2021年北京房山区周口店中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区周口店中学高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 将 2 封信随意投入 3 个邮箱，不同的投法有
A. 3 种B. 6 种C. 8 种D. 9 种

2. 现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，每个人从中随机抽取一张（不放回），则第一人与第十人抽中奖的概率分别为
A. 110 ， 12B. 12 ， 110C. 110 ， 110D. 110 ， 910

3. 若直线过点 −3,−2 且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为
A. 2x−3y=0B. x+y+5=0
C. 2x−3y=0 或 x+y+5=0D. x+y+5=0 或 x−y+5=0

4. 已知圆 x2+y2+2x−2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值为
A. −2B. −4C. −6D. −8

5. 从 4 个人中任选 3 个人分别去完成 3 项不同的工作，则不同的安排方法有
A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 64 种

6. 若圆 x2+y2−2x−4y=0 的圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，则 a 的值为
A. −2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. −2 或 0

7. 把 6 本不同的书借给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本，不同的借书方法有
A. 15 种B. 90 种C. 270 种D. 540 种

8. 设 m 为正整数，x+y2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，x+y2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b．若 13a=7b，则 m 等于
A. 5B. 6C. 7D. 8

9. 双曲线 C:x2−y2b2=1 的渐近线与直线 x=1 交于 A，B 两点，且 AB=4，那么双曲线 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 5

10. 以椭圆上的一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则该椭圆的长轴长的最小值是
A. 22B. 2C. 2D. 22

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线 N:x2m2−y2n2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．

12. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=2px 上一点 A 到焦点的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，且 ∣OM∣+∣MA∣ 最小值为 213，则 p 等于 ．

13. 某保险公司把被保险人分为 3 类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这 3 类人在一年内发生事故的概率依次为 0.05，0.15 和 0.3．如果“谨慎的”被保险人占 20%，“一般的”占 50%，“冒失的”占 30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为 ．

14. 已知某同学投篮投中的概率为 23，现该同学要投篮 3 次，且每次投篮结果互相独立，则恰投中两次的概率为 ；设 X 为该同学在这 3 次投篮中投中的次数，则随机变量 X 的数学期望为 ．

15. 抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，直线 l 过 F 与 C 交于 A，B 两点，若 AF=3BF，则直线 l 的方程为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
16. 现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场 120 份样本数据的统计，甲项目年利润分布如下表：
年利润1.2万元1.0万元0.9万元频数206040
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为 13，在一年之内要进行 2 次独立的抽查，在这 2 次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：
合格次数210年利润1.3万元1.1万元0.6万元
记随机变量 X，Y 分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率．
（1）求 X>Y 的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由．

17. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．
（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；
（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记 ξ=∣X−Y∣，求随机变量 ξ 的分布列．

18. 已知复数 z 满足 z=2，z2 的虚部为 2．
（1）求复数 z；
（2）设 z，z2，z−z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求 △ABC 的面积．

19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 e=12，过点 2,0．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）设椭圆左、右焦点分别为 F1，F2，经过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF1⊥BF1，求直线 l 方程．

20. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，右焦点到左顶点的距离是 2+3．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设点 M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点 C，直线 MA 与 y 轴交于点 D，求证：四边形 ABCD 的面积为定值．
答案
第一部分
1. D【解析】根据题意，2 封信随意投入 3 个邮箱，每一封信都有 3 种投法，则一共有 3×3=9 种不同的投法．
2. C
3. C
4. B
5. B
【解析】根据题意，先在 4 个人中任选 3 个人，有 C43 种选法，再将选出的 3 人全排列，安排去完成 3 项不同的工作，有 A33 种情况，则有 C43×A33=24 种安排方法；
故选：B．
6. C【解析】把 x2+y2−2x−4y=0 化为标准方程为 x−12+y−22=5，故圆心坐标为 1,2，由圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，得 22=∣1−2+a∣2，所以 a=2 或 a=0．
7. B
8. B【解析】x+2y2m 展开式的二项式系数的最大值是 C2mm，即 a=C2mm；
x+2y2m+1 展开式的二项式系数的最大值是 C2m+1m，即 b=C2m+1m．
因为 13a=7b，
所以 13C2mm=7C2m+1m，
所以 13×2m!m!⋅m!=7×2m+1!m+1!⋅m!，易得 m=6．
9. D
10. B
第二部分
11. 3−1，2
12. 4
【解析】设原点关于准线的对称点 B，则 ∣MB∣=∣MO∣，当 AB 与准线的交点为 M 时，∣OM∣+∣MA∣ 取到最小值，此时 ∣AB∣=213，不妨设抛物线焦点为 F，由题意知，A 到准线的距离为 ∣AF∣=4，设 Ax0,y0，则 x0+p2=4，所以 x0=4−p2，因为 A 在抛物线上，所以 y02=2px0=2p4−p2=8p−p2．
由 A 做 x 轴的垂线，垂足为 C，
则 ∣BC∣=p2+4，在 △ABC 中，由勾股定理可知，∣AC∣2+∣BC∣2=∣AB∣2，即 y02+p2+42=8p−p2+p2+42=2132，整理得，3p2−48p+144=0，解得 p=4或12．又因为当 p=12 时，x0=4−p2=4−6=−2<0，不符合题意，所以 p=4．
故答案为：4．
13. 0.175
【解析】设事件 B1 表示“谨慎的”被保险人，B2 表示“一般的”被保险人，B3 表示“冒失的”被保险人，则 B1，B2，B3 构成了 Ω 的一个划分，设事件 A 表示被保险人在一年内出事故，则由全概率公式得 PA=PBiPA∣Bii=13=0.05×0.2+0.15×0.5+0.3×0.3=0.175．
14. 49，2
【解析】某同学投篮投中的概率为 23，现该同学要投篮 3 次，且每次投篮结果互相独立，
则恰投中两次的概率为 P=C3223213=49；
设 X 为该同学在这 3 次投篮中投中的次数，
则 X∼B3,23，
则随机变量 X 的数学期望为 EX=3×23=2．
15. 23x−2y−3=0 和 23x+2y−3=0
第三部分
16. （1） X>Y 的所有情况有：
PX=1.2,Y=1.1=16×2×13×23=227，
PY=0.6=232=49，
所以 PX>Y=227+49=1427．
（2） 随机变量 X 的分布列为
所以 EX=1．
PY=1.3=13×13=19，
PY=1.1=13×23+23×13=49，
PY=0.6=23×23=49，
所以随机变量 Y 的分布列为
所以 EY=0.9．
因为 EX>EY，且 X>Y 的概率比 X所以从长期投资来看，甲项目更具有投资价值．
17. （1） 依题意知，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 13，去参加乙游戏的概率为 23．
设“这 4 个人中恰有 k 人去参加甲游戏”为事件 Akk=0,1,2,3,4．
则 PAk=C4k13k234−k．
这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为
PA2=C42132232=827．
（2） 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B=A3∪A4．
由于 A3 与 A4 互斥，故 PB=PA3+PA4=C43133×23+C44134=19．
所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 19．
（3） ξ 的所有可能取值为 0，2，4．
由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 Pξ=0=PA2=827，
Pξ=2=PA1+PA3=4081，
Pξ=4=PA0+PA4=1781．
所以 ξ 的分布列是：
ξ024P82740811781
18. （1） 设 z=a+bia,b∈R，
由已知条件得 a2+b2=2，
z2=a2−b2+2abi，
所以 2ab=2，
所以 a=b=1 或 a=b=−1，
即 z=1+i 或 z=−1−i．
（2） 当 z=1+i 时，z2=1+i2=2i，z−z2=1−i，
所以点 A1,1，B0,2，C1,−1，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
当 z=−1−i 时，z2=−1−i2=2i，
z−z2=−1−3i，
所以点 A−1,−1，B0,2，C−1,−3，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
即 △ABC 的面积为 1．
19. （1） 因为 e=ca=12，且过点 2,0，
所以 a=2，c=1，
所以 b2=a2−c2=3，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1．
（2） 当斜率不存在时，设 l:x=1，
得 A1,32，B1,−32，
显然不满足条件．
当斜率存在时设 l:y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 y=kx−1,3x2+4y2=12,
整理得：3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，
所以 x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
因为 AF1⊥BF1，
所以 AF1⋅BF1=0，
即：x1+1x2+1+y1y2=0，
整理得 1+k2x1x2+1−k2x1+x2+1+k2=0，
带入化简 7k2=9，即 k=±377，
所以直线 l 方程为 y=±377x−1．
20. （1） 由已知可得 ca=32,a+c=2+3,a2=b2+c2, 解得 a=2，b=1，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1．
（2） 因为椭圆 C 的方程为 x24+y2=1，
所以 A−2,0，B0,−1，
设 Mm,nm>0,n>0，
则 m24+n2=1，即 m2+4n2=4，
则直线 BM 的方程为 y=n+1mx−1，
令 y=0，得 xC=mn+1，
同理可得直线 AM 的方程为 y=nm+2x+2，
令 x=0，得 yD=2nm+2，
所以
S△ABCD=12ACBD=12⋅mn+1+22nm+2+1=12⋅m+2n+22m+2n+1=12⋅m2+4n2+4+4mn+4m+8n8mn+m+2n+2=12⋅4mn+4m+8n+8mn+m+2n+2=2,
所以四边形 ABCD 的面积为定值 2．