2021年北京顺义区顺义一中高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义一中高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在空间，可以确定一个平面的条件是
A. 两条直线B. 一点和一条直线
C. 三个点D. 一个三角形

2. 直线 x−y−1=0 的倾斜角是
A. π6B. π4C. π3D. π2

3. 若椭圆 x225+y216=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离为
A. 7B. 5C. 3D. 2

4. 在空间，下列命题正确的是
A. 平行直线的平行投影重合B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行

5. 已知双曲线 x216−y2m=1 的离心率为 54，则 m=
A. 7B. 6C. 9D. 8

6. 已知 A−2,0，B2,0，动点 Px,y 满足 PA⋅PB=x2，则动点 P 的轨迹为
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 两条平行直线

7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为
A. 8B. 162C. 10D. 62

8. 设点 Mx0,1，若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，则 x0 的取值范围是
A. −1,1B. −12,12C. −2,2D. −22,22

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 原点到直线 4x+3y−1=0 的距离为 ．

10. 抛物线 y2=2x 的准线方程是 ．

11. 过点 1,0 且与直线 x−2y−2=0 平行的直线方程是 ．

12. 《 九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，则堆放的米约有 斛（结果精确到个位）．


13. 若向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 a=3，b=1，c=4，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a= ．

14. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为 1，2，3，则其外接球的表面积是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PD⊥底面ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是 AD，PB 的中点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）证明：GF⊥平面PBC．

16. 已知直线经过直线 3x+4y−2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P，并且垂直于直线 x−2y−1=0．
（1）求交点 P 的坐标；
（2）求直线的方程．

17. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是 BB1 和 CD 的中点．
（1）求 AE 与 A1F 所成角的大小；
（2）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值．

18. 如图，PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面，∠ADC=∠BAD=90∘．F 为 PA 中点，PD=2，AB=AD=12CD=1．四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N．
（1）求证：AC∥平面DEF；
（2）求二面角 A−BC−P 的大小；
（3）在线段 EF 上是否存在一点 Q，使得 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 π6?若存在，求出 Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．

19. “直线在 y 轴上的截距”与“直线与 y 轴交点到原点的距离”相同吗?截距就是距离吗?

20. 已知椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的右焦点坐标为 2,0，且长轴长为短轴长的 2 倍．直线 l 交椭圆 Γ 于不同的两点 M 和 N．
（1）求椭圆 Γ 的方程；
（2）若直线 l 经过点 T0,4，且 △OMN 的面积为 22，求直线 l 的方程；
（3）若直线 l 的方程为 y=kx+t k≠0，点 M 关于 x 轴的对称点为 Mʹ，直线 MN，MʹN 分别与 x 轴相交于 P，Q 两点，求证：∣OP∣⋅∣OQ∣ 为定值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. D
5. C
【解析】双曲线的方程为：x216−y2m=1，
则其焦点在 x 轴上，且 a=16=4，b=m，
则 c=a2+b2=16+m，
若其离心率为 54，则有 e=ca=16+m4=54，
解可得 m=9．
6. D【解析】因为动点 Px,y 满足 PA⋅PB=x2，
所以 −2−x,−y⋅2−x,−y=x2，
所以点 P 的方程为 y2=4 即 y=±2，
所以动点 P 的轨迹为两条平行的直线．
7. B【解析】由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为 4，高为 2，则四棱锥的斜高为 4+4=22，
所以四棱锥的侧面积为 S=412×4×22=162．
8. A【解析】由题意画出图形如图：
点 Mx0,1，要使圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，则 ∠OMN 的最大值大于或等于 45∘ 时一定存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，而当 MN 与圆相切时 ∠OMN 取得最大值，此时 MN=1，图中只有 Mʹ 到 Mʺ 之间的区域满足 MN=1，
所以 x0 的取值范围是 −1,1．
第二部分
9. 15
10. x=−12
【解析】抛物线 y2=2x，
所以 p=1，
所以准线方程是 x=−12．
11. x−2y−1=0
【解析】直线 x−2y−2=0 的斜率是 12，所求直线的斜率是 12，
所以所求直线方程：y=12x−1，即 x−2y−1=0．
12. 22
【解析】设米堆所在圆锥的底面半径为 r 尺，
则 14×2πr=8，
解得：r=16π，
所以米堆的体积为 V=14×13×πr2×5≈35.56，
所以米堆的斛数是 ≈22．
13. −13
【解析】因为 a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a，
所以 a⋅b+b⋅c+c⋅a=a+b+c2−a2+b2+c22=0−32+12+422=−13.
14. 6π
【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为 1，2，3 的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球．
设其外接球的半径为 R，
则有 2R2=12+22+32=6．
所以 R2=32．
故其外接球的表面积 S=4πR2=6π．
第三部分
15. （1） 以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则 A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，P0,0,2，F1,1,1，PA=2,0,−2，DC=0,2,0，
所以 PA⋅DC=0，
所以 PA⊥DC，
所以 PA⊥CD．
（2） G1,0,0 则 FG=0,−1,−1，CB=2,0,0，PC=0,2,−2，
所以 FG⋅CB=0，FG⋅PC=0，
所以 FG⊥CB，FG⊥PC，
因为 CB∩PC=C，
所以 GF⊥平面PBC．
16. （1） 由 3x+4y−2=0,2x+y+2=0 得 x=−2,y=2.
所以 P−2,2．
（2） 因为直线与直线 x−2y−1=0 垂直，设所求直线斜率为 k1，
所以 k1=−2，
所以直线的方程为 y−2=−2x+2，整理得：2x+y+2=0．
17. （1） 如图，建立坐标系 A−xyz，则 A0,0,0，E1,0,12，A10,0,1，F12,1,0，
AE=1,0,12，A1F=12,1,−1，
所以 AE⋅A1F=0，
所以 AE 与 A1F 所成角为 90∘．
（2） 因为 ABCD−A1B1C1D1 是正方体，
所以 BB1⊥平面ABCD，
所以 ∠EAB 就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB1 中点，
在直角三角形 EBA 中，tan∠EAB=12．
18. （1） 连接 FN，如图 1．
在 △PAC 中，F，N 分别为 PA，PC 的中点，
所以 FN∥AC，
因为 FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，
所以 AC∥平面DEF．
（2） 如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D−xyz，
则 P0,0,2，B1,1,0，C0,2,0，
所以 PB=1,1,−2，BC=−1,1,0，
设平面 PBC 的法向量为 m=x,y,z，则 m⋅PB=x+y−2z=0,m⋅BC=−x+y=0, 取 x=1，得 m=1,1,2，
因为平面 ABC 的法向量 n=0,0,1，
所以 csn,m=n⋅mn⋅m=22，
由图可知二面角 A−BC−P 为锐二面角，
所以二面角 A−BC−P 的大小为 π4．
（3） 存在点 Q 满足条件，且 Q 点与 E 点重合．
由 F12,0,22，E0,2,2，设 FQ=λFE0≤λ≤1，整理得 Q1−λ2,2λ,21+λ2，BQ=−1+λ2,2λ−1,21+λ2，
因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 π6，
所以
sinπ6=csBQ,m=BQ⋅mBQ⋅m=5λ−1219λ2−10λ+7=12,
则 λ2=1，由 0≤λ≤1，知 λ=1，即 Q 点与 E 点重合．
19. 不相同．“直线在 y 轴上的截距”是指它与 y 轴交点的纵坐标，截距是个数值，可正、可负、可为零，截距不是距离．
20. （1） 由题意得 a=2b，a2−b2=4，
解得 a=22，b=2，所以椭圆 Γ 的方程为 x28+y24=1．
（2） 设点 M，N 的坐标为 Mx1,y1，Nx2,y2，直线 l 的方程为 y=kx+4．
由方程组 y=kx+4,x28+y24=1, 得 1+2k2x2+16kx+24=0．
所以 x1+x2=−16k1+2k2，x1x2=241+2k2，
S△OMN=12⋅4⋅∣x1−x2∣=2x1+x22−4x1x2=822k2−31+2k2=22.
解得 k=±142．
所以直线 l 的方程为 y=±142x+4．
（3） 由题意知 Mʹ 点的坐标为 Mʹx1,−y1，
将 y=kx+t，代入 x28+y24=1．
得：2k2+1x2+4ktx+2t2−8=0，
所以 x1+x2=−4kt2k2+1，x1x2=2t2−82k2+1．
y1+y2=kx1+x2+2t=t2k2+1，
对于直线 y=kx+t，令 y=0 得 x=−tk，
所以 ∣OP∣=∣−tk∣，
对于直线 MʹN:y−y2=y2+y1x2−x1x−x2，
令 y=0，
得
x=−y2x2−x1y2+y1+x2=x1y2+x2y1y2+y1=x1kx2+t+x2kx1+ty2+y1=2kx1x2+tx1+x2y2+y1=−8kt,
所以 ∣OQ∣=−8kt，
∣OP∣⋅∣OQ∣=−tk⋅−8kt=8．