2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的判定

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与平面垂直关系的判定，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. “直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既非充分条件又非必要条件

2. 若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则
A. α 内的所有直线与 l 异面B. α 内不存在与 l 平行的直线
C. α 与直线 l 至少有两个公共点D. α 内的直线与 l 都相交

3. 下列命题中，真命题个数是
①过直线外一点，有且仅有 1 条直线与这条直线垂直；
②过直线外一点，有且仅有 1 个平面与这条直线垂直；
③过平面外一点，有且仅有 1 条直线与这个平面垂直；
④过平面外一点，有且仅有 1 个平面与这个平面垂直．
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 下列命题中正确的是
A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面
B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面
C. 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面
D. 若一条直线垂直于一个平面内的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面

5. 对于直线 l，m 及平面 α，β，下列命题中正确的是
A. 若 l∥α，α∩β=m，则 l∥mB. 若 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
C. 若 l∥α，m∥α，则 l∥mD. 若 l∥α，m⊥l，则 m⊥α

6. “a>1”是“1a<1”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 过平面 α 外一点 A 引线段 AB，AC 以及垂段 AO，若 AB 与 α 所成角是 30∘，AO=6，AC⊥BC，则线段 BC 长的范围是
A. 0,6B. 6,+∞C. 0,63D. 63,+∞

8. 如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，∠BAC=90∘，BC1⊥AC，过 C1 作 C1H⊥平面ABC，垂足为 H，则 H 必在
A. 直线 AB 上B. 直线 BC 上C. 直线 CA 上D. △ABC 内部

9. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 绕其体对角线 BD1 旋转 θ 之后与其自身重合，则 θ 的值可以是
A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. 3π5

10. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点 P∈l，当点 P 逐渐远离点 A 时，∠PCB 的大小
A. 变大B. 变小
C. 不变D. 有时变大有时变小

11. 如图，在正方形 ABCD 中，E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE 、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B 、 C 、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有

A. AH⊥△EFH 所在平面B. AG⊥△EFH 所在平面
C. HF⊥△AEF 所在平面D. HG⊥△AEF 所在平面

12. 如图，正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 中点，D 是 EF 与 SG2 的交点，现沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 G−SEF 中必有
A. SD⊥平面EFGB. SE⊥GF
C. EF⊥平面SEGD. SE⊥SF

13. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点 P∈l，当点 P 逐渐远离点 A 时，∠PCB 的大小

A. 不变B. 变大
C. 变小D. 有时变大有时变小

14. 将菱形 ABCD 沿 AC 折起，则
A. AC⊥BDB. AD⊥ABC. AD⊥BCD. BC⊥BD

15. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥αB. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥mD. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m

16. 设 α，β，γ 为不同的平面，m，n，l 为不同的直线，则 m⊥β 的一个充分条件为
A. α⊥β，α∩β=l，m⊥lB. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C. α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD. n⊥α，n⊥β，m⊥α

17. 设 a1，a2，b1，b2，c1，c2 都是非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0 的解集为 A，不等式 a2x2+b2x+c2>0 的解集为 B，则“A=B”是“a1a2=b1b2=c1c2>0”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

18. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面 PAB⊥ 底面 ABCD，若 PA=AD=AB=kBC0A. 当 k=12 时，平面 BPC⊥ 平面 PCD
B. 当 k=12 时，平面 APD⊥ 平面 PCD
C. ∀k∈0,1，直线 PA 与底面 ABCD 都不垂直
D. ∃k∈0,1，使直线 PD 与直线 AC 垂直

19. 如图，在正三棱柱 A1B1C1−ABC 中，E 是 BC 中点，则下列结论正确的是
A. CC1 与 B1E 是异面直线
B. AC⊥平面ABB1A1
C. AE，B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1
D. A1C1∥平面AB1E．

20. 如图所示，已知空间四边形 OABC，OB=OC，且 ∠AOB=∠AOC=π3，则 cs〈OA,BC〉 的值为
A. 0B. 12C. 32D. 22

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 思考辨析，判断正误．
若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α．

22. 在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱 PA⊥底面ABCD，则当 a= 时，BD⊥平面PAC．

23. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E，F，G，H 分别是 AA1，BB1，CC1，DD1 的中点，请写出一个与 A1O 垂直的平面： ．

24. 如图所示，∠BCA=90∘，PC⊥平面ABC，则在 △ABC，△PAC 的边所在的直线中：1 与 PC 垂直的直线有 ；2 与 AP 垂直的直线有 ．

25. 如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将 △ADE 沿直线 DE 翻转成 △A1DE．若 M 为线段 A1C 的中点，则在 △ADE 翻转过程中，正确的命题是 ．
① BM 是定值；
②点 M 在圆上运动；
③一定存在某个位置，使 DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使 MB∥平面A1DE．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在四面体 ABCD 中，AC=BD，E，F 分别为 AD，BC 的中点，且 EF=22AC，∠BDC=90∘，求证：BD⊥平面ACD．

27. 如图所示，已知 PA 垂直圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上异于 A 、 B 的任间一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E．求证：AE⊥平面PBC．

28. 如图，在三棱锥 S−ABC 中，∠ABC=90∘，D 是 AC 的中点，且 SA=SB=SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若 AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．

29. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AA1=2AB=2，∠BAA1=π3，D 为 AA1 的中点，点 C 在平面 ABB1A1 内的射影在线段 BD 上．
（1）求证：B1D⊥平面CBD；
（2）若 △CBD 是正三角形，求三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积．

30. 如图，在正方体 ABCD一EFGH 中，求证：
（1）平面BEG∥平面ACH．
（2）DF⊥平面BEG．
答案
第一部分
1. B【解析】因为直线 l 在平面 α 内，也可以与平面 α 内的无数条直线垂直，
所以“直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”不是“直线 l 与平面 α 垂直”的充分条件；
若直线 l 与平面 α 垂直，则直线 l 与平面 α 内的所有直线都垂直，
所以“直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的必要条件．
2. B【解析】因为 l⊄α，直线 l 不平行于平面 α，
所以直线 l 只能与平面 α 相交，于是直线 l 与平面 α 只有一个公共点，
所以平面 α 内不存在与 l 平行的直线．
3. B
4. C
5. B
6. A
7. C【解析】如图，
AO⊥α，则 AO⊥BC，又 AC⊥BC，
所以 BC⊥平面AOC，则 BC⊥OC，
在 Rt△AOB 中，由已知可得 OB=63，
则在平面 α 中，要使 △OCB 是以 OB 为斜边的直角三角形，
则 BC∈0,63．
8. A【解析】
如图所示，连接 AC1，
因为 ∠BAC=90∘，
所以 CA⊥AB．
又 BC1⊥AC，
所以 AC⊥平面ABC1．
因为 C1H⊥平面ABC，
所以 CA⊥C1H．
所以 CA⊥平面C1BH．
又 平面ABC1∩平面C1BH=BC1 ，
所以平面 ABC1 与平面 C1BH 是同一个平面．
所以 H 必在直线 AB 上．
9. C【解析】如图，
正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，对角线 BD1 垂直于平面 AB1C，且三角形 AB1C 为等边三角形，正方体绕对角线旋转 120∘ 能与原正方体重合．
10. C
【解析】因为 ∠ACB=90∘，所以 AC⊥BC，又因为直线 l 垂直于平面 ABC，所以 l⊥BC，根据线面垂直的判定定理可知，BC⊥平面PAC，所以 ∠PCB=90∘，即 ∠PCB 的大小不变．
11. A【解析】由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，所以 AH⊥平面HEF．
12. B【解析】在A中：设正方形的棱长为 2a，则 DG=22a，SD=322a，
因为 SG2≠DG2+SD2，所以 SD 与 DG 不垂直，所以 SD 不垂直于平面 EFG，故A错误；
在B 中：因为在折叠过程中，始终有 SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
所以 SG⊥GE，SG⊥GF，又因为 EG⊥GF，SG∩EG=G，
所以 GF⊥平面SEG，因为 SE⊂平面SGE，所以 SE⊥GF，故B正确；
在C中：△EFG 中，因为 EG⊥GF，所以 EF 不与 GF 垂直，
所以 EF 不垂直于平面 SEG，故C错误；
在D中：由正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2,G2G3 中点，得 ∠ESF＜∠G1SG3=90∘，
所以 SE 与 SF 不垂直，故D错误．
13. A【解析】答案：由题意，易得 BC⊥ 平面 PAC，故 ∠PCB=90∘．选A
14. A
15. B
16. D【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m⊂α，故不正确；
对于选项B，因为 α 与 β 可能平行，也可能相交，所以 m 与 β 不一定垂直，故不正确；
对于选项C，因为 α 与 β 可能平行，也可能相交，所以 m 与 β 不一定垂直，故不正确；
对于选项D，由 n⊥α，n⊥β，可得 α∥β，而 m⊥α，则 m⊥β，故正确
17. B
18. A
19. C
20. A
【解析】设 OA=a，OB=b，OC=c，由已知可知 ==π3，且 ∣b∣=∣c∣，所以 OA⋅BC=a⋅c−b=a⋅c−a⋅b=12∣a∣∣c∣−12∣a∣∣b∣=0，所以 cs=0．
第二部分
21. ×
22. 2
23. 平面 BDG（平面 C1HF 、平面 AHF 、平面 EB1D1 均可，答案不唯一）
24. AB，AC，BC，BC
【解析】1 因为 PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
所以与 PC 垂直的直线有 AB，AC，BC．
2 ∠BCA=90∘，
即 BC⊥AC，
又 BC⊥PC，AC⋂PC=C，
所以 BC⊥平面PAC，
又 AP⊂平面PAC，
所以 BC⊥AP．
25. ①②④
【解析】取 DC 的中点 N，连接 MN，NB，则 MN∥A1D，NB∥DE，
所以 平面MNB∥平面A1DE，
因为 MB⊂平面MNB，
所以 MB∥平面A1DE ，④正确；
∠A1DE=∠MNB，MN=12A1D= 定值，NB=DE= 定值，根据余弦定理得，MB2=MN2+NB2−2MN⋅NB⋅cs∠MNB，
所以 MB 是定值，①正确；
B 是定点，
所以 M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确；
当矩形 ABCD 满足 AC⊥DE 时，存在某个位置，使 DE⊥A1C，其他情况下不存在，③不正确．
所以①②④正确．
第三部分
26. 取 CD 的中点 G，连接 EG，FG．
易证 EG⊥FG，
所以 BD⊥AC．
又因为 BD⊥CD，AC∩CD=C，
所以 BD⊥平面ACD．
27. 因为 PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以 PA⊥BC．又在圆内 BC⊥AC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面PAC.AE⊂平面PAC, 所以 BC⊥AE, 因为 AE⊥PC,PC∩BC=C, 所以 AE⊥平面PBC．
28. （1） 因为 SA=SC，D 是 AC 的中点，
所以 SD⊥AC．
在 Rt△ABC 中，AD=BD，
由已知 SA=SB，
所以 △ADS≌△BDS，
所以 SD⊥BD．
又 AC∩BD−D，AC,BD⊂平面ABC，
所以 SD⊥平面ABC．
（2） 因为 AB=BC，D 为 AC 的中点，
所以 BD⊥AC．
由（1）知 SD⊥BD．
又因为 SD∩AC=D，SD,AC⊂平面SAC，
所以 BD⊥平面SAC．
29. （1） 设点 C 在平面 ABB1A1 内的射影为 E，
则 E∈BD，CE⊂平面CBD，且 CE⊥平面ABB1A1，
因 B1D⊂平面ABB1A1，
所以 CE⊥B1D．
在 △ABD 中，AB=AD=1，∠BAD=π3，
则 ∠ABD=∠ADB=π−π32=π3，
在 △A1B1D 中，A1B1=A1D=1，∠B1A1D=2π3，
则 ∠A1B1D=∠A1DB1=π−2π32=π6，
故 ∠B1DB=π−π3−π6=π2，故 BD⊥B1D．
因 CE∩BD=E，故 B1D⊥平面CBD．
（2） VABC−A1B1C1=3VA1−ABC=3VC−A1AB，
由（1）得 CE⊥平面ABB1A1，故 CE 是三棱锥 C−A1AB 的高，△CBD 是正三角形，BD=AB=AD=1，CE=32，
SA1AB=12∣AB∣⋅∣AA1∣sin∠BAA1=12×1×2×sinπ3=32，VC−A1AB=13SA1AB⋅CE=13×32×32=14，
故三棱柱的体积 VABC−A1B1C1=3VC−A1AB=34，
故三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积为 34．
【解析】法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因 SPAC=SBAC 且高一样，
故 VABC−A1B1C1=VAPC−A1QC1，
故 VABC−A1B1C1=VAPC−A1QC1=12VABB1A1−PCC1Q，
由（1）得 CE⊥平面ABB1A1，故 CE 是四棱柱 ABB1A1−PCC1Q 的高，
故
VABB1A1−PCC1Q=SABB1A1⋅CE=AB×AA1sin∠BAD×CE=1×2×sinπ3×32=32,
故 VABC−A1B1C1=12VABB1A1−PCC1Q=34，
故三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积为 34．
法三、在三棱锥 VC−ABD 中，由（1）得 CE⊥平面ABD，CE 是三棱锥 C−ABD 的高，记 D 到平面 ABC 的距离为 hD，
由 VD−ABC=VC−ABD 得 13SABChD=13SABD⋅CE，即 hD=SABD⋅CESABC，
D 为 AA1 的中点，故 A 到平面 ABC 的距离为 2hD=2SABD⋅CESABC，
VABC−A1B1C1=SABC×2hD=2SABD⋅CE=2×12×1×1×sinπ3×32=34.
故三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积为 34．
30. （1） 易知，四边形 BEHC 和四边形 ABGH 为平行四边形，
所以 BE∥CH，BG∥AH，
又因为 BE,BG⊂平面BEG，
且 CH,AH⊄平面BEG，
所以 CH∥平面BEG，AH∥平面BEG．
又因为 CH,AH⊂平面ACH，
且 CH∩AH=H，
所以 平面BEG∥平面ACH．
（2） 连接 HF，
因为 DH⊥平面EFGH，
且 EG⊂平面EFGH，
所以 DH⊥EG．
因为 EG⊥HF，
又 HF∩DH=H，
所以 EG⊥平面HDF．
因为 DF⊂平面HDF，
所以 EG⊥DF．
同理可得，EB⊥DF．
因为 EG∩EB=E，
所以 DF⊥平面BEG．