2021年安徽金安区六安中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年安徽金安区六安中学高二上学期期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线过点 2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，则双曲线的方程为
A. x221−y228=1B. x228−y221=1C. x23−y24=1D. x24−y23=1

2. 设 l，m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是
①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β；
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β；
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n；
④若 m⊥α，n∥β 且 α∥β，则 m⊥n．
A. 4B. 3C. 2D. 1

3. 如果圆 x−a2+y−a2=8 上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是
A. −3,−1∪1,3B. −3,3
C. −1,1D. −3,−1∪1,3

4. 如图，在直三棱柱 A1B1C1−ABC 中，∠BAC=π2，AB=AC=A1A=1，已知 G 与 E 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点）．若 GD⊥EF，则线段 DF 的长度的取值范围是
A. 15,1B. 15,2C. 1,2D. 15,2

5. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=60∘，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABC 体积的最大值为 1633，则球 O 的表面积为
A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π

6. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点为 F1−c,0，F2c,0，P 为直线 x=a2c 上一点，F1P 的垂直平分线恰过 F2 点，则 e 的取值范围为
A. 0,33B. 0,33C. 33,1D. 33,1

7. 如图，已知 △ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 △ACD 折成 △A1CD，所成二面角 A1−CD−B 的平面角为 α，则
A. ∠A1CB≥αB. ∠A1DB≤αC. ∠A1DB≥αD. ∠A1CB≤α

8. 已知直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，则 a∥β，b∥β 是 α∥β 的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 83+8πB. 163+8πC. 83+16πD. 163+16π

10. 若直线 ax+by+c=0 在第一、二、四象限，则有
A. ac>0,bc>0B. ac>0,bcb>0 的离心率为 32，右焦点到直线 x+y+6=0 的距离为 23，过 M0,−1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l 交 x 轴于 N，NA=−75NB，求直线 l 的方程

20. 在多面体 ABCDE 中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F 为 AB 的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）若 EA=EB=CD，求二面角 B−AD−E 的正切值的大小．

21. 如图，已知离心率为 32 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 M2,1，O 为坐标原点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A，B．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明：直线 MA，MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．

22. 已知 a≥12，y=−a2x2+ax+c，其中 a，c 均为实数．
证明：对于任意的 x∈x0≤x≤1，均有 y≤1 成立的充要条件是 c≤34．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意，ba=32，因为抛物线 y2=47x 的准线方程为 x=−7，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，所以 c=7，所以 a2+b2=c2=7，所以 a=2，b=3，所以双曲线的方程为 x24−y23=1．
2. D【解析】①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故①错误，
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β 或 l∥β，故②错误，
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n 或 l 与 n 相交或 l 与 n 异面，故③错误，
④若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，若 n∥β，则 m⊥n．故④正确，
故正确的是④．
3. A【解析】问题可转化为圆 x−a2+y−a2=8 和圆 x2+y2=2 相交，
两圆圆心距 d=a−02+a−02=2a，
由 R−r