2021年北京平谷区北京平谷中学（高中部）高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区北京平谷中学（高中部）高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 z=1+2i，则 4izz−1=
A. 1B. −1C. iD. −i

2. 已知 1+xn 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A. 212B. 211C. 210D. 29

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 12，点 P 为椭圆上一点，且 △PF1F2 的周长为 12，那么椭圆 C 的标准方程为
A. x225+y2=1B. x216+y24=1C. x225+y224=1D. x216+y212=1

4. 下列说法中正确的是
A. 若直线 l1 与 l2 的斜率相等，则 l1∥l2
B. 若直线 l1 与 l2 互相平行，则它们的斜率相等
C. 在直线 l1 与 l2 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则 l1 与 l2 一定相交
D. 若直线 l1 与 l2 的斜率都不存在，则 l1∥l2

5. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题中正确的是
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥αB. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥mD. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m

6. 将 4 位志愿者分配到进博会的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，不同的分配方案有 种．
A. 72B. 36C. 64D. 81

7. 圆 x−22+y−12=4 与 圆 x+12+y−22=9 的公切线有 条
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l2:x+2y+5=0，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为
A. x220−y25=1B. x25−y220=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

9. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，C1D1 的中点，则 A1B1 与平面 A1EF 所成的角的正弦值为
A. 62B. 63C. 64D. 2

10. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上存在 A，B 两点恰好关于直线 l:x−y−1=0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为
A. 13B. 33C. 22D. 12

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在复平面内，复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称，且 z1=−1+i，则 z1z2= ．

12. 双曲线 x27−y229=1 的共轭双曲线方程是 ．

13. 设 x2+2x−26=a0+a1x+2+a2x+22+⋯+a12x+212x∈R，其中 aii=0,1,2,⋯,12 为实常数，则 a0+a1+2a2+⋯+12a12= ．

14. 已知 i,j,k 为单位正交基底，且 a=−i+j+3k，b=2i−3j−2k，则向量 a+b 与向量 a−2b 的坐标分别是 、 ．

15. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，点 p 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，若 △FPM 为边长是 6 的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．

16. 由正三棱锥 S−ABC 截得的三棱台 ABC−A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上，若 AB=6，三棱台 ABC−A1B1C1 的高为 2，且球心 O 在平面 ABC 与平面 A1B1C1 之间（不在两平面上），则 A1B1 的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. 4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球．
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法?
（2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球所得总分不少于 5 分，则有多少种不同取法．

18. 已知圆 C 经过 M1−1,0 ，M23,0，M30,1 三点．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 N2,3−1 的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4，求直线 l 的倾斜角．

19. 几何体 E−ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求证：BE=DE；
（2）若 ∠BCD=120∘，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面BEC．

20. 已知矩形 ABCD 及同一平面上一点 P，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．

21. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，棱长为 a，点 M，N 分别为 A1B，AC 上的点，且 A1M=AN=24a．
（1）求证：MN∥面BB1C1C；
（2）求 MN 的长．

22. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23，离心率为 32，与圆 x2+y2=45 相切的直线与椭圆交于 C，D 两点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设 O 为坐标原点，求 △COD 面积的最大值．
答案
第一部分
1. C【解析】z=1−2i，zz−1=4，4izz−1=i．
2. D【解析】因为 1+xn 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，
所以 Cn3=Cn7，解得 n=10，
所以二项式 1+x10 中奇数项的二项式系数和为 12×210=29．
3. D
4. C
5. B
【解析】对于A，直线 l⊥m，m 并不代表平面 α 内任意一条直线，所以不能判定 l⊥α，故A错误；
对于B，因为 l⊥α，所以 l 垂直于 α 内的任意一条直线，又 l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面 α 内的任意一条直线所成的角都是 90∘，即 m⊥α，故B正确；
对于C，也有可能是 l，m 异面，故C错误；
对于D，l，m 还可能相交或异面，故D错误．
6. B【解析】将 4 位志愿者分配到进博会的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，其方案为 2，1，1 型，其选法有 C42 种，而每一种选法有 P33 种安排方法，故不同的分配方案有 C42P33=36 种．
7. B【解析】两圆的圆心分别为：2,1,−1,2，半径分别为：2,3，所以圆心距为：2+12+1−22=10，因为 3−2