
设平面 APC 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅AP=2x=0,n⋅AC=2y+z=0,
令 y=1，得 n=0,1,−2．
由（I）可知 AM=1,1,0 为平面 BPC 的法向量，
设二面角 A−PC−B 的平面角为 α，
则 csα=∣n⋅AM∣∣n∣⋅∣AM∣=15⋅2=1010．
所以二面角 A−PC−B 的余弦值为 1010．
17. （1） 由已知，直线 l 的方程为 y=2x，圆 C 圆心为 0,3，半径为 5，
所以，圆心到直线 l 的距离为 ∣3∣3=3．
所以，所求弦长为 25−3=22．
（2） 设 Ax1,y1，因为 A 为 OB 的中点，则 B2x1,2y1．
又 A，B 在圆 C 上，
所以 x12+y12−6y1+4=0，4x12+4y12−12y1+4=0．
解得 y1=1，x1=±1，
即 A1,1 或 A−1,1．
所以，直线 l 的方程为 y=x 或 y=−x．
18. （1） 椭圆 x24+y23=1，a=2，b=3，c=1，
椭圆的左焦点 F1−1,0，设 Px1,y1，Qx2,y2，
又直线 l 的倾斜角为 45∘，
所以直线 l 的方程为 y=x+1，
由 y=x+1,3x2+4y2=12, 整理得：7x2+8x−8=0，
则 x1+x2=−87，x1⋅x2=−87．
∣PQ∣=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅−872+4×87=247，
所以 ∣PQ∣=247．
（2） 由 y=kx+1,3x2+4y2=12, 整理得：3+4k2x2+8k2x+4k2−12=0，
则 x1+x2=−8k23+4k2，x1⋅x2=4k2−123+4k2，
依题意 Pʹ−x1,−y1，Qʹx2,−y2，且 y1=kx1+1，y2=kx2+1，
所以 ∣kʹ∣=y1−y2x1+x2=kx1−x2x1+x2，
其中 ∣x1−x2∣=x1+x22−4x1x2=121+k23+4k2，
所以 ∣kʹ∣=31+k22k=2．
解得：7k2=9，k=±377，
k 的值为 ±377．
19. （1） 由 BC⊥CD，BC=CD=2，可得 BD=22．
由 EA⊥ED，且 EA=ED=2，可得 AD=22．
又 AB=4，
所以 AB2=AD2+BD2，
所以 BD⊥AD．
又 平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以 BD⊥平面ADE．
（2） 建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz，
则 D0,0,0，B0,22,0，C−2,2,0，E2,0,2，
所以 BE=2,−22,2，DE=2,0,2，DC=−2,2,0．
设 n=x,y,z 是平面 CDE 的法向量，
则 n⋅DE=0,n⋅DC=0, 即 x+z=0,−x+y=0,
令 x=1，则 n=1,1,−1．
设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 α，
则 sinα=cs⟨BE,n⟩=BE⋅nBE⋅n=2−22−223×3=23，
所以 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值为 23．
（3） 设 CF=λCE，λ∈0,1，
由（2）知 DC=−2,2,0，CE=22,−2,2，DB=0,22,0．
易知 DF=DC+CF=DC+λCE=22λ−1,−λ+1,λ．
设 m=xʹ,yʹ,zʹ 是平面 BDF 的法向量，
则 m⋅DB=0,m⋅DF=0,
即 yʹ=0,2λ−1xʹ+−λ+1yʹ+λzʹ=0,
令 xʹ=1，则 m=1,0,−2λ−1λ．
由（2）可知，平面 CDE 的一个法向量为 n=1,1,−1，
若 平面BDF⊥平面CDE，
则 m⋅n=0，即 1+2λ−1λ=0，
解得 λ=13∈0,1，
所以，在线段 CE 上存在一点 F，使得 平面BDF⊥平面CDE．
20. （1） 由已知，抛物线 W1，W2 的准线分别为 x=−p2 和 x=−p，
所以，抛物线 W1，W2 准线间的距离为 p2．
（2） 设 l1：y=k1x，代入抛物线方程，得 A1，A2 的横坐标分别是 2pk12 和 4pk12．
所以 OA1OA2=4p2k14+4p2k1216p2k14+16p2k12=12，同理 OB1OB2=12，
所以 △OA1B1∽△OA2B2，
所以 A1B1∥A2B2．
（3） 设 A1x1,y1，B1x2,y2，直线 A1B1 方程为 x=ty+m1，代入曲线 y2=2px，得 y2−2pty−2pm1=0，
所以 y1+y2=2pt，y1y2=−2pm1．
由 l1⊥l2，得 x1x2+y1y2=0，又 y12=2px1，y22=2px2，
所以 y12y224p2+y1y2=0，由 y1y2=−2pm1，得 m1=2p．
所以直线 A1B1 方程为 x=ty+2p，
同理可求出直线 A2B2 方程为 x=ty+4p，
所以 A1B1=1+t2y1−y2=2p1+t2⋅t2+4，A2B2=4p1+t2⋅t2+4，
平行线 A1B1 与 A2B2 之间的距离为 d=2p1+t2，
所以梯形 A1A2B2B1 的面积 S=12A1B1+A2B2⋅d=6p2t2+4≥12p2，
当 t=0 时，梯形 A1A2B2B1 的面积最小，最小值为 12p2．