2021年北京西城区育华中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京西城区育华中学高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 直线 3x+y+1=0 的倾斜角为
A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘

2. 若一个数列的通项公式是 an=kn+b（k，b 为常数），则下列说法中正确的是
A. 数列 an 一定不是等差数列
B. 数列 an 是公差为 k 的等差数列
C. 数列 an 是公差为 b 的等差数列
D. 数列 an 不一定是等差数列

3. 已知 Am,3，B2m,m+4，Cm+1,2，D1,0，则直线 AB 与直线 CD 平行，则 m 的值为
A. 1B. 0C. 0 或 2D. 0 或 1

4. 双曲线 x23−y2=1 的一个焦点坐标为
A. 2,0B. 0,2C. 2,0D. 0,2

5. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为 M．设 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与 2B1M 相等的向量是
A. −a+b+2cB. a+b+2cC. a−b+2cD. −a−b+2c

6. 某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润（单位：万元）为 y1=4.1x−0.1x2，在 B 地的销售利润（单位：万元）为 y2=2x，其中 x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是
A. 10.5 万元B. 11 万元C. 43 万元D. 43.025 万元

7. 抛物线 y2=24x 的焦点为 F，直线 y=3x 与抛物线交于点 A（异于原点），则点 A 到焦点 F 的距离为
A. 12B. 14C. 18D. 24

8. 设 a1，a2，b1，b2，c1，c2 都是非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0 的解集为 A，不等式 a2x2+b2x+c2>0 的解集为 B，则“A=B”是“a1a2=b1b2=c1c2>0”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

9. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共 7 层，从第二层起，上层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列 an，则 lg2a3⋅a5 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 16

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知抛物线的焦点坐标是 0,−3，则抛物线的标准方程是 ．

12. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an−n，则 a6= ．

13. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

14. 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1:2:1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980 h，1020 h，1032 h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h．

15. 已知椭圆 x24+y2a2=1 与双曲线 x2a−y22=1 有相同的焦距，则实数 a= ．

三、解答题（共6小题；共78分）
16. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn．已知 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
（1）求通项公式 an；
（2）求数列 an−n−2∣ 的前 n 项和．

17. 已知圆 C 的方程为 x2+y2=4．
（1）求过点 P2,1 且与圆 C 相切的直线 l 的方程；
（2）直线 m 过点 P2,1，且与圆 C 交于 A，B 两点，若 ∣AB∣=23，求直线 m 的方程．

18. 中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是 θ1，环境温度是 θ0，则经过时间 t（单位：分）后物体温度 θ 将满足：θ=θ0+θ1−θ0⋅e−kt，其中 k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200 ml 初始温度为 98∘C 的水在 19∘C 室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：
从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒
（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）
（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 t（单位：分）关于冷却后水温 θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的 k 值．（精确到 0.01）
（2）“碧螺春”用 75∘C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
A．5
B．7
C．10

19. 如图，在四棱锥 S−ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知 ∠ABC=45∘，AB=2，BC=22，SC=SB=3．
（1）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值；
（2）在线段 AB 上是否存在一点 P，使 SP⊥SC?若存在，请求出 AP 的长；若不存在，请说明理由．

20. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 e=12，过点 2,0．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）设椭圆左、右焦点分别为 F1，F2，经过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF1⊥BF1，求直线 l 方程．

21. 已知数列 an，从中选取第 i1 项、第 i2 项、 ⋯ 、第 im 项（i1