2022届高考数学二轮专题测练-双曲线的简单几何性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-双曲线的简单几何性质，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 双曲线 x23−y22=1 的焦距为
A. 5B. 5C. 25D. 1

2. 双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为
A. y=±13xB. y=±33xC. y=±3xD. y=±3x

3. 已知双曲线 x24−y2m=1m>0 的渐近线方程为 3x±y=0，则双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 233D. 32

4. 若双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0 与双曲线 D:x24−y26=1 有相同的渐近线且双曲线 C 经过点 2,6，则双曲线 C 的实轴长为
A. 4B. 12C. 230D. 45

5. 双曲线 x216−y29=1 的渐近线方程为
A. y=±169xB. y=±43xC. y=±916xD. y=±34x

6. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点与抛物线 y2=8x 的焦点重合，且其离心率 e=32，则该双曲线的方程为
A. x24−y25=1B. x25−y24=1C. y24−x25=1D. y25−x24=1

7. 已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C:x2a2−y2b2=1b>a>0 上有一点 P5,mm>0，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是
A. x2−y24=1B. x22−y23=1C. x2−y26=1D. x232−y272=1

8. 已知 F1，F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的左、右焦点，l1，l2 为双曲线的两条渐近线．设过点 Mb,0 且平行于 l1 的直线交 l2 于点 P．若 PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为
A. 3B. 5C. 14−2412D. 14+2412

9. 已知双曲线 C:x2a2−y216=1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在双曲线 C 上，若 C 的离心率为 53，且 PF1=10，则 PF2=
A. 4 或 16B. 7 或 13C. 7 或 16D. 4 或 13

10. 双曲线 C:x2−y2b2=1 的渐近线与直线 x=1 交于 A，B 两点，且 AB=4，那么双曲线 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 5

11. 已知双曲线的一个焦点为 F15,0，它的渐近线方程为 y=±43x，则该双曲线的方程为
A. x216−y29=1B. y216−x29=1C. x29−y216=1D. y29−x216=1

12. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 OM⊥ON，则双曲线的离心率为
A. −1+32B. 1+32C. 1+52D. −1+52

13. 已知 F1，F2 是双曲线 E:x2a2−y2b2=1 的左、右焦点，点 P 为双曲线的右支上一点，满足 ∠PF2F1=π2，连接 PF1 交 y 轴于点 Q，若 QF2=2c，则 E 的离心率为
A. 2B. 2+1C. 3D. 3+1

14. 已知 F 为双曲线 C:x29−y216=1 的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点．若 ∣PO∣=16，A5,0 在直线 PQ 上，则 △PQF 的周长为
A. 12B. 28C. 44D. 60

15. 若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍，且一个顶点的坐标为 0,2，则双曲线的标准方程为
A. x24−y24=1B. y24−x24=1C. x2−y24=1D. y2−x24=1

16. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线 FD，D 为垂足．若 DF=DA，则 C 的离心率为
A. 22B. 2C. 3D. 2

17. 已知抛物线 C:y2=4x，直线 y=x−1 与 C 相交于 A，B 两点，与双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线相交于 M，N 两点，若线段 AB 与 MN 的中点相同，则双曲线 E 离心率为
A. 63B. 2C. 153D. 3

18. 已知双曲线 x2−y2m=1 与抛物线 y2=8x 的一个交点为 P，F 为抛物线的焦点，若 PF=5，则双曲线的渐近线方程为
A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0

19. 已知离心率为 53 的双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别是 F1，F2，若点 P 是抛物线 y2=12x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足 PF1⊥PF2，则双曲线的方程是
A. x216−y29=1B. x23−y24=1C. x29−y216=1D. x24−y23=1

20. 若函数 fx=lnxx>0 的图象与函数 gx=x2+2x+ax0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

23. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

24. 已知双曲线过点 4,3，且渐近线方程为 y=±12x，则该双曲线的标准方程为 ．

25. 如图，曲线 y2=xy≥0 上的点 Pi 与 x 轴的正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，⋯，△Qn−1PnQn，⋯，设正 △Qn−1PnQn 的边长为 an，n∈N*（记 Q0 为 O），QnSn,0．数列 an 的通项公式 an= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?

27. 已知双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，焦距为 10，且此双曲线经过点 3,42，求它的标准方程．

28. 已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，过点 P62,1．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）是否存在被点 B1,1 平分的弦?如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

29. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e=2，与椭圆 x28+y24=1 有相同的焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的渐近线方程．

30. 已知 F1，F2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点．
（1）若 △POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；
（2）如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且 △F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】由题意得 c2=3+2=5，所以 c=5，所以双曲线的焦距为 25．
2. C
3. A【解析】±ba=±3，
b=m=23，
e=42=2．
4. C【解析】依题意，可设双曲线 C 的方程为：x24−y26=λ，
将点 2,6 代入可得 224−626=λ，即 λ=−5，
则双曲线 C 的方程为：x24−y26=−5，即 y230−x220=1，则 C 的实轴长为 230．
5. D
【解析】根据题意，双曲线的方程为：x216−y29=1，
其中 a=16=4，b=9=3，
且其焦点在 x 轴上，
则其渐近线方程为：y=±34x．
6. A【解析】易知抛物线 y2=8x 的焦点为 2,0，
所以双曲线的右顶点是 2,0，
所以 a=2．
又双曲线的离心率 e=32，
所以 c=3，b2=c2−a2=5，
所以双曲线的方程为 x24−y25=1．
7. A【解析】设其中一条直线为 y−m=−bax−5 与 y=bax 联立，得 xA=am+5b2b，故 ∣OA∣=1+b2a2⋅am+5b2b，点 P 到直线 y=bax 的距离 d=∣5b−am∣a2+b2，
所以 S平行四边形PAOB=1+b2a2⋅am+5b2b⋅∣5b−am∣a2+b2=∣5b2−a2m2∣2ab=1，又因为 5a2−m2b2=1，
所以联立解得 ab=2，又因为 c=5，所以 a=1，b=2，所以双曲线方程为 x2−y24=1．
8. B【解析】直线 PM 的方程为 y=−bax+b2a ，联立直线 l2 与直线 PM 得 Pb2,b22a ，又因为 PF1⊥PF2 ，所以 PF1⋅PF2=0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 5．
9. A【解析】因为 c2=a2+b2 且 b2=16，
所以 c2=a2+16，
因为离心率 e=ca=53，
所以 c2=259a2，
故 259a2=a2+16，
所以 a2=9，
因为 a=9=3，
所以 2a=6，
由双曲线定义知 PF1−PF2=6，
所以 PF2=16 或 PF2=4，
因为 c−a=2，
所以 PF2>2，
故 PF2=16 或 PF2=4．
10. D
【解析】双曲线：x2−y2b2=1 的渐近线方程：y=±bx，
因为 AB=4，
所以 A1,2，B1,−2，
所以将 A 点代入 y=bx，则 b=2，
所以双曲线方程为：x2−y24=1，
所以 a2=1，b2=4，c2=a2+b2=5，
所以 e=ca=51=5，
所以答案选D．
11. C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 y=±43x，即 x3−y4=0，
所以对应的双曲线方程为 x29−y216=λ，λ≠0，
因为双曲线的一个焦点为 F15,0，
所以 c=5，且 λ>0，
则 x29λ−y216λ=1，
则 a2=9λ，b2=16λ，
则 c2=9λ+16λ=25λ=25，
则 λ=1，即双曲线的方程为 x29−y216=1．
12. C
13. B【解析】因为 ∠PF2F1=π2，
所以 Pc,b2a，
因为 Q 为 y 轴上一点，
所以 Q 为 PF1 中点，
所以 Q0,b22a，
所以 QF22=c2+b44a2=2c2，
即 b4=4a2c2，即 b2=2ac，
因为 b2=c2−a2，
所以 c2−a2−2ac=0，
两边同时除以 a2 得 e2−2e−1=0，
所以 e−12=2，
所以 e=1±2，
因为 e>1，
所以 e=2+1．
故选B．
14. D【解析】显然点 A5,0 为双曲线的右焦点，由题意得，∣FP∣−∣PA∣=6，∣FQ∣−∣QA∣=6，两式相加，利用双曲线的定义得 ∣FP∣+∣FQ∣=28，所以 △PQF 的周长为 ∣FP∣+∣FQ∣+∣PQ∣=44．
15. B
【解析】因为双曲线的顶点坐标为 0,2，
所以 a=2，且双曲线的标准方程为 y24−x2b2=1．
根据题意 2a+2b=2⋅2c，即 a+b=2c，
又 a2+b2=c2，且 a=2，
所以解上述两个方程，得 b2=4，
所以符合题意的双曲线方程为 y24−x24=1．
16. B【解析】双曲线 C=x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为 y=±bax，
由于 OF=c，DF⊥直线y=bax，
故 OD=a，DF=b，
因为 DF=DA，所以 DA=b，
因为 OA=a，OC=a，OD=a，所以 ∠ADC=90∘．
又因为 DF=DA，所以 ∠AFD=∠DAF，
故 cs∠AFD=DFOF=bc，cs∠DAF=ADAC=b2a，
故 bc=b2a，因此 ca=2．
故曲线 C 的离心率为 2．
17. C
18. C【解析】因为点 P 在抛物线 y2=8x 上，PF=5，
所以 Px0,y0 满足 x0+p2=5，得 x0=5−p2=5−2=3，
因此 y02=8x0=24，得 y0=±26，
所以点 P3,±26 在双曲线 x2−y2m=1 上，
可得 9−24m=1，解之得 m=3，
所以双曲线标准方程为 x2−y23=1，
得 a=1，b=3，渐近线方程为 y=±bxa，即 y=±3x．
19. C【解析】解法一：
对于A，x216−y29=1 的离心率为 e=54，不合题意；
对于B，x23−y24=1 的离心率为 e=213，不合题意；
对于D，x24−y23=1 的离心率为 e=72，不合题意；
对于C，x29−y216=1 的离心率为 e=53，符合题意．
解法二：
P 为 x=−3 与 y=−bax 交点（令 P 在 x 轴上方），则 P−3,3ba，
因为 PF1⊥PF2，
所以 PF1⋅PF2=0，
所以 −c+3c+3+3ba⋅3ba=0,e=ca=53,a2+b2=c2, 解得 a=3,b=4,c=5,
所以双曲线方程为 x29−y216=1．
20. A
【解析】设公切线与函数 fx=lnxx>0 的图象相切于点 Ax1,lnx1x1>0，则切线方程为 y−lnx1=1x1x−x1，即 y=1x1x+lnx1−1．设公切线与函数 gx=x2+2x+ax