2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的概念与方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的概念与方程，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知椭圆的方程为 y29+x216=1，则此椭圆的长轴长为
A. 3B. 4C. 6D. 8

2. 椭圆 x216+y225=1 的焦点坐标是
A. ±4,0B. 0,±4C. ±3,0D. 0,±3

3. 设定点 F10,−3，F20,3，动点 P 满足条件 PF1+PF2=a+9aa>0，则点 P 的轨迹是
A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段

4. 已知 △ABC 的周长为 20，且顶点 B0,−4，C0,4，则顶点 A 的轨迹方程是
A. x236+y220=1x≠0B. y220+x26=1x≠0
C. y236+x220=1x≠0D. x220+y26=1x≠0

5. 如果方程 x2+my2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 m 的取值范围是
A. 0,+∞B. 0,2C. 1,+∞D. 0,1

6. 已知椭圆 C:x2a2+y23=1 的右焦点为 F，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点 P 满足 OF=FP，则 C 的方程为
A. x212+y23=1B. x28+y23=1C. x26+y23=1D. x24+y23=1

7. 已知点 M3,0，椭圆 x24+y2=1 与直线 y=kx+3k≠0 交于点 A，B，则 △ABM 的周长为
A. 23B. 8C. 4D. 25

8. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1R+r2+M2r2=R+rM1R3．
设 α=rR．由于 α 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α51+α2≈3α3，则 r 的近似值为
A. M2M1RB. M22M1RC. 33M2M1RD. 3M23M1R

9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E，F 分别为边 CD，AD 的中点，M 为 AE 和 BF 的交点，则以 A，B 为长轴端点，且经过 M 的椭圆的标准方程为
A. x24+y25=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x24+y2=1

10. 一个等差数列的首项为 125，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是
A. d>875B. d<325C. 875
11. 设 F1，F2 为椭圆 x29+y25=1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则 PF2PF1 的值为
A. 514B. 49C. 513D. 59

12. 设 F1，F2 分别为椭圆 x225+y29=1 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，则使得 PF1⋅PF2=−7 成立的点 P 的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

13. “m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

14. 设 P 是椭圆 x25+y23=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
A. 22B. .23C. 25D. 42

15. 已知椭圆 x225+y2m2=1m>0 的左焦点为 F1−4,0，则 m=
A. 2B. 3C. 4D. 9

16. “mn<0”是“方程 mx2−ny2=1 表示椭圆”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

17. 已知 mn≠0，则方程 mx2+ny2=1 与 mx+ny2=−1 在同一坐标下的图象可能是
A. B.
C. D.

18. 已知点 P 是椭圆 x216+y28=1x≠0,y≠0 上的一动点，F1,F2 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是 ∠F1PF2 的角平分线上的一点，且 F1M⋅PM=0，则 OM 的取值范围为
A. 0,3B. 0,22C. 22,3D. 0,4

19. 以椭圆 x24+y23=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )
A. y23−x2=1B. x2−y23=1C. x24−y23=1D. x23−y24=1

20. 实数 m 满足 m+1m<6，n∈R，点 N 的坐标为 n+50n,−n−50n，若动点 Mx,y 满足关系式 x+m+1m2+y+m+1m2+x−m−1m2+y−m−1m2=122，则 ∣MN∣ 的最小值为
A. 20B. 122C. 12D. 62

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 椭圆 x225+y29=1 的两焦点之间的距离为 ．

22. 已知 F1，F2 为椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点，若 P1,32 在椭圆上，且满足 PF1+PF2=4，则椭圆 C 的方程为 ．

23. 能够说明“方程 m−1x2+3−my2=m−13−m 的曲线不是椭圆”的一个 m 的值是 ．

24. 已知椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是 0,2，那么 k= ．

25. 已知曲线 C 的方程是 x−∣x∣x2+y−∣y∣y2=8，给出下列三个结论：
① 曲线 C 与两坐标轴有公共点；
② 曲线 C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③ 若点 P，Q 在曲线 C 上，则 PQ 的最大值是 62．
其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 用适当的方法画出以两个定点 F1，F2 为焦点的一个椭圆．

27. 已知椭圆方程 C:x2m−2+y27−m=1．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 m=6 时，若椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过椭圆的左焦点 F1 并且与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 △ABF2 的周长．

28. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e=2，与椭圆 x28+y24=1 有相同的焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的渐近线方程．

29. 若把椭圆 x225+y216=1 的长轴 AB 分成 8 等分，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，⋯，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，试求 ∣P1F∣+∣P2F∣+⋯+∣P7F∣ 的值．

30. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B．
（1）已知椭圆的离心率为 12，线段 AF 中点的横坐标为 22，求椭圆的标准方程．
（2）已知 △ABF 外接圆的圆心在直线 y=−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在 y 轴上，
所以对应的焦点坐标为 0,±3．
3. D
4. C
5. D
6. D【解析】根据对称性知 P 在 x 轴上，OF=FP，故 a=2c，a2=3+c2，
解得 a=2，c=1，故椭圆方程为：x24+y23=1．
7. B【解析】设椭圆的左焦点为 F，
由题意得 M3,0 与 F−3,0 是椭圆的焦点，
则直线 AB 过椭圆的左焦点 F−3,0，且 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣，
△ABM 的周长等于 ∣AB∣+∣AM∣+∣BM∣=∣AF∣+∣AM∣+∣BF∣+∣BM∣=4a=8．
8. D
9. D【解析】以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
则 A−2,0，B2,0，F−2,1，E0,2，
则直线 AE:y=x+2，直线 BF 的方程：y=−14x−2，
联立 y=x+2,y=−14x−2 解得：x=−65,y=45, 则 M−65,45，
设椭圆方程：x24+y2b2=10所以椭圆的标准方程：x24+y2=1．
10. D
【解析】由题意可得 a10>1,a9≤1, 即 125+9d<1,125+8d≤1, 所以 87511. C【解析】椭圆 x29+y25=1 的 a=3，b=5，c=a2−b2=2，由椭圆的定义可得 PF1+PF2=2a=6，由中位线定理可得 PF2⊥x 轴，令 x=2，可得 y=±5⋅1−49=±53，即有 PF2=53，PF1=6−53=133，则 PF2PF1=513．
12. C【解析】设 Px0,y0．
因为 F1，F2 分别为椭圆 x225+y29=1 的左、右焦点，点 P 为椭圆上任意一点，
所以 F1−4,0，F24,0，PF1=−4−x0,−y0，PF2=4−x0,−y0．
因为 PF1⋅PF2=−7，
所以 −4−x04−x0+−y02=−7，即 x02+y02=9. ⋯⋯①
又因为 Px0,y0 为椭圆上任意一点，
所以 x0225+y029=1, ⋯⋯②
联立①②得 x0=0,y0=3 或 x0=0,y0=−3,
所以使得 PF1⋅PF2=−7 成立的点 P 的个数为 2．
13. C【解析】将方程 mx2+ny2=1 转化为 x21m+y21n=1，根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足 1m>0，1n>0，且 1n>1m⇔m>n>0．
14. C【解析】由题意知 a2=5，a=5．由椭圆的定义可知，点 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=25．
15. B
【解析】由左焦点为 F1−4,0 知 c=4，
又 a=5，
所以 25−m2=16，解得 m=3或−3．又 m>0，故 m=3．
16. B【解析】若 m=1，n=−1，则方程 x2+y2=1 表示圆．反之，若方程表示椭圆，则 mn<0．故为必要不充分条件．
17. A
18. B【解析】延长 PF2 和 F1M 相交于点 N，如下图所示：
在三角形 PF1N 中，PM 为角平分线且为高线，所以三角形 PF1N 为等腰三角形，所以 M 为 F1N 的中点．
OM=12F2N=12PN−PF2=12PF1−PF2．
当点 P 在 y 轴上时，PF1−PF2 的值最小，为 0；
当点 P 在 x 轴上时，PF1−PF2 的值最大，为 2c=42．
所以 019. B【解析】设双曲线为 x2a2−y2b2=1，由椭圆 x24+y23=1 得焦点为 ±1,0，顶点为 ±2,0．
所以双曲线的顶点为 ±1,0，焦点为 ±2,0，所以 a=1，c=2，
所以 b2=c2−a2=3，所以双曲线为 x2−y23=1．
20. C
【解析】依题意，记点 F1−m−1m,−m−1m，F2m+1m,m+1m，N1−102,102，N2102,−102，则 42≤F1F2=22m+1m<122，动点 Mx,y 满足：∣MF1∣+∣MF2∣=122>∣F1F2∣>0，因此动点 Mx,y 的轨迹是以 F1，F2（其中点 F1，F2 位于直线 y=x 上）为焦点的椭圆，其中长轴长为 122 、短轴端点 B1x1,−x1，B2x2,−x2（其中 x1<0第二部分
21. 8
22. x24+y23=1
23. 2（答案不唯一，m∈−∞,1∪3,+∞∪2 均可）
【解析】由 m−1x2+3−my2=m−13−m 所表示的曲线是椭圆，
可知 m−13−m≠0，得 x23−m+y2m−1=1，
所以 3−m>0,m−1>0,3−m≠m−1, 解得 1所以曲线表示圆时 m 的取值范围是 1,2∪2,3；
所以“方程 m−1x2+3−my2=m−13−m 的曲线不是椭圆”时的一个 m 的值是 m∈−∞,1∪2∪3,+∞ 中任取一值即为正确答案．（答案不唯一）
24. 1
【解析】由题可知焦点在 y 轴上，则 y25k+x21=1，c2=5k−1=4，k=1．
25. ②③
【解析】当 x>0，y>0 时，曲线 C 方程为 x−12+y−12=8；
当 x>0，y<0 时，曲线 C 方程为 x−12+y+12=8；
当 x<0，y>0 时，曲线 C 方程为 x+12+y−12=8；
当 x<0，y<0 时，曲线 C 方程为 x+12+y+12=8；
其图象如下：
由图可知，曲线 C 与坐标轴无交点，①错误；曲线 C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，②正确；∣PQ∣max=2r+−1−12+1+12=42+22=62，③正确．
第三部分
26. 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为常数，且大于 F1F2，故可选一根长度大于 F1F2 的细绳，将其两端分别固定在 F1 和 F2 点，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画一个椭圆．
27. （1） m−2>0,7−m>0,m−2≠7−m, 得 2 （2） 当 m=6 时椭圆方程为 x24+y2=1，所以 a2=4，即 a=2，则 △ABF2 周长
L=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8.
28. （1） 因为离心率 e=2，则 ca=2，
相同的焦点 2,0，
即 c=2，a=1，
双曲线 c2=a2+b2，得 b=3，
双曲线方程 x2−y23=1．
（2） 因为渐近线 y=±bax，
所以 y=±3x．
29. 把椭圆 x225+y216=1 的长轴 AB 分成 8 等分，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，
则根据椭圆的对称性知，∣P1F1∣+∣P7F1∣=∣P1F1∣+∣P1F2∣=2a．
同理其余两对的和也是 2a．
又 ∣P4F1∣=a，
所以 ∣P1F∣+∣P2F∣+∣P3F∣+∣P4F∣+∣P5F∣+∣P6F∣+∣P7F∣=7a=35．
30. （1） 因为椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，
所以 ca=12，则 a=2c．
因为线段 AF 中点的横坐标为 22，
所以 a−c2=22．
所以 c=2，则 a2=8，b2=a2−c2=6．
所以椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
（2） 因为 Aa,0，F−c,0，
所以线段 AF 的中垂线方程为：x=a−c2．
又因为 △ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y=−x 上，
所以 Ca−c2,−a−c2．
因为 Aa,0，B0,b，
所以线段 AB 的中垂线方程为：y−b2=abx−a2．
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 −a−c2−b2=aba−c2−a2，
整理得，ba−c+b2=ac，
即 b−ca+b=0．
因为 a+b>0，
所以 b=c．
所以椭圆的离心率 e=ca=cb2+c2=22．