2021年北京平谷区联考高中8高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区联考高中8高二上学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 顺次连接 A−4,3，B2,5，C6,3，D−3,0 四点所构成的图形是
A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对

2. 已知双曲线 Γ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F，过原点的直线 l 与双曲线 Γ 的左、右两支分别交于 A，B 两点，延长 BF 交右支于 C 点，若 AF⊥FB，∣CF∣=3∣FB∣，则双曲线 Γ 的离心率是
A. 173B. 32C. 53D. 102

3. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知 ∣AB∣=42，∣DE∣=25，则 C 的焦点到准线的距离为
A. 2B. 4C. 6D. 8

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
A. 83B. 163C. 323D. 16

5. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n
B. 若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
C. 若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥β
D. 若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β

6. 设 l，m 为直线，α，β 为平面，且 l⊂α，m⊂β，则“l∩m=∅”是“α∥β”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为
A. 2155B. 155C. 2D. 1

8. 如图，在正三棱柱 A1B1C1−ABC 中，E 是 BC 中点，则下列结论正确的是
A. CC1 与 B1E 是异面直线
B. AC⊥平面ABB1A1
C. AE，B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1
D. A1C1∥平面AB1E．

9. 椭圆 x225+y29=1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ∣ON∣ 等于
A. 2B. 4C. 8D. 32

10. 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 命题“任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为 ．

12. 若直线 y=kx+1 与直线 2x+y−4=0 垂直，则实数 k= ．

13. 过点 M−1,1，且圆心与已知圆 C：x2+y2−4x+6y−3=0 相同的圆的方程为 ．

14. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的两焦点为 F1，F2，点 Px0,y0 满足 0
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知平面内两点 A8,−6，B2,2．
（1）求 AB 的中垂线方程；
（2）求过点 P2,−3 且与直线 AB 平行的直线 l 的方程；

16. 几何体 E−ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求证：BE=DE；
（2）若 ∠BCD=120∘，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面BEC．

17. 已知以 F 为焦点的抛物线 C:y2=2pxp>0 过点 P1,−2，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，M 为 AB 中点，且 OM+OP=λOF．
（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；
（2）当 OA⋅OB=12 时，求直线 l 的方程．

18. 如图，已知四棱锥 P−ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．

19. 如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB=AC，AA1=2，BC=22，D，E 分别是 BC，CC1 的中点．
（1）证明：BD1⊥平面ADE；
（2）若 AB=2，求平面 AB1C1 与平面 ADE 所成二面角的正弦值．

20. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右两个焦点分别为 F1，F2，离心率 e=22，短轴长为 2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点 A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），AF2 的延长线与椭圆交于 B 点，AO 的延长线与椭圆交于 C 点，求 △ABC 面积的最大值．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】记双曲线的左、右焦点分别为 Fʹ，F，设双曲线的实半轴长为 a，半焦距为 c．连接 AFʹ，BFʹ，CFʹ．
因为 AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形 AFBFʹ 是矩形，
所以 ∠FʹBF=π2．
设 ∣FB∣=x，则 ∣CF∣=3x，∣BFʹ∣=2a+x，∣CFʹ∣=2a+3x．
在 Rt△CBFʹ 中，∣BFʹ∣2+∣BC∣2=∣CFʹ∣2，即 2a+x2+16x2=2a+3x2 可得 x=a，
从而 ∣BFʹ∣=2a+x=3a，∣FB∣=a，
在 Rt△BFFʹ 中，∣BFʹ∣2+∣FB∣2=∣FFʹ∣2，即 3a2+a2=2c2，
所以 10a2=4c2，即有 e=ca=102．
3. B【解析】不妨设 C：y2=2pxp>0，Ax1,22，则 x1=2222p=4p，由题意可知 ∣OA∣=∣OD∣，得 4p2+8=2p2+5，解得 p=4（舍负）．
4. B
5. D
【解析】如图，
在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而 BC1 不垂直于 BC，故A错误．
平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但 B1D1 和 AC 不平行，故B错误．
AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但 平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．
6. B【解析】当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m=∅”是“α∥β”的必要条件；
当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，所以 l∩m=∅ 是 α∥β 的必要不充分条件．
7. D
8. C
9. B【解析】如图，F2 为椭圆的右焦点，连接 MF2，
则 ON 是 △F1MF2 的中位线，
所以 ∣ON∣=12∣MF2∣，
又 ∣MF1∣=2，
∣MF1∣＋∣MF2∣=2a=10，
所以 ∣MF2∣=8，
所以 ∣ON∣=4．
10. C
【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面；
两条平行线可以确定一个平面；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面；
两个平面相交，有一条公共交线，上面有无数个点．
第二部分
11. “存在 x∈R，有 x2<0”
12. 12
【解析】由题意得，k⋅−2=−1，所以解得 k=12．
13. x−22+y+32=25
【解析】圆的方程可化为 x−22+y+32=16，
则所求圆的圆心为 2,−3．
半径 r=32+42=5，
方程为 x−22+y+32=25．
14. 2,22
【解析】由点 Px0,y0 满足 0第三部分
15. （1） AB 两点的中点为 5,−2，
因为 kAB=2−−62−8=−43，所以 k中垂线=34．
中垂线方程为 3x−4y−23=0．
（2） 因为 kAB=−43，所以直线 l 的斜率为 −43，l 的方程为 4x+3y+1=0．
16. （1） 取 BD 的中点 O，连接 CO，EO．
由于 CB=CD，
所以 CO⊥BD，
又 EC⊥BD，EC∩CO=C，CO，EC⊂平面EOC，
所以 BD⊥平面EOC，因此 BD⊥EO，
又 O 为 BD 的中点，
所以 BE=DE．
（2） 方法一：取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN，
因为 M 是 AE 的中点，
所以 MN∥BE．
又 MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以 MN∥平面BEC，
又因为 △ABD 为正三角形，
所以 ∠BDN=30∘，
又 CB=CD，∠BCD=120∘，
因此 ∠CBD=30∘，
所以 DN∥BC．
又 DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以 DN∥平面BEC．
又 MN∩DN=N，故平 面DMN∥平面BEC．
又 DM⊂平面DMN，
所以 DM∥平面BEC．
方法二：
延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF．
因为 CB=CD，∠BCD=120∘．
所以 ∠CBD=30∘．
因为 △ABD 为正三角形．
所以 ∠BAD=60∘，∠ABC=90∘，
因此 ∠AFB=30∘，
所以 AB=12AF．
又 AB=AD，
所以 D 为线段 AF 的中点．
连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，
因此 DM∥EF．
又 DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，
所以 DM∥平面BEC．
17. （1） 因为 P1,−2 在 y2=2px 上，代入方程可得 p=2，
所以 C 的方程为 y2=4x，焦点为 F1,0．
设 Mx0,y0，当 λ=3 时，由 OM+OP=3OF，可得 M2,2．
（2） 法一：
设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
由 OM+OP=λOF，可得 x0+1,y0−2=λ,0，所以 y0=2．
所以直线 l 的斜率存在且斜率 k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=2y0=1．
可设直线 l 的方程为 y=x+b，
联立 y=x+b,y2=4x, 得 x2+2b−4x+b2=0，
Δ=2b−42−4b2=16−16b>0，可得 b<1，
则 x1+x2=4−2b，x1x2=b2，y1y2=x1x2+bx1+x2+b2=4b，
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=b2+4b=12，
解得 b=−6 或 b=2（舍去），所以直线 l 的方程为 y=x−6．
法二：
设直线 l 的方程为 x=my+n，Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
联立 x=my+n,y2=4x, 得 y2−4my−4n=0，Δ=16m2+16n>0，
则 y1+y2=4m，y1y2=−4n，x1+x2=my1+y2+2n=4m2+2n，
所以 M2m2+n,2m．
由 OM+OP=λOF，得 2m2+n+1,2m−2=λ,0，
所以 m=1，所以直线 l 的方程为 x=y+n，
由 Δ=16+16n>0，得 n>−1，
由 y1y2=−4n，得 x1x2=y1y2216=n2，
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=n2−4n=12，
解得 n=6 或 n=−2（舍去），所以直线 l 的方程为 y=x−6．
18. （1） 取 AD 的中点 F，连接 EF，CF，
因为 E 为 PD 的中点，所以 EF∥PA，
在四边形 ABCD 中，BC∥AD，AD=2BC，F 为 AD 中点，
所以 CF∥AB，又 CF∩EF=F，AB∩PA=A，
所以平面 EFC∥平面PAB，
又 EC⊂平面EFC，
所以 CE∥平面PAB .
（2） 连接 BF，过 F 作 FM⊥PB 于点 M，连接 PF，
因为 PA=AD，所以 PF⊥AD，
而 BF∥CD，CD⊥AD，所以有 BF⊥AD，
又 PF∩BF=F，所以 AD⊥平面PBF，所以 BC⊥平面PBF，
所以 BC⊥PB，BC⊥MF .
设 DC=CB=1，则 AD=PC=2，可得 PB=3 ，
又 BF=PF=1，所以可求得 MF=12，
又因为 MF⊥BC，MF⊥PB，BC∩PB=B，
所以 MF⊥平面PBC，即点 F 到平面 PBC 的距离为 12．
又 DF∥BC，BC⊂平面PBC，DF⊄平面PBC，
所以 DF∥平面PBC，
所以点 D 到平面 PBC 的距离为 12，
又 E 是 PD 中点，
所以点 E 到平面 PBC 的距离为 14，
在 △PCD 中，PC=2，CD=1，PD=2，
可求得 CE=2，
设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ，则 sinθ=14CE=28 ，
所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 28 .
19. （1） 由已知得：BB1DC=BDCE=2，
所以 Rt△B1BD∽Rt△DCE，
所以 ∠BB1D=∠CDE，
所以 ∠B1DE=90∘，
所以 B1D⊥DE，
又因为 AB=AC，D 是 BC 的中点，
所以 AD⊥BC，
所以 AD⊥平面BCC1B1，
所以 AD⊥B1D，而 AD∩DE=D，
所以 B1D⊥平面ADE．
（2） AB2+AC2=BC2，
所以 AB⊥AC，
以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系，
所以 B12,0,2，C10,2,2，D1,1,0，
则 AB1=2,0,2，AC1=0,2,2，
设 m=x1,y1,z1 为平面 AB1C1 的一个法向量，
则 m⋅AB=0,m⋅AC1=0, 得 m=1,1,−1，
平面 ADE 的法向量为 n=B1D=−1,1,−2，
所以 csθ=m⋅nm⋅n=23×6=23，
所以 sinθ=73，
所以，平面 AB1C1 与平面 ADE 所成二面角的正弦值为 73．
20. （1） 由题意得 2b=2，
解得 b=1，
因为 e=ca=22，a2=b2+c2，
所以 a=2，c=1，
故椭圆的标准方程为 x22+y2=1．
（2） ①当直线 AB 的斜率不存在时，易知 A1,22，B1,−22，C−1,−22，
故 S△ABC=12×2×2=2；
②当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx−1，
联立方程得 y=kx−1,x22+y2=1,
化简得 2k2+1x2−4k2x+2k2−2=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
x1+x2=4k22k2+1，x1⋅x2=2k2−22k2+1，
AB=1+k2⋅x1+x22−4x1⋅x2=1+k2⋅4k22k2+12−4⋅2k2−22k2+1=22⋅k2+12k2+1,
点 O 到直线 kx−y−k=0 的距离 d=∣−k∣k2+1=∣k∣k2+1，
因为 O 是线段 AC 的中点，
所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d=2∣k∣k2+1，
S△ABC=12∣AB∣⋅2d=12⋅22⋅k2+12k2+1⋅2∣k∣k2+1=22k2k2+12k2+12=2214−142k2+12<2.
综上，△ABC 面积的最大值为 2．