2021年安徽固镇县湖沟中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年安徽固镇县湖沟中学高二上学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 直线 3x−y−2=0 的倾斜角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

2. 若直线 l1:ax+2y+a+3=0 与 l2:x+a+1y+4=0 平行，则实数 a 的值为
A. 1B. −2C. 1 或 −2D. −1 或 2

3. 一动圆与圆 x2+y2=1 外切，与圆 x2+y2−6x−91=0 内切，则动圆的圆心的轨迹是
A. 一个椭圆B. 一条抛物线C. 双曲线的一支D. 一个圆

4. 已知球面上四点 A，B，C，D 满足 AB，AC，AD 两两互相垂直，且 AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积是
A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π

5. 已知抛物线 y2=12x 的焦点为 F，P 是该抛物线上一动点，点 A4,1，则 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值是
A. 4B. 7C. 10D. 12

6. 椭圆 x29+y24=1 的一条弦被点 1,1 平分，则此弦所在的直线方程是
A. 4x−9y+5=0B. 9x−4y−5=0
C. 9x+4y−13=0D. 4x+9y−13=0

7. 已知双曲线方程为 x2−y24=1，过 P1,0 的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则 L 的条数共有
A. 4 条B. 3 条C. 2 条D. 1 条

8. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且 PF1=4PF2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
A. 43B. 32C. 2D. 53

9. 已知平面 α 与 β 所成的二面角为 70∘，P 为 α，β 外一定点，且过点 P 的一条直线与 α，β 所成的角都是 35∘，则这样的直线有且仅有
A. 1 条B. 3 条C. 4 条D. 无数条

10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有面中，面积的最大值为
A. 8B. 45C. 12D. 16

11. 已知两条直线 m，n，两个平面 α，β，给出下面四个命题：
① m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
② α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③ m∥n，m∥α⇒n∥α；
④ α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

12. 不等式 ax−1x>a a>0 的解集是
A. xx>1aB. xx<12a
C. x12a
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若平面 α 的一个法向量为 n=−2,3,1，直线 l 的一个方向向量为 a=1,−2,3，则 l 与 α 所成角的正弦值为 ．

14. 已知直线 m 的斜率为 k，经过点 −2,4，将直线向右平移 10 个单位，再向下平移 2 个单位，得到直线 n，若直线 n 不经过第四象限，则直线 l 的的斜率 k 的取值范围是 ．

15. 已知圆 C1:x−12+y−12=1，圆 C2:x−32+y−22=4，动点 P 在 x 轴上，动点 M，N 分别在圆 C1 和圆 C2 上，则 PM+PN 的最小值是 ．

16. 如图，在四面体 ABCD 中，AB=CD=4，AD=BD=5，AC=BC=6，点 E，F，G，H 分别在棱 AD，BD，BC，AC 上，若直线 AB，CD 都平行于平面 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知点 A2,0，点 B23,0，直线 l:λ+3x+λ−1y−4λ=0（其中 λ∈R）．
（1）求直线 l 所经过的定点 P 的坐标；
（2）若分别过 A，B 且斜率为 3 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 43，求直线 l 的方程．

18. 如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，A1A=AB，CB⊥平面A1ABB1．
（1）证明：AB1⊥平面A1BC；
（2）若 AC=5，BC=3，∠A1AB=60∘，求三棱锥 A−A1BC 的体积．

19. 如图，在三棱锥 A−BCD 中，AD=BD，∠ABC=90∘，点 E，F 分别在棱 AB，AC 上，点 G 为棱 AD 的中点，平面EFG∥平面BCD．证明：
（1）EF=12BC；
（2）平面EFD⊥平面ABC．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A2,2，B0,4，圆 C 是以线段 AB 为直径的圆．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设点 P 是圆 C 上与点 A 不重合的一点，且 OP=OA，求直线 PA 的方程和 △POA 的面积．

21. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，FD=BE=1，M 为 BC 边上的动点．
（1）证明：ME∥平面FAD；
（2）当 平面AME⊥平面AEF 时．求二面角 B−AE−M 的余弦值．

22. 已知圆 E:x+22+y2=12，点 F2,0，点 P 为圆 E 上的动点，线段 PF 的垂直平分线交半径 PE 于点 M．直线 l:y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A，B，原点 O 到直线 l 的距离为 32．
（1）求动点 M 的轨迹方程；
（2）求 △OAB 面积的最大值．
答案
第一部分
1. C【解析】设直线 3x−y−2=0 的倾斜角为 θ，θ∈0∘,180∘．
则 tanθ=3，解得 θ=60∘．
2. B【解析】因为直线 l1:ax+2y+a+3=0，l2:x+a+1y+4=0，l1∥l2，
所以 a1=2a+1≠a+34，
解得 a=1 或 a=−2．
因为当 a=1 时，两直线重合，
所以 a≠1．
所以 a=−2．
3. A【解析】设动圆的圆心为 M，半径为 R，
则：圆 x2+y2=1 的圆心为 F10,0，半径为 r1=1，
圆 x2+y2−6x−91=0 圆心 F2 为 3,0，半径为 r2=10；
根据题意，得 MF1=R+1，MF2=10−R，
所以 MF1+MF2=R+1+10−R=11，
又 F1F2=3所以由椭圆的定义得，点 M 的轨迹是椭圆，即动圆的圆心的轨迹是一个椭圆．
4. C【解析】由题意，长方体的长，宽，高分别是 AB=1，AC=2，AD=3．
那么外接球的半径 R=12×AB2+AC2+AD2=62．
所以该球的表面积 S=4πR2=6π．
5. B
【解析】根据题意，抛物线的方程为 y2=12x，A4,1 在抛物线开口内部，抛物线准线方程为：x=−3，焦点为 F3,0，
过 A 向准线作垂线，垂足为 B，设 P 到准线的距离为 d，
则有 ∣PF∣=d，∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+d≥∣AB∣=7．

6. D【解析】设直线与椭圆相交于 Ax1,y1，Bx2,y2．
则 x129+y124=1，x229+y224=1，
相减可得：x1+x2x1−x29+y1+y2y1−y24=0, ⋯⋯①
又 x1+x22=1，y1+y22=1，y1−y2x1−x2=k, ⋯⋯②
所以联立 ①② 得，2×4+9×2k=0，解得 k=−49．
所以此弦所在的直线方程是 y−1=−49x−1，化为：4x+9y−13=0．
7. B【解析】由题意可得：双曲线 x2−y24=1 的渐近线方程为：y=±2x，
点 P1,0 是双曲线的右顶点，故直线 x=1 与双曲线只有一个公共点；
过点 P1,0 平行于渐近线 y=±2x 时，直线 L 与双曲线只有一个公共点，有 2 条，
所以，过 P1,0 的直线 L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有 3 条．
8. D【解析】因为 P 在双曲线的右支上，
所以由双曲线的定义可得 PF1−PF2=2a，
因为 PF1=4PF2，
所以 4PF2−PF2=2a，即 PF2=23a，根据点 P 在双曲线的右支上，可得 PF2=23a≥c−a，
所以 53a≥c，即 e≤53，
所以此双曲线的离心率 e 的最大值为 53．
9. B【解析】如图，过 P 作 α，β 的垂线 PC，PD，其确定的平面与棱 l 交于 Q，
因为二面角为 70∘，AB 与平面 α，β 成 35∘ 角，
则 ∠CPD=110∘，AB 与 PD，PC 成 55∘ 角，
因此问题转化为过 P 点与直线 PD，PC 所成的角为 55∘ 的直线有几条．
因为 110∘2<55∘，70∘2<35∘，
所以这样的直线有 3 条．
10. C
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以等腰直角三角形为底面的三棱锥，如图：
从图上可知 PD=4，PD 垂直平面 ABC．ABC 是等腰直角三角形，边长为 4，即 AC=BC=4，
所以 AB=42，CD=DB=2．
所以 AD=25，PB=CP=25，
所以 AP=6．
SABP=12，
SABC=12×4×4=8，
SACP=45，
SCBP=12×4×25=45．
所以该多面体的所有面中，面积的最大值是 SABP，其值为 12．
11. C
12. D
第二部分
13. 514
【解析】因为平面 α 的一个法向量为 n=−2,3,1，直线 l 的一个方向向量为 a=1,−2,3，
设 l 与 α 所成角为 θ，
所以 sinθ=∣n⋅a∣∣n∣⋅∣a∣=∣−2−6+3∣4+9+1⋅1+4+9=514．
所以 l 与 α 所成角的正弦值为 514．
14. 0,14
【解析】由题意可得直线 m 方程为：y−4=kx+2，
将直线向右平移 10 个单位，再向下平移 2 个单位，
得到直线 n:y−4=kx+2−10−2，化为：y=kx+2−8k．
因为直线 n 不经过第四象限，
所以 k≥0,2−8k≥0, 解得 0≤k≤14．
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 0,14．
15. 13−3
【解析】如图所示，
圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标为 A1,−1，半径为 1，
圆 C2 的圆心坐标 C23,2，半径为 2，
连接 AC2，故 AC2=4+9=13，
故 PM+PN 的最小值是 13−3．
16. 4
【解析】因为直线 AB 平行于平面 EFGH，且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG，所以 HG∥AB；
同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，
所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形 EFGH 为平行四边形．
又由 AD=BD，AC=BC 的对称性，可知 AB⊥CD．
所以：四边形 EFGH 为矩形，
设 BF:BD=BG:BC=FG:CD=x（0≤x≤1），
FG=4x，HG=41−x，
SEFGH=FG×HG=16x1−x=−16x2−x+14+4=−16x−122+4,
根据二次函数的性质可知：SEFGH 的最大值 4．
第三部分
17. （1） 直线 l 的方程可化为：x+y−4λ+3x−y=0，
解方程组 x+y−4=0,3x−y=0 得：x=1,y=3.
所以直线 l 所经过的定点 P1,3．
（2） 过 A 点且斜率为 3 的直线方程为：3x−y−23=0，
过 B 点且斜率为 3 的直线方程为：3x−y−6=0，
若直线 l 无斜率，则直线 l 的方程为 x=1，
把 x=1 分别代入两平行线方程可得交点坐标分别为 1,−3，1,3−6，
所以直线 l 被两平行线所截的线段长为 y1−y2=6−23≠43，不符合题意；
若直线 l 有斜率，设直线 l 的方程为 y=kx−k+3，显然 k≠3．
联立方程组 3x−y−23=0,y=kx−k+3, 解得 x=3+23−k3−k,y=33+3k3−k,
联立方程组 3x−y−6=0,y=kx−k+3, 解得 x=9−k3−k,y=33−3k+6k3−k,
所以 23−63−k2+23k−6k3−k2=48，
解得 k=2±3−43，
所以直线 l 的方程为 y=2+3−43x−3−43+1 或 y=2−3−43x+3−43+1．
18. （1） 因为三棱柱 ABC−A1B1C1 中，A1A=AB，CB⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1，
所以 AB1⊥A1B，AB1⊥CB，
因为 A1B∩CB=B，A1B,CB⊂平面A1BC，
所以 AB1⊥平面A1BC．
（2） 因为 AC=5，BC=3，∠A1AB=60∘，A1A=AB，CB⊥平面A1ABB1，
所以 AB=AA1=A1B=AC2−BC2=25−9=4，
S△AA1B=12×4×4×sin60∘=43，
所以三棱锥 A−A1BC 的体积：
VA−A1BC=VC−A1AB=13×BC×S△A1AB=13×3×43=43.
19. （1） 因为在三棱锥 A−BCD 中，AD=BD，∠ABC=90∘，点 E，F 分别在棱 AB，AC 上，点 G 为棱 AD 的中点，平面EFG∥平面BCD，
所以 EF∥BC，EG∥BD，FG∥DC．
因为点 G 为棱 AD 的中点，
所以点 E，F 分别为棱 AB，AC 的中点，
所以 EF=12BC．
（2） 因为 AD=BD，E 是 AB 的中点，
所以 DE⊥AB．
因为 ∠ABC=90∘，EF∥BC，
所以 EF⊥AB．
因为 DE∩EF=E，DE,EF⊂平面EFD，
所以 AB⊥平面EFD．
因为 AB⊂平面ABC，
所以 平面EFD⊥平面ABC．
20. （1） 设圆 C 的圆心 Ca,b，半径为 r，则 a=1，b=3，r=AC=2−12+2−32=2，
所以圆 C 的方程为 x−12+y−32=2．
（2） 因为 OP=OA，CP=CA，
所以 OC 是线段 PA 的垂直平分线，
又直线 OC 的斜率为 3，
所以直线 PA 的斜率为 −13，
所以直线 PA 的方程为 y−2=−13x−2，即 x+3y−8=0，
因为点 O 到直线 PA 的距离 d=∣0+0−8∣12+32=4105，OA=22+22=22．
所以 PA=2OA2−d2=28−41052=4105．
所以 △POA的面积=12PA⋅d=12×4105×4105=165．
21. （1） 因为正方形 ABCD 的边长为 1，FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，
所以 AD∥BC，FD∥BE，
因为 AD∩DF=D，BC∩BE=B，AD,DF⊂平面ADF，BE,BC⊂平面BCE，
所以 平面ADF∥平面BCE，
因为 ME⊂平面BCE，
所以 ME∥平面FAD．
（2） 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DF 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标 D−xyz，
依题意，得 D0,0,0，A1,0,0，F0,0,1，C0,1,0，B1,1,0，E1,1,1，
设 Mλ,1,0，平面 AEF 的法向量为 n=x1,y1,z1，平面 AME 的法向量为 m=x2,y2,z2，
因为 AE=0,1,1，AF=−1,0,1，
所以 n⋅AE=y1+z1=0,n⋅AF=−x1+z1=0,
取 z1=1，得 x1=1，y1=−1，
所以 n=1,−1,1，
又 AM=λ−1,1,0，AE=0,1,1，
所以 m⋅AE=y2+z2=0,m⋅AM=x2λ−1+y2=0,
取 x2=1 得 y2=1−λ，z2=λ−1，
所以 m=1,1−λ,λ−1，
因为 平面AME⊥平面AEF，
所以 m⋅n=1−1−λ+λ−1=0，解得 λ=12，
所以 M12,1,0，AB=0,1,0，
设平面 ABE 的法向量 p=a,b,c，
则 p⋅AB=b=0,p⋅AE=b+c=0,
所以平面 ABE 的法向量 p=1,0,0，
csm,p=m⋅pm⋅p=11+14+14=63，
所以二面角 B−AE−M 的余弦值为 63．
22. （1） 由垂直平分线的性质可得 MP=MF，如图：
则 ME+MF=ME+MP=EP=23>22=EF，
所以动点 M 的轨迹 Γ 是以 E，F 为焦点，长轴长为 23 的椭圆．
可知 a=3，c=2，故 b=a2−c2=1，
所以点 M 的轨迹 Γ 的方程为 x23+y2=1；
（2） 由已知直线 l:y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A，B，原点 O 到直线 l 的距离为 32，可得：m1+k2=32，即 m2=34k2+1．
将 y=kx+m 代入椭圆方程，整理得 1+3k2x2+6kmx+3m2−3=0．Δ=6km2−41+3k23m2−3>0（*）．设 Ax1,y1，Bx2,y2，
所以 x1+x2=−6km1+3k2，x1⋅x2=3m2−31+3k2．
所以
AB2=1+k2x2−x12=1+k236k2m21+3k22−12m2−13k2+1=12k2+13k2+1−m21+3k2=3k2+19k2+13k2+12=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4k≠0.
当且仅当 9k2=1k2，即 k=±33 时等号成立．
经检验，k=±33 满足（*）式．当 k=0 时，AB=3．
综上可知 ABmax=2．
所以当 AB 最大时，△AOB 的面积取最大值 S=12×2×32=32．