北师大版八年级下册4 角平分线课文内容ppt课件

2021年北师大版数学八年级下册

《角平分线》同步练习

一．选择题

1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（　　）cm．

A．3 B．4 C． D．

3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝4，则△BCE的面积等于（　　）

A．16 B．20 C．28 D．40

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D，若PD＝3cm，则P到OA的距离d满足（　　）

A．d＜3cm B．d＝3cm C．d＞3cm D．无法确定

6．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　）

①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二．解答题

9．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

（1）如图1，求∠BDC的度数；

（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．

10．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．

（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．

（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．

2021年北师大版数学八年级下册

《角平分线》同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题

1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，

∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，

∴IH＝IM＝IN，

∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，

∴S△ABC＝＝＝24，

∵S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，

∴24＝，

∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，

∴24＝++，

∴IH＝2，

故选：A．

2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（　　）cm．

A．3 B．4 C． D．

【解答】解：∵BC＝8cm，BD：CD＝3：4，

∴BD＝（cm），

∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，

∴D到AC的距离等于BD，

∴D点到线段AC的距离为cm，

故选：D．

3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝4，则△BCE的面积等于（　　）

A．16 B．20 C．28 D．40

【解答】解：过E作EM⊥BC于M，

∵CD⊥AB，EM⊥BC，BE平分∠ABC，DE＝4，

∴EM＝DE＝4，

∵BC＝10，

∴△BCE的面积是

＝

＝20，

故选：B．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE＝4，

∵AC＝10，

∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝6．

故选：C．

5．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D，若PD＝3cm，则P到OA的距离d满足（　　）

A．d＜3cm B．d＝3cm C．d＞3cm D．无法确定

【解答】解：过点P作PE⊥OA于E，

∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴d＝PE＝PD＝3cm，

故选：B．

6．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　）

①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：过P作PQ⊥AC于Q，

∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴PM＝PQ，PQ＝PN，

∴PM＝PN，

∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；

∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，

∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，

在Rt△PMA和Rt△PQA中，

，

∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），

∴∠MPA＝∠QPA，

同理Rt△PQC≌Rt△PNC，

∴∠QPC＝∠NPC，

∵∠PMA＝∠PNC＝90°，

∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；

∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，

∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，

又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，

∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），

∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；

∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，

∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；

即正确的个数是4，

故选：D．

7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，

∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，

∴DE＝AD＝2，

故选：C．

8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，

∴∠PCO＝30°，

过P作PE⊥OA于E，

∵PD⊥OB，OP平分∠AOB

∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，

∴∠CPD＝75°，

∴OC＝PC＝6，

故选：D．

二．解答题

9．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

（1）如图1，求∠BDC的度数；

（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．

【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°﹣30°﹣20°

＝130°；

（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，

∴DH＝DE＝2，

∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，

∴DF＝DH＝2，

∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．

10．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．

（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．

（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．

【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE△DCF是直角三角形．

在Rt△BDE与Rt△DCF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE＝DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是△ABC的角平分线；

（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，

∵AD是BC边的中线，

∴BD＝CD，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE＝CF．