2022届高考数学二轮专题测练-定积分的概念与计算

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-定积分的概念与计算，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. ∣x2−801∣dx=
A. 213B. 223C. 233D. 253

2. 1xdx12=
A. −ln2B. 12ln2C. ln2D. 2ln2

3. 已知函数 fa=sinxdx0a，则 ffπ2=
A. 1B. 1−cs1C. 0D. cs1−1

4. ex+2xdx01 等于
A. 1B. e−1C. eD. e+1

5. 定义 mina,b=a,a≤bb,a>b，设 fx=minx2,1x，则由函数 fx 的图象与 x 轴、直线 x=2 所围成的封闭图形的面积为
A. 712B. 512C. 13+ln2D. 16+ln2

6. 由直线 x=12，x=2，曲线 y=1x 及 x 轴所围图形的面积是
A. 154B. 174C. 12ln2D. 2ln2

7. 若 x2+mx01dx=0，则实数 m 的值为
A. −13B. −23C. −1D. −2

8. ∫01 ex+2xdx 等于
A. 1B. e−1C. eD. e+1

9. 设 m 为正整数，x+y2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，x+y2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b．若 13a=7b，则 m 等于
A. 5B. 6C. 7D. 8

10. 函数 fx=12csωx−32sinωxω>0 在 0,π 内的值域为 −1,12，则 ω 的取值范围为
A. 23,43B. 0,43C. 0,23D. 0,1

11. 分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
A. 4−π2B. π−22C. 4−π4D. π−24

12. 若 x2−1ax9a∈R 的展开式中含 x9 项的系数为 −212，则函数 fx=sinx 与直线 x=a，x=−a 及 x 轴围成的封闭图形的面积为
A. 1−sin2B. 2−2sin2C. 1−cs2D. 2−2cs2

13. 如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 y=x2 和曲线 y=x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形 AOBC 内随机投一点（该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 ．
A. 12B. 13C. 14D. 16

14. 如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 y=x2 和曲线 y=x 围成 一个叶形图（阴影部分），向正方形 AOBC 内随机投一点（该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是
A. 12B. 16C. 14D. 13

15. 曲线 y=2x 与直线 y=x−1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为
A. 4−2ln2B. 2−ln2C. 4−ln2D. 2ln2

16. 曲线 y=csx0≤x≤3π2 与 x 轴所围图形的面积为
A. 4B. 2C. 52D. 3

17. 若 a∈1,6，则函数 y=x2+ax 在区间 2,+∞ 内单调递增的概率是
A. 15B. 25C. 35D. 45

18. 已知函数 fx=xelnx，若关于 x 的方程 f2x−mfx+1=0 恰好有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
A. 2,+∞B. 1,+∞C. 1,2D. 2,4

19. 1−x−12−x2dx01 的值是
A. π4−13B. π4+13C. π2−13D. π2−1

20. 若函数 fx=ex−m+1lnx+2m+1x−1 恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为
A. −e2,−eB. −∞,−e2
C. −∞,−12D. −∞,−e−1

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 2x−exdx=02 ．

22. 已知 fx 为一次函数，且 fx=x+2ftdt01 ，则 fx= ．

23. 已知 fx 为一次函数，且 fx=x+2∫01ftdt，则 fx= ．

24. 曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为 ．

25. 设 y=fx 为区间 0,1 上的连续函数，且恒有 0≤fx≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 fxdx01．先产生两组（每组 N 个）区间 0,1 上的均匀随机数 x1，x2，⋯，xN 和 y1，y2，⋯，yN，由此得到 N 个点 xi,yii=1,2,⋯,N，再数出其中满足 yi≤fxii=1,2,⋯,N 的点数 N1，那么由随机模拟方法可得积分 fxdx01 的近似值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 计算定积分 x+1dx12．

27. 求 csx2−sinx22dx0π2．

28. 对于任意实数 a，求使实积分 x2+px+qdxaa+1 的值总是正数的充要条件．

29. 求下列定积分：
（1）x−x2+1xdx12；
（2）csx+exdx−π0．

30. 已知函数 fx 为偶函数，当 x≥0 时，fx=2ex，若存在实数 m，对任意的 x∈1,kk>1，都有 fx+m≤2ex，求整数 k 的最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】x2−801dx=8−x2dx01=8x−x3301=233．
2. C
3. B【解析】fa=sinxdx0a=−csxa0=1−csa，于是 fπ2=1，ffπ2=f1=1−cs1．
4. C【解析】ex+2xdx01=ex+x201=e+1−1=e．
5. C
6. D【解析】由直线 x=12，x=2，曲线 y=1x 及 x 轴所围图形的面积为 1x122dx．
∵lnxʹ=1x，
∴1x122dx=ln2−ln12=2ln2．
7. B【解析】因为 x2+mx01dx=0，所以 13x3+12mx201=0，即 13+12m=0，解得 m=−23．
8. C
9. B【解析】x+2y2m 展开式的二项式系数的最大值是 C2mm，即 a=C2mm；
x+2y2m+1 展开式的二项式系数的最大值是 C2m+1m，即 b=C2m+1m．
因为 13a=7b，
所以 13C2mm=7C2m+1m，
所以 13×2m!m!⋅m!=7×2m+1!m+1!⋅m!，易得 m=6．
10. A
【解析】函数 fx=12csωx−32sinωx=csωx+π3ω>0，
当 x∈0,π 时，fx∈−1,12，
所以 −1≤csωx+π3≤12，则 π≤ωx+π3≤5π3，解得 23≤ω≤43，
故 ω 的取值范围为 23,43．
11. B【解析】设正方形边长为 2，则阴影区域的面积为 2π−4，所以所求概率为 P=2π−44=π−22．
12. D
13. B【解析】依题意，叶形图面积为 S叶形图=x−x2dx01=23x32−13x301=13，又正方形面积为 S正方形=1，所以所投点落在叶形图内部的概率为 P=S叶形图S正方形=13．
14. D【解析】依题意知，题中的正方形区域的面积为 12=1，阴影区域的面积等于 ∫01x−x2dx=23x32−13x301=13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于 13．
15. A
【解析】x−1−2xdx24=12x2−2lnx−x24=4−2ln2．
16. D【解析】曲线 y=csx0≤x≤3π2 与 x 轴所围图形的面积为 S=∫0π2csxdx−∫π23π2csxdx=sinx0π2−sinxπ23π2=3．
17. C
18. A【解析】当 x>1 时，fx=xelnx，fʹx=lnx−1elnx2，
所以 fx 在 1,e 上单调递减，在 e,+∞ 上单调递增，
所以当 x=e 时，fx 取得极小值 fe=ee⋅1=1，
同理可得 fx 在 0,1 上单调递增．
作出 fx 的函数图象如图所示：
设 f2x−mfx+1=0 的两根为 f1x，f2x．
由 f2x−mfx+1=0 恰好有四个不相等的实数根，
则方程的一根在区间 0,1 上，另一根在区间 1,+∞ 上，
不妨设 0≤f1x<1，f2x>1．
根据二次函数零点分布可得 Δ>0,1−m+1<0, 即 −m2−4>0,m>2,
解得 m>2，故实数 m 的取值范围是 2,+∞．
19. A【解析】1−x−12−x2dx01=1−x−12dx01−x2dx01，因为 1−x−12dx01 表示以 1,0 为圆心，以 1 为半径的圆的上半圆的面积的 12，所以 1−x−12dx01=π4，又因为 x2dx01=13．所以 1−x−12−x2dx01=1−x−12dx01−x2dx01=π4−13．
20. D
【解析】函数的导数 fʹx=ex−m+1x+2m+1，x>0，
因为函数 fx 恰有两个极值点，
所以函数 fx 有两个不同的零点．
令 fʹx=ex−m+1x+2m+1=0，得 xex1−2x=m+1 有两个不同的实数根，
记：hx=xex1−2x，
所以 hʹx=xexʹ1−2x−xex1−2xʹ1−2x2=−ex2x+1x−11−2x2，
当 x∈0,12 时，hʹx>0，此时函数 hx 在此区间上递增，
当 x∈12,1 时，hʹx>0，此时函数 hx 在此区间上递增，
当 x∈1,+∞ 时，hʹx<0，此时函数 hx 在此区间上递减，
即当 x=1 时，hx 取得极大值 h1=−e，
作出 hx 的简图如下：
要使得 hx=m+1 有两个不同的实数根，则 m+1<−e，
即 m<−e−1．
第二部分
21. 5−e2
22. x−1
23. x−1
【解析】因为 fx 为一次函数，且 fx=x+2∫01ftdt，
所以设 fx=x+b，
则 b=2∫01x+bdx=212x2+bx01=212+b，
解得：b=−1，
所以 fx=x−1．
24. 16
【解析】先根据题意画出图形，如图所示，
得到积分上限为 1，积分下限为 0，所以直线 y=x 与曲线 y=x2 所围图形的面积
S=∫01x−x2dx=12x2−13x301=12−13=16．
故所求封闭图形的面积是 16．
25. N1N
【解析】设 fxdx01=S1，由题意根据概率知识，知 S11=N1N，所以 S1=fxdx01=N1N．
第三部分
26.
x+1dx=12x2+x12=5212.
27. 因为 csx2−sinx22=1−2sinx2csx2=1−sinx，所以
csx2−sinx220π2dx=1−sinxdx0π2=x+csx0π2=π2+csπ2−0−cs0=π2−1.
28. 实积分 x2+px+qdxaa+1 的值总是正数，对于被积函数 y=x2+px+q>0 恒成立，则 Δ=p2−4q≤0．所以实积分 x2+px+qdxaa+1 的值总是正数的充要条件 Δ=p2−4q≤0．
29. （1）
x−x2+1xdx12=xdx12−x2dx12+1xdx12=x2212−x3312+lnx12=32−73+ln2=ln2−56.
（2）
csx+exdx−π0=csxdx−π0+exdx−π0=sinx−π0+ex−π0=1−1eπ.
30. 因为 fx 为偶函数，且当 x≥0 时，fx=2ex，所以 fx=2ex，
对于 x∈1,k，由 fx+m≤2ex 得 2ex+m≤2ex，
两边取以 e 为底的对数得 x+m≤lnx+1，
所以 −x−lnx−1≤m≤−x+lnx+1 在 1,k 上恒成立，
设 gx=−x+lnx+1x∈1,k，则 gʹx=−1+1x=1−xx≤0，
所以 gx 在 1,k 上单调递减，所以 gxmin=gk=−k+lnk+1，
设 hx=−x−lnx−1x∈1,k，易知 hx 在 1,k 上单调递减，
所以 hxmax=h1=−2，故 −2≤m≤−k+lnk+1，
若实数 m 存在，则必有 −k+lnk≥−3，又 k>1，且 k 为整数，
所以 k=2 满足要求，故整数 k 的最小值为 2．