2021年北京海淀区知春里中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区知春里中学高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 z1+z2=z1−z2，且 z1z2≠0，则 z1z2 是
A. 实数B. 负实数C. 纯虚数D. 非纯虚数

2. 已知向量 a=2,4,x，b=2,y,2，若 a=6，a⊥b，则 x+y 的值是
A. −3 或 1B. 3 或 −1C. −3D. 1

3. 若直线 y=kx−2 与直线 y=3x 垂直，则 k=
A. 3B. 13C. −3D. −13

4. 圆 x2+y2+2x=0 与 圆 x2+y2−4y−21=0 上的点的最远距离为
A. 4−5B. 6+5C. 4+5D. 6−5

5. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，设 AB=a，AD=b，AA1=c，F1 为 B1D1 的中点，若 DF1=xa+yb+zc，则 x+y+z=
A. −1B. 2C. 1D. 13

6. 如图所示，在三角形 ABC 中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点 E 为 AC 的中点，DC⋅BE=152，则 AB 的长度为
A. 2B. 32C. 2D. 3

7. 已知 F1，F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的左、右焦点，l1，l2 为双曲线的两条渐近线．设过点 Mb,0 且平行于 l1 的直线交 l2 于点 P．若 PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为
A. 3B. 5C. 14−2412D. 14+2412

8. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 OA+OB+OC+OD 等于
A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM

9. 方程 x24−t+y2t−1=1 的图象表示曲线 C，则以下命题中：
甲：曲线 C 为椭圆，则 1乙：若曲线 C 为双曲线，则 t>4 或 t<1；
丙：曲线 C 不可能是圆；
丁：曲线 C 表示椭圆，且长轴在 x 轴上，则 1正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值
A. 至多等于 3B. 至多等于 4C. 等于 5D. 大于 5

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

12. 抛物线 y=−12x2 的焦点坐标是 ，准线方程为 ．

13. 若向量 a=1,λ,2，b=2,−1,2，a,b 夹角的余弦值为 89，则 λ= ．

14. 已知椭圆 G：x26+y2b2=10① 点 P 的轨迹关于 y 轴对称；
② 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ OP 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是 ．

15. 对于定义在 R 上的函数 fx，有下列四个命题，① 若 fx 是奇函数，则 fx−1 的图象关于点 A1,0 对称；② 若关于 x∈R，有 fx+1=fx−1，则 y=fx 的图象关于直线 x=1 对称；③ 函数 fx−1 的图象关于直线 x=1 对称，则 fx 为偶函数；④ 函数 y=f1+x 与函数 y=f1−x 的图象关于直线 x=1 对称．其中，正确命题的序号为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
16. 确定下列直线与平面的位置关系，如果相交，求它们所成角的大小：
（1）直线的一个方向向量为 1,−2,9，平面的一个法向量为 3,−4,7；
（2）直线的一个方向向量为 −1,1,2，平面的一个法向量为 2,1,−1；
（3）直线的一个方向向量为 −2,−7,3，平面的一个法向量为 4,−2,−2；
（4）直线的一个方向向量为 22,−1,2，平面的一个法向量为 −1,2,−2．

17. 已知圆 C:x2+y2−4x+4y+6=0，直线 l:x−y−5=0．
（1）求直线 l 截圆 C 所得弦 AB 的长度；
（2）若 P 为 x 轴上一点，过 P 向圆 C 作切线 PM，M 为切点，设 PM=2，求点 P 的坐标．

18. 已知双曲线的方程为 4x2−9y2=36．
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 PF1⋅PF2=16，求 ∠F1PF2 的大小．

19. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且 ∠BAD=60∘，对角线 AC 与 BD 相交于 O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求直线 DE 与平面 BCEF 所成角的正弦值．

20. 设椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，左焦点到左顶点的距离为 1，离心率为 12．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）过点 A 作斜率为 k 的直线与椭圆 M 交于另一点 B，连接 BF2 并延长交椭圆 M 于点 C，若 F1C⊥AB，求 k 的值．

21. 设抛物线 C:y2=2pxp>0 与直线 l:x−my−p2=0 交于 A，B 两点．
（1）当 ∣AB∣ 取得最小值为 163 时，求 p 的值．
（2）在（1）的条件下，过点 P3,4 作两条直线 PM，PN 分别交抛物线 C 于 M，N（M，N 不同于点 P）两点，且 ∠MPN 的平分线与 x 轴平行，求证：直线 MN 的斜率为定值．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. D【解析】由两直线相互垂直，其斜率分别为 k1，k2，则 k1⋅k2=−1，可得 3⋅k=−1，解得 k=−13．
4. B
5. C
6. C【解析】以 D 为原点，分别以 BC，AD 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 BD=x，CD=4−x，则：D0,0，A0,−1，B−x,0，C4−x,0，E4−x2,−12；
所以 DC=4−x,0，BE=4+x2,−12；
所以 DC⋅BE=16−x22+0=152；
因为 x>0，所以解得 x=1；
所以 B−1,0，又 A0,−1；
所以 ∣AB∣=1+1=2．
7. B【解析】直线 PM 的方程为 y=−bax+b2a ，联立直线 l2 与直线 PM 得 Pb2,b22a ，又因为 PF1⊥PF2 ，所以 PF1⋅PF2=0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 5．
8. D【解析】依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，
所以 OA+OC=2OM，OB+OD=2OM，
所以 OA+OB+OC+OD=4OM．
9. B【解析】方程 x24−t+y2t−1=1 表示曲线 C，以下命题：
若 4−t>0，t−1>0 且 4−t≠t−1，解得 1则曲线 C 为椭圆，因此不正确；
若曲线 C 为双曲线，则 4−tt−1<0，解得 t<1 或 t>4，正确；
当 4−t=t−1>0，即 t=52 时，曲线 C 表示圆，因此不正确；
若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 4−t>t−1>0，解得 110. B
【解析】由正四面体的定义可知 n=4 能满足条件．当 n≥5 时，可设其中三个点为 A，B，C，由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到 A，B，C 三点距离相等的点必在过 △ABC 的重心且与平面 ABC 垂直的直线上，从而易知到 A，B，C 的距离等于正三角形 ABC 边长的点有两个，分别在平面 ABC 的两侧．此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长，从而不可能有 5 个点满足条件．当然也不可能有多于 5 个的点满足条件．
第二部分
11. 2
【解析】因为两条渐近线是正方形 OABC 的相邻两边，
所以夹角为 90∘，可知渐近线的斜率为 ±1．
所以 ±ba=±1，a=b．
因为 B 为该双曲线的焦点，
所以 c=22，由 a2+b2=c2=8，a=b 可得 a=2．
12. 0,−12，y=12
【解析】由题意知抛物线的标准方程为 x2=−2y，则 2p=−2，p2=−12，即抛物线的焦点坐标为 0,−12，准线方程为 y=12．
13. 255 或 −2
14. ①③
15. ①③
第三部分
16. （1） θ=arcsin3743．
（2） 30∘．
（3） 平行．
（4） 垂直．
17. （1） 如图．
圆 C 的方程可化为 x−22+y+22=2，
所以圆 C 的圆心 C2,−2，半径 r=2．
过点 C 作 CN⊥AB 于 N，
所以 CN=2+2−52=22．
因为 CB=2，
所以 BN=CB2−CN2=62．
所以 AB=2BN=6．
（2） 设点 Px,0，由题意，得 CM⊥PM，
所以 PC2=PM2+CM2．
因为 PM=2，CM=2，
所以 PC=6．
所以 x−22+0+22=6，解得 x=2±2．
故点 P 的坐标为 2+2,0，2−2,0．
18. （1） 由双曲线方程 4x2−9y2=36 得 x29−y24=1，
所以 a=3，b=2，c=13，
所以焦点坐标分别为 −13,0，13,0，离心率 e=133，渐近线方程为 y=±23x．
（2） 由双曲线的定义可知 PF1−PF2=6，
所以
cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=PF1−PF22+2PF1⋅PF2−F1F222PF1⋅PF2=36+32−5232=12,
则 ∠F1PF2=60∘．
19. （1） 因为四边形 ABCD 为菱形，
所以 AD∥BC，且 BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，
所以 BC∥面ADEF 且 面ADEF∩面BCEF=EF，
所以 EF∥BC．
（2） 因为 FO⊥面ABCD，
所以 FO⊥AO，FO⊥OB，
又因为 OB⊥AO，
以 O 为坐标原点，OA，OB，OF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.
取 CD 的中点 M，连 OM，EM．易证 EM⊥平面ABCD．
又因为 BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：
B0,1,0，C−3,0,0，D0,−1,0，F0,0,3，E−32,−12,3
向量 DE=−32,12,3，向量 BC=−3,−1,0，向量 BF=0,−1,3
设面 BCEF 的法向量为：n0=x0,y0,z0
n0⋅BC=0n0⋅BF=0，得到 −3x0−y0=0−y0+3z0=0，
令 y0=3 时，n0=−1,3,1，
设 DE 与 n0 所成角为 φ，直线 DE 与面 BCEF 所成角为 θ．
sinθ=∣csφ∣=∣n0⋅DE∣∣n0∣⋅∣DE∣=∣−32×−1+12×3+3×1∣−12+32+12×−322+122+32=155
直线 DE 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 155．
20. （1） 设椭圆左焦点 F1−c,0，依题意 e=ca=12，a−c=1，
解得 a=2，c=1，所以 b2=a2−c2=3，则椭圆方程为 x24+y23=1．
（2） 由（Ⅰ）得 A−2,0，则直线 AB 的方程为 y=kx+2．
联立 y=kx+2,x24+y23=1 消去 y 得 3+4k2x2+16k2x+16k2−12=0．
设 BxB,yB，所以 −2xB=16k2−123+4k2，即 xB=−8k2+63+4k2．
所以 yB=kxB+2=12k3+4k2，则 B−8k2+63+4k2,12k3+4k2；
由（Ⅰ）得 F1−1,0，F21,0，kBF2=4k1−4k2，kCF1=−1k．
所以直线 BF2:y=4k1−4k2x−1，直线 CF1:y=−1kx+1．
联立 y=4k1−4k2x−1,y=−1kx+1 解得 C8k2−1,−8k．
代入 x24+y23=1，得 192k4+208k2−9=0，解得 k2=124，即 k=±612．
21. （1） 由题意知：直线 l:x−my−p2=0 过定点 p2,0，该点为抛物线焦点，
联立 x=my+p2,y2=2px, 消去 x 得：y2−2pmy−p2=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
有 y1+y2=2pm，y1⋅y2=−p2，
所以 ∣AB∣=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=my1+y2+2p=2pm2+1⋯
因为 p>0，m2≥0，当 m=0 时，∣AB∣min=2p，
所以 2p=163，解得 p=83．
（2） 由已知可知直线 PM，PN 的斜率存在，且互为相反数，
设 Mx3,y3，Nx4,y4，直线 PM 的方程为 y=kx−3+4，
联立 y2=163x,,y=kx−3+4, 消去 x 整理得：3ky2−16y+64−48k=0，
又 4 为方程的一个根，
所以 4y3=64−48k3k，得 y3=16−12k3k=163k−4，
同理可得 y4=−163k−4，
所以
kMN=y3−y4x3−x4=y3−y4316y32−y42=163⋅1y3+y4=163×1−8=−23.
所以直线 MN 的斜率为定值 −23．