2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的性质，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 不确定

2. 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是
A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 无法确定

3. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l．若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则
A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n

4. ABCD−A1B1C1D1 为正方体，下列结论错误的是
A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1D. AC1⊥BD1

5. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是
A. m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n
B. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β
C. α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D. m∥α，n⊂α⇒m∥n

6. 在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是
A. B.
C. D.

7. 如图，P 为 △ABC 所在平面 α 外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则 △ABC 的形状为
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定

8. 如果 PA，PB，PC 两两垂直，那么点 P 在平面 ABC 内的投影一定是 △ABC
A. 重心B. 内心C. 外心D. 垂心

9. 已知三棱锥 P−ABC 的高为 PO，O 为垂足，若 P 到底面 △ABC 三边所在的直线的距离相等，则 O（假设 O 在 △ABC 内部）是 △ABC 的
A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心

10. BC 是 Rt△ABC 的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC 于 D 点，则图中共有直角三角形的个数是
A. 8 个B. 7 个C. 6 个D. 5 个

11. 已知函数 fx=x2−ln|x|，则函数 y=fx 的大致图象是
A. B.
C. D.

12. 如图所示，点 P 是 △ABC 所在平面外一点，PA 、 PB 、 PC 两两垂直，且 PO⊥ 平面 ABC 于点 O，则点 O 是 △ABC 的
A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心

13. 将菱形 ABCD 沿 AC 折起，则
A. AC⊥BDB. AD⊥ABC. AD⊥BCD. BC⊥BD

14. 空间四边形 ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD，且 DA⊥平面ABC，则 △ABC 的形状是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定

15. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点 P∈l，当点 P 逐渐远离点 A 时，∠PCB 的大小
A. 变大B. 变小
C. 不变D. 有时变大有时变小

16. 已知圆 x+22+y2=9 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N2,0，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线

17. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有
A. 18 对B. 24 对C. 30 对D. 36 对

18. 已知 平面α 与 平面β 相交，直线m⊥α，则
A. β 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直
B. β 内不一定存在直线与 m 平行，但不一定存在直线与 m 垂直
C. β 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直
D. β 内必存在直线与 m 平行，也不一定存在直线与 m 垂直

19. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1，点 E，F，G 分别
是线段 B1B，AB 和 A1C 上的动点，观察直线 CE 与 D1F，CE 与 D1G．给出下列结论：
①对于任意给定的点 E，存在点 F，使得 D1F⊥CE；
②对于任意给定的点 F，存在点 E，使得 CE⊥D1F；
③对于任意给定的点 E，存在点 G，使得 D1G⊥CE；
④对于任意给定的点 G，存在点 E，使得 CE⊥D1G．
其中正确结论的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

20. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 AC1 上有两个动点 E，F，且 EF=33．给出下列四个结论：
① CE⊥BD；
② 三棱锥 E−BCF 的体积为定值；
③ △BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形
④ 在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线
其中，正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在 Rt△ABC 中，D 是斜边 AB 的中点，AC=6，BC=8，EC⊥平面ABC 且 EC=12，则 ED= ．

22. 如图，PA⊥平面ABC，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，则图中直角三角形的个数是 ．

23. 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是 ．

24. 在三棱锥 P−ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O .
（1）若 PA=PB=PC，则点 O 是 △ABC 的 心；
（2）若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是 △ABC 的 心．

25. 在棱长为 23 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，正方形 BCC1B1 所在平面内的动点 P 到直线 D1C1，DC 的距离之和为 4，则 PC1⋅PC 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在空间四边形 ABCD 中，AC=BC，AD=BD，求证：AB⊥CD．

27. 已知 P 在平面 ABC 外，满足 PA⊥BC，PB⊥AC，PO⊥平面ABC，垂足为点 O，求证：点 O 为底面 △ABC 的垂心．

28. 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形 ABCD 为矩形，BC=CE，点 F 为 CE 的中点．
（1）证明：AE∥平面BDF；
（2）点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM⊥BE?若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

29. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．
（1）求证：B1C⊥AB；
（2）若 ∠CBB1=60∘，AC=BC，三棱锥 A−BB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 A−BB1C 的表面积．

30. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E，F，并证明 A1E=EF=FC．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C【解析】由题意知 α∩β=l，所以 l⊂β．
因为 n⊥β，所以 n⊥l．
4. D【解析】正方体中由 BD∥B1D1，易知A正确；
由 BD⊥AC，BD⊥OC1 可易得 BD⊥平面ACC1，从而 BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得 AC1⊥B1D1，同理 AC1⊥D1C，因此 AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形 ABC1D1 不是菱形，所以 AC1⊥BD1 不正确．
5. A
【解析】对于A，若 m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定 ⇒m∥n，故正确；
对于B，若 α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为 n 不一定在平面 α 内，不能得到 n⊥β，故错；
对于C，若 α⊥β，m⊥α，n∥β，m，n 不一定垂直，故错；
对于D，若 m∥α，n⊂α，m，n 位置关系是可能平行、可能异面，故错．
6. A
7. B【解析】由 PB⊥α，AC⊂α 得 PB⊥AC，又 AC⊥PC，PC∩PB=P，所以 AC⊥平面PBC，AC⊥BC，故选B．
8. D【解析】设 P 在平面 ABC 内的投影为 O，
因为 PA，PB，PC 两两垂直，
所以 PA⊥平面PBC，
所以 PA⊥BC，
又因为 PO⊥底面ABC，
所以 PO⊥BC，
所以 BC⊥平面PAO，
所以 AO⊥BC，同理可证 BO⊥AC，CO⊥AB，
所以 O 是 △ABC 的垂心．
9. B【解析】因为 P 到 △ABC 三边所在直线的距离相等，所以 O 点到三边的距离相等，所以 O 为 △ABC 的内心．
10. A
【解析】因为 PA⊥平面ABC，
所以 PA⊥BC，
因为 PD⊥BC，PA∩PD=P，
所以 BC⊥平面PAD，所以 AD⊥BC，
图中直角三角形有 △PAC，△PAD，△PAB，△ABC，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB，共 8 个．
11. A【解析】由题意 f−x=x2−ln|−x|=fx，所以函数 fx 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除D；又 f1=12−ln1=1>0，所以排除B，C．故选A．
12. B
13. A
14. B
15. C
【解析】因为 ∠ACB=90∘，所以 AC⊥BC，又因为直线 l 垂直于平面 ABC，所以 l⊥BC，根据线面垂直的判定定理可知，BC⊥平面PAC，所以 ∠PCB=90∘，即 ∠PCB 的大小不变．
16. C【解析】PN=PA，AM=r=3，
即 PM+3=PN，
由垂直平分线知，
即 PN−PM=3由双曲线定义知该轨迹为双曲线，
焦点为 M，N，实轴长为 3．
17. D【解析】三棱柱的 6 个顶点，可以组成 C62=15 条直线，共有 C152 对直线，在三棱柱中，其中四点在同一平面的面共有 3 个，三点在同一个平面的面有 8 个，故共面的直线有 3×C62+8×C32，所以异面直线有 C152−3×C62−8×C32=36 对．
18. C【解析】若 β 内存在直线 n 与 m 平行，由 m⊥α 知 n⊥α，从而 α⊥β，但 α 与 β 相交确不一定垂直．
又设 α∩β=a，由 m⊥α 知 m⊥a，从而 β 内必有直线与 m 垂直．
19. B【解析】当 E 与 B1 重合时，CE⊥平面D1ABC1．所以 ② 对；
对于③，过点 C1 必然存在 DE 的垂线交 DE 于 H，平面 D1C1H 于直线 A1D 必然存在交点 G，因为 DE⊥D1C1，DE⊥C1H，D1C1∩C1H=C1．所以 DE⊥平面D1C1H，D1G⊆平面D1C1H．所以 ③ 对．
20. D
【解析】
因为 BD⊥平面ACC1，
所以 BD⊥CE，故 ① 正确；
因为点 C 到直线 EF 的距离是定值，点 B 到平面 CEF 的距离也是定值，
所以三棱锥 B﹣CEF 的体积为定值，故 ② 正确；
线段 EF 在底面上的正投影是线段 GH，
所以 △BEF 在底面 ABCD 内的投影是 △BGH．
因为线段 EF 的长是定值，
所以线段 GH 是定值，从而 △BGH 的面积是定值，故 ③ 正确；
设平面 ABCD 与平面 DEA1 的交线为 l，则在平面 ABCD 内与直线 l 平行的直线有无数条，故 ④ 对．
第二部分
21. 13
22. 4
23. 平行
【解析】由 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，知 EF 是 △SBC 的中位线，
所以 EF∥BC．
又因为 BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以 EF∥平面ABC．
同理，DE∥平面ABC，
又因为 EF∩DE=E，
所以 平面DEF∥平面ABC．
24. 外，垂
【解析】（1）如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，
在 Rt△POA，Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA=PC=PB，
所以 OA=OB=OC，
即 O 为 △ABC 的外心．
（2）如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于点 H，D，G．
因为 PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，
所以 PC⊥平面PAB，又 AB⊂平面PAB，
所以 PC⊥AB，
因为 AB⊥PO，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面PGC，
所以 AB⊥平面PGC，又 CG⊂平面PGC，
所以 AB⊥CG，即 CG 为 △ABC 边 AB 上的高．
同理可证 BD，AH 分别为 △ABC 边 AC，BC 上的高，
即 O 为 △ABC 的垂心．
25. −2,14
【解析】由线面垂直的性质定理可知，在面 BCC1B1 内的动点 P 到直线 D1C1 和 DC 的距离，即为点 P 到 C1 和 C 的距离．
由椭圆定义知：
点 P 的轨迹为以 C1 和 C 为焦点的椭圆，且 a=2，c=3．
以 CC1 所在的直线为 x 轴，CC1 的中垂线所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，所以点 P 的轨迹方程为 x24+y2=1．
设 Px,y，则 PC1=3−x,−y，PC=−3−x,−y，所以 PC1⋅PC=34x2−2．
由 P 在正方形 BCC1B1 内部可知 x∈−3,3，所以 PC1⋅PC∈−2,14．
第三部分
26. 设 AB 的中点为 E，连接 CE，DE，
依题意有 AB⊥CE，AB⊥DE，
从而，AB⊥平面ECD，
又 CD 在平面 ECD 上，
所以 AB⊥CD．
27. 连接 OA，OB，OC，易证 BC⊥平面PAO，AC⊥平面PBO，从而可得 AO⊥BC，BO⊥AC，所以 O 为底面 △ABC 的垂心．
28. （1） 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如图1．
所以四边形 ABCD 是矩形，
所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点，
所以 OF 为 △ACE 的中位线，
所以 OF∥AE，又 OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，
所以 AE∥平面BDF．
（2） 当 P 为 AE 中点时，有 PM⊥BE．
证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH，
因为 P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点，
所以 PH∥AB，又 AB∥CD，
所以 PH∥CD，所以 P，H，C，D 四点共面．
因为 平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC．
所以 CD⊥平面BCE，又 BE⊂平面BCE，
所以 CD⊥BE，
因为 BC=CE，H 为 BE 的中点，
所以 CH⊥BE，又 CD∩CH=C，
所以 BE⊥平面DPHC，又 PM⊂平面DPHC，
所以 BE⊥PM，即 PM⊥BE．
29. （1） 因为侧面 BB1C1C 为菱形，
所以 B1C⊥BO．
又 AC=AB1，O 为 B1C 的中点，
所以 B1C⊥AO，而 AO∩BO=O，
所以 B1C⊥平面ABO，得 B1C⊥AB．
（2） 点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，即 AO⊥平面BB1C1C．
在菱形 BB1C1C 中，
因为 ∠CBB1=60∘，
所以 △B1BC 为等边三角形．
又 AC=BC，设 BC=2a，则 S△BB1C=12×2a×2a×sin60∘=3a2，
AO=3a，则 VA−BB1C=13×3a2×3a=a3=1，即 a=1．
在平面 BB1O 中，过 O 作 OE⊥BB1，连接 AE．
可得 OE=3×12=32，则 AE=32+322=152．
所以 S△ABB1=12×2×152=152，同理可得 S△ABC=152．
则三棱锥 A−BB1C 的表面积为 S=2×152+2×12×2×3=15+23．
30. （1） 因为在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，
AD∥B1C1，AD=B1C1，
所以四边形 AB1C1D 是平行四边形，
所以 AB1∥C1D．
又因为 C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以 AB1∥平面C1BD．
同理，B1D1∥平面C1BD．
又因为 AB1∩B1D1=B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以 平面AB1D1∥平面C1BD．
（2） 如图，连接 A1C1，交 B1D1 于点 O1，连接 AO1，与 A1C 交于点 E．
又因为 AO1⊂平面AB1D1，
所以点 E 也在平面 AB1D1 内，
所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点．
连接 AC，交 BD 于点 O，
连接 C1O，与 A1C 交于点 F，
则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点．
下面证明 A1E=EF=FC．
因为 平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD=C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，
所以 EO1∥C1F，
在 △A1C1F 中，
O1 是 A1C1 的中点，
所以 E 是 A1F 的中点，即 A1E=EF．
同理可证 OF∥AE，
所以 F 是 CE 的中点，
即 FC=EF，
所以 A1E=EF=FC．