专题16 导数中构造函数问题

专题16  导数中构造函数问题

【方法点拨】

     1.双主元不等式恒成立、存在性问题：变量分离，构造函数，最终将问题转化为函数最值问题.

2.关于“”的齐次分式型--------换元法

减元构造：多变量不等式 ，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数.

【典型题示例】

例1    （2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8）已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，不妨设，则可化为，即

设

则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立

所以在R上单增

故在R上恒成立

所以，故

所以实数的取值范围是， 选B．

点评:

    从解题中不难发现，不等式恒成立恒成立.

例2    (2021·江苏徐州铜山、南通如皋一抽测·22改编)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________.

【解析】不等式可变形为，

即当，且恒成立，

所以函数在上单调递减.

令

则在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则.

因为当时，，

所以函数在上单调递减，所以，

所以，

即实数的取值范围为.

例3    （2021·江苏省泰州中学九月测 ·12）（多选题）已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）．

A．                B．

C．          D．当时，

【答案】AD 

【解析】A．正确；因为令，在上是增函数，

∴当时，，∴即．

B．错误；因为令，∴，

∴时，，单调递增，时，，单调递减．

∴与无法比较大小．

C．错误；因为令，，

∴时，，在单调递减，

时，，在单调递增，

∴当时，，

∴，∴，∴．

当时，∴，

∴，∴．

D．正确；因为时，单调递增，又∵A正确，

∴

．

故选AD．

【巩固训练】

1.已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

2.若对都有，则实数的取值范围为___________.

3.设函数，若对任意恒成立，则实数的范围为_______________.

4.已知函数，若对，且，都有，则实数的取值范围为___________.

5.若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．

6.已知函数，若，求证：.

7.已知函数，对任意的，，且，证明：恒成立．

【答案或提示】

1.【答案】B

【解析】且，

，

设，

则，又对任意的，且都成立，

所以在上为增函数，即恒成立，

整理得，当时，不等式成立，

当时，恒成立，

又，所以.故选：B．

2.【答案】

【解析】不妨设，为“去绝对值”，研究函数的单调性.

∵     ∴在上增

令

问题转化为减在上恒成立.

∴在上恒成立

故，即

所以实数的取值范围为.

点评:

本类题目解题的切入点是抓住式子的结构特征进行变形，而关键是适时“构造函数”，其构造的时机是“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.

3.【答案】

4.【答案】

5.【答案】

【解析】∵ ，∴ 

由题意得在区间上是减函数．

当，  ∴

由在恒成立．

设，，则

∴在上为增函数，∴.

当，∴

由在恒成立

设，为增函数,∴

综上：a的取值范围为.

6.【证明】当时，不等式等价于    

令，则，设，则，    当时，，在上单调递增，，

所以，原不等式成立．      

7.【证明】

∵，，且      ∴，即

令      

令，只需.

∵         ∴当时增

∴

故对任意的，，当，恒成立．

点评:

本类题目的特征是，问题中出现了含有“”的齐次分式，其解法是：通过换元，设，转化为关于新元在指定区间上的恒成立问题.