专题10 平凡恒等式

专题10  平凡恒等式

【方法点拨】

平凡恒等式.

说明：1. 平凡恒等式即三角不等式的延拓，其证明只需对a、b的符号分类讨论即可.

2. 遇到“双绝对值”问题使用平凡恒等式可实现“秒杀”.

【典型题示例】

例1     函数的最小值是           .

【答案】

思路一：换元+奇偶性+去绝对值

是偶函数

设

则（下略）.

思路二：周期性+奇偶性+去绝对值

是偶函数，且其最小正周期是

（下略）.

思路三：平凡恒等式

设

则，

由得，此时取得最小值

.

例2    (2016·浙江) 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有

 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是        ．

【答案】

【解析】，即最大值为.

【巩固训练】

1. 函数的最大值是           .

2. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”，则椭圆上的一点P和直线上的一点Q的“折线距离”的最小值是            .

3. 已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最小值是        ．

【答案或提示】

1.【答案】

2.【答案】

3.【答案】

【解析】，即最大值为.