2022届高考数学二轮专题测练-圆的一般方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-圆的一般方程，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 方程 x2+y2+2x−4y−6=0 表示的图形是
A. 以 1,−2 为圆心，11 为半径的圆
B. 以 1,2 为圆心，11 为半径的圆
C. 以 −1,−2 为圆心，11 为半径的圆
D. 以 −1,2 为圆心，11 为半径的圆

2. 若点 M−1,m 到直线 l：3x+y−6=0 的距离为 10 则 m 的值为
A. 19B. −1
C. −1 或 19D. 9+10 或 9−10

3. A=C≠0 且 B=0 是方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件

4. 已知 A，B 为圆 x2+y2=2ax 上的两点，若 A，B 关于直线 y=2x+1 对称，则实数 a=
A. −12B. 0C. 12D. 1

5. 方程 x2+y2−x+y+m=0 表示一个圆，则 m 的取值范围是
A. m≤2B. m<2C. m<12D. m≤12

6. 若圆的一条直径的两个端点分别是 2,0 和 2,−2 ，则此圆的方程是
A. x2+y2−4x+2y+4=0B. x2+y2−4x−2y−4=0
C. x2+y2−4x+2y−4=0D. x2+y2+4x+2y+4=0

7. “ a=−1 ”是“方程 a2x2+a+2y2+2ax+a=0 表示圆”的
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

8. 已知圆 x2+y2+2x−6y+F=0 与 x+2y−5=0 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA⊥OB，则 F 的值为
A. 0B. 1C. −1D. 2

9. 方程 x−1=1−y−12 所表示的曲线是
A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 四分之一个圆

10. 若方程 x2+y2+4mx−2y+5m=0 表示圆，则 m 的取值范围是
A. 141C. m<14D. m>1

11. 若曲线 C:x2+y2+2ax−4ay+5a2−4=0 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为
A. −∞,−2B. −∞,−1C. 1,+∞D. 2,+∞

12. 已知圆 x2+y2−2x+my−4=0 上两点 M，N 关于直线 2x+y=0 对称，则圆的半径为
A. 9B. 3C. 23D. 2

13. 过三个点 A1,3，B4,2，C1,−1 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 MN=
A. 26B. 36C. 2D. 56

14. 设圆 x2+y2+2ax+2y+a−12=0，若 0A. 在圆上B. 在圆外
C. 在圆内D. 以上各种关系都有可能

15. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
A. 3B. 4C. 5D. 6

16. 已知点 a+1,a−1 在圆 x2+y2−x+y−4=0 的外部，则 a 的取值范围是
A. −∞,−2B. 2,+∞
C. −2,2D. −∞,−2∪2,+∞

17. 圆 P ： x2+y2−4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A，B 两点，若 ∠APB=90∘，则实数 c 的值是
A. −3B. 3C. 8D. 22

18. 以椭圆上的一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则该椭圆的长轴长的最小值是
A. 22B. 2C. 2D. 22

19. 已知 O 为坐标原点，直线 y=2 与 x2+y2+Dx−4y=0 交于两点 M，N，则 ∠MON=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

20. 圆 x2+y2−4x−4y−10=0 上的点到直线 x+y−14=0 的最大距离与最小距离的差是
A. 36B. 18C. 62D. 52

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 圆 x2+y2−2y−3=0 的圆心坐标是 ，半径为 ．

22. 若圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0，则当圆的面积最大时，圆心为 ．

23. 若方程 x2+y2+2ax−2ay=0 表示圆，下列叙述中：
①关于直线 x+y=0 对称；
②其圆心在 x 轴上且过原点；
③其圆心在 y 轴上且过原点；
④半径为 2a．
其中叙述正确的是 （填上所有正确的序号）．

24. 在平面直角坐标系中，经过三点 0,0，1,1，2,0 的圆的方程为 ．

25. 已知动点 Px,y 满足 x2+y2−∣x∣−∣y∣=0，O 是坐标原点，则 OP 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 求过 A3,2，B1,1，C2,−1 三点的圆的方程．

27. 判断点 P2,0 与圆 x2+y2−4x+2y+2=0 的位置关系．

28. 某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB 是 36m，拱高 OP 是 6m，在建造时，每隔 3m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长.（精确到 0.01m ）

29. 求经过三点 A−1,−1，B−8,0，C0,6 的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标．

30. 已知圆 C 经过点 A74,174，B−318,338，直线 x=0 平分圆 C，直线 l 与圆 C 相切，与圆 C1：x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且满足 OP⊥OQ．
（1）求圆 C 的方程；
（2）求直线 l 的方程．
答案
第一部分
1. D【解析】将已知圆的方程配方为 x+12+y−22=11，它表示以 −1,2 为圆心，11 为半径的圆．
2. C
3. B
4. A
5. C
6. A
7. A
8. A【解析】设圆心 P 到直线的距离为 d，则 d=0，即 AB 是直径．
又 OA⊥OB，故 O 在圆上，即 F=0．
9. C【解析】注意变量取值范围，方程化简，得 x−12+y−12=1，且 x≥1，0≤y≤2．
10. B
11. D
12. B【解析】因为 M，N 关于直线 2x+y=0 对称，
所以直线经过圆的圆心，代入圆心坐标，
所以 2×1−m2=0⇒m=4，
所以 r=12−22+42+4×4=3．
13. C【解析】设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 1+9+D+3E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,1+1+D−E+F=0,
所以 D=−4，E=−2，F=0，
所以 x2+y2−4x−2y=0，
令 x=0，可得 y2−2y=0，
所以 y=0或2，
所以 MN=2．
14. B
15. B
【解析】因为龙头的喷洒面积为 36π≈113，正方形面积为 256，故至少三个龙头．由于 2R<16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于 2R=12>82，故可以保证整个草坪能喷洒到水．
16. D
17. A
18. B
19. D
20. C
【解析】由 x2+y2−4x−4y−10=0 配方，得 x−22+y−22=18．
所以圆心坐标为 2,2，半径为 32．
设圆心与直线的距离为 d，则 d=∣2+2−14∣2=52．
又因为半径 R=32，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为 d+R=82，最小值为 d−R=22．
所以 d+R−d−R=82−22=62．
第二部分
21. 0,1，2
【解析】法一：圆心的横坐标 −D2=0，纵坐标 −E2=1，圆心为 0,1，半径为 r=D2+E2−4F2=2．
法二：将圆 x2+y2−2y−3=0 化为标准方程为 x2+y−12=4，
所以圆心为 0,1，半径 r=2．
22. 0,−1
23. ①④
【解析】因为方程 x2+y2+2ax−2ay=0 表示圆，
所以化成标准形式，得 x+a2+y−a2=2a2，
此圆的圆心为 C−a,a，半径 r 满足 r2=2a2>0．
对于①，因为圆心 C 坐标为 −a,a，满足 x+y=0，
所以圆心 C 在直线 x+y=0 上，可得已知圆关于直线 x+y=0 对称，得①正确；
对于②，若圆心在 x 轴上，则 a=0，与方程表示圆矛盾，故②不正确；
对于③，若圆心在 y 轴上，则 a=0，与②同理得方程不能表示圆，故③不正确；
对于④，因为半径 r 满足 r2=2a2>0，所以 r=2a，可得④正确．
综上所述，①④正确而②③不正确．
24. x2+y2−2x=0
25. 0∪1,2
【解析】方程 x2+y2−∣x∣−∣y∣=0 可化为 ∣x∣−122+∣y∣−122=12，所以动点 Px,y 的轨迹为原点和四段圆弧，如图所示，
故 ∣PO∣ 的取值范围是 0∪1,2．
第三部分
26. x2+y2−5x−y+4=0．
27. 方法一：将圆的方程标准化得 x−22+y+12=3．
因为 P2,0 与圆心 2,−1 的距离 d=2−22+0−−12=1，圆的半径为 r=3，
所以 d所以点 P 在圆的内部．
方法二：把点 P2,0 代入圆的方程，有 22+02−4×2+2×0+2=−2<0，
所以点 P 在圆的内部．
28. 如图，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点 A,B,P 的坐标分别为 −18,0，18,0，0,6．
设圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0．
因为 A,B,P 在此圆上，故有
182−18D+F=0.182+18D+F=0,62+6E+F=0, 解得 D=0,E=48,F=−324.
故圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+48y−324=0．
将点 P2 的横坐标 x=6 代入上式，解得 y=−24+126≈5.39．
答：支柱 A2P2 的长约为 5.39．
29. 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由已知，点 A−1,−1，B−8,0，C0,6 的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 D+E−F−2=08D−F−64=06E+F+36=0
解得：D=8，E=−6，F=0．
于是得所求圆的方程为：x2+y2+8x−6y=0．
圆的半径 r=12D2+E2−4F=5．
圆心坐标是 −4,3．
30. （1） 依题意知圆心 C 在 y 轴上，可设圆心 C 的坐标为 0,b，圆 C 的方程为 x2+y−b2=r2r>0．
因为圆 C 经过 A，B 两点，
所以 742+174−b2=−3182+338−b2，
即 716+28916−172b+b2=3164+108964−334b+b2，解得 b=4．
则 r2=742+174−42=12，
所以圆 C 的方程为 x2+y−42=12．
（2） 当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x=±22，此时直线 l 与 C1 交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P22,22，Q22,−22 或 P−22,22，Q−22,−22，则 OP⋅OQ=0，所以 OP⊥OQ，满足题意．
当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+mk≠0,m≠0，Px1,y1，Qx2,y2，
将直线 l 的方程与圆 C1 的方程联立，得 y=kx+m,x2+y2=1,
消去 y，整理得 1+k2x2+2kmx+m2−1=0，
则 Δ=4k2m2−41+k2m2−1=4k2−m2+1>0，
即 1+k2>m2，则 x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，
所以 y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=k2m2−11+k2−2k2m21+k2+m2=m2−k21+k2，
又 OP⊥OQ，所以 OP⋅OQ=0，
即 x1x2+y1y2=m2−11+k2+m2−k21+k2=0，
故 2m2=1+k2，满足 Δ>0，符合题意．
因为直线 l：y=kx+m 与圆 C：x2+y−42=12 相切，
所以圆心 C0,4 到直线 l 的距离 d=∣m−4∣1+k2=22，
即 m2−8m+16=1+k22，故 m2−8m+16=m2，得 m=2，
故 1+k2=8，得 k=±7．
故直线 l 的方程为 y=±7x+2．
综上，直线 l 的方程为 x=±22 或 y=±7x+2．