2022届高考数学二轮专题测练-推理与证明

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-推理与证明，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 用数学归纳法证明一个关于自然数 n 的命题 Pn 时，由 Pk 成立，进一步证明 Pk+1 成立过程中
A. 必须运用归纳假设B. 可以部分运用归纳假设
C. 可以不用归纳假设D. 根据题意灵活处理

2. 如果命题 Pn 对 n=k 成立，则它对 n=k+2 也成立，若 Pn 对 n=2 也成立，则下列结论正确的是
A. Pn 对所有正整数 n 都成立B. Pn 对所有正偶数 n 都成立
C. Pn 对所有正奇数 n 都成立D. Pn 对所有自然数 n 都成立

3. 用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N* 能被 9 整除”时，要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况，只需展开
A. k+33B. k+23
C. k+13D. k+13+k+23

4. 用数学归纳法证明 1+a+a2+⋯+an+1=1−an+21−aa≠1,n∈N* 时，在验证 n=1 的等式时，等式左边为
A. 1B. 1+aC. 1+a+a2D. 1+a+a2+a3

5. 用数学归纳法证明 n3>3n2+3n+1 这一不等式时，应注意 n 必须为
A. n∈N*B. n∈N*，n≥2C. n∈N*，n≥3D. n∈N*，n≥4

6. 用数学归纳法证明 1+12+13+⋯+12n−1A. 1+12<2B. 1+12+13<2C. 1+12+13<3D. 1+12+13+14<3

7. 用数学归纳法证明 2n−12n+1>nn+1 对任意 n≥kn,k∈N 的自然数都成立，则 k 的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 用数学归纳法证明 1n+1+1n+2+⋅⋅⋅+12n>1324n≥2 的过程中，设 fk=1k+1+1k+2+⋅⋅⋅+12k，从 n=k 递推到 n=k+1 时，不等式左边为
A. fk+12k+1
B. fk+12k+1+12k+1
C. fk+12k+1+⋅⋅⋅+12k+1−1k+1
D. fk+12k+1−1k+1

9. 用数学归纳法证明：n+1⋅n+2⋅⋯⋅n+n=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅2n−1，从 k 到 k+1 左端需增乘的代数式为
A. 2k+1B. 22k+1C. 2k+1k+1D. 2k+3k+1

10. 观察 x3ʹ=3x2，1xʹ=−1x2，sinxʹ=csx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 fx 是奇函数，fʹx 是导函数，记作 gx，则 g−x=
A. −fxB. fxC. −gxD. gx

11. 用数学归纳法证明 12+22+⋯+n−12+n2+n−12+⋯+22+12=n2n2+13n∈N* 时，由 n=k 时的假设到证明 n=k+1 时，等式左边应添加的式子是
A. k+12+2k2B. k+12+k2
C. k+12D. 13k+12k+12+1

12. 用数学归纳法证明：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅2n−1n∈N*．从 k 到 k+1 时，等式左边需增加的代数式是
A. 2k+1B. 2k+1k+1C. 22k+1D. 2k+3k+1

13. 设 fx 是定义在正整数集上的函数，且 fx 满足：“当 fk≥k2 成立时，总可推出 fk+1≥k+12 成立”．那么，下列命题总成立的是
A. 若 f3≥9 成立，则当 k≥1 时，均有 fk≥k2 成立
B. 若 ∫5≥25 成立，则当 k≤5 时，均有 fk≥k2 成立
C. 若 f7<49 成立，则当 k≥8 时，均有 fkD. 若 f4=25 成立，则当 k≥4 时，均有 ∫k≥k2 成立

14. 用数学归纳法证明 1+12+13+⋯+12n−11 时，第一步应验证不等式
A. 1+12<2B. 1+12+13<2C. 1+12+13<3D. 1+12+13+14<2

15. 已知 fx+1=2fxfx+2，f1=1x∈N+，猜想 fx 的表达式为
A. 42x+2B. 22x+1C. 1x+1D. 2x+1

16. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测

17. 自主招生联盟成形于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：
①报考“北约”联盟的考生，都没报考“华约”联盟；
②报考“华约”联盟的考生，也报考了“京派”联盟；
③报考“卓越”联盟的考生，都没报考“京派”联盟；
④不报考“卓越”联盟的考生，就报考“华约”联盟．
根据上述调查结果，下述结论错误的是
A. 没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的考生
B. 报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C. 报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D. 报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟

18. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+⋯+n+3=n+3n+42n∈N* 时，第一步验证 n=1 时，左边应取的项是
A. 1B. 1+2C. 1+2+3D. 1+2+3+4

19. 设 a>b>c，a+b+c=1，且 a2+b2+c2=1，则
A. a+b>1B. a+b=1
C. a+b<1D. 以上都不能恒成立

20. 已知数列 an 的通项公式 an=n2，数列 bn 的通项公式 bn=2n，则数列 anbn
A. 既有最大值，也有最小值B. 仅有最大值，而无最小值
C. 既无最大值，也无最小值D. 仅有最小值，而无最大值

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 用数学归纳法证明“凸 n 边形的对角线有 nn−32 条”的第一步是验证 n= 成立．

22. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式：
22=1+3，32=1+3+5，42=1+3+5+7，⋯；23=3+5，33=7+9+11，⋯；24=7+9，⋯；按此规律，54 的分解式中的第三个数为 ．

23. 用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n，总有 2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0 最小应当是 ．

24. 把正整数排列成如图 a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图 b 的三角形数阵，现将图 b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列 an，若 ak=2019，则 k= ．
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536
a
124579101214161719212325262830323436
b

25. 在数列 an 中，已知 a1=1,an+m=an+am∀m,n∈N*，令 bn=an2⋅csnπ2，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，则 S4n= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 用数学归纳法证明：
1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n（n∈N*）．

27. 已知函数 fx=lgaa−1+x−x2a≠12 的定义域为集合 A ．
（1）若 2∈A ，求 a 的取值范围；
（2）求定义域集合 A ．

28. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an 是 Sn 与 2 的等差中项．
（1）计算 a1，a2，a3，并猜测 an 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明 an 的通项公式．

29. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn+an=12n2+3n−2n∈N+．
（1）求 a1，a2，a3 的值；
（2）猜想 an 的表达式，并用数学归纳法加以证明．

30. 已知数列 an 满足：a1=2，nan+1=n+1an+nn+1，n∈N*．
（1）求证：数列 ann 为等差数列，并求出数列 an 的通项公式；
（2）记 bn=2n+1ann∈N*，用数学归纳法证明：b1+b2+⋯+bn<1−1n+12，n∈N*．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. A【解析】假设当 n=k 时，原式能被 9 整除，即 k3+k+13+k+23 能被 9 整除．
当 n=k+1 时，k+13+k+23+k+33 为了能用上面的归纳假设，只需将 k+33 展开，让其出现 k3 即可．
4. C
5. D
【解析】当 n=1，n=2，n=3 时，显然不等式不成立；
当 n=4 时，64>61 不等式成立．
故用数学归纳法证明 n3>3n2+3n+1 这一不等式时，
应注意 n 必须为 n≥4，n∈N*．
6. B【解析】用数学归纳法证明 1+12+13+⋯+12n−1第一步应验证 n=2 时是否成立，即不等式为：1+12+13<2；
故选：B．
7. C
8. C
9. B【解析】当 n=k 时，左边为 k+1⋅k+2⋅⋯⋅k+k，
当 n=k+1 时，左边为
k+1+1⋅k+1+2⋅⋯⋅k+k⋅k+1+k⋅k+1+k+1=k+1⋅k+2⋅⋯⋅k+k⋅2k+1⋅2k+2k+1=k+1⋅k+2⋅⋯⋅k+k⋅22k+1,
所以从 k 到 k+1 左端需增乘的代数式为 22k+1．
10. D
11. B【解析】当 n=k 时，左边为 12+22+⋯+k−12+k2+k−12+⋯+22+12，当 n=k+1 时，左边为 12+22+⋯+k−12+k2+k+12+k2+k−12+⋯+22+12，可见左边添加的式子为 k+12+k2．
12. C
13. D
14. B【解析】由题意得，当 n=2 时，不等式为 1+12+13<2．
15. D
16. A
17. D
18. D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式 1+2+3+⋯+n+3=n+3n+42n∈N*，第一步验证 n=1 时，应为前 4 项的和，且从 1 开始，最后一项为 4，所以左边为 1+2+3+4．
19. A【解析】利用反证法：
只需证明 c<0，假设 c≥0，
则：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca=1，
所以：ab+bc+ac=0，
但是 a>b>c≥0，
故：ab>0，ac≥0，bc≥0．
所以：ab+bc+ac>0 与 ab+bc+ac=0 矛盾．
所以：假设错误，
故：c<0，
所以：a+b=1−c>1．
20. B
【解析】令 cn=anbn，由已知，cn+1−cn=n+122n+1−n22n=−n2+2n+12n+1．令 cn+1−cn>0，得 n=1或2；当 n≥3 时，cn+1−cn<0．所以数列 cn 先单调递增再单调递减，当 n=3 时取到最大值 32，无最小值．
第二部分
21. 3
22. 125
23. 10
【解析】当 n=1 时，21>13 成立；
当 n=2 时，22>23 不成立；
当 n=3 时，23>33 不成立；
当 n=4 时，24>43 不成立；
当 n=5 时，25>53 不成立；
当 n=6 时，26>63 不成立；
⋯，
当 n=9 时，29=512>93 不成立；
当 n=10 时，210=1024>103 成立，
第一步不等式成立所取的第一个值 n0 最小应当是 10．
24. 1032
25. 8n2+4n
【解析】由 a1=1，an+m=an+am，
令 m=1，则有 an+1=an+a1=an+1，
所以数列 an 为等差数列，且公差为 1，
所以 an=a1+n−1d=n，
所以 bn=n2⋅csnπ2，
因为 b4k−3=4k−32⋅cs4k−32⋅n=0，k∈Z，
b4k−2=4k−22⋅cs4k−22⋅π=−4k−22，k∈Z，
b4k−1=4k−12⋅cs4k−12π=0，k∈Z，
b4k=4k2⋅cs4k2⋅π=4k2，k∈Z，
所以 b4k−3+b4k−2+b4k−1+b4k=16k−4，
所以
S4n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+⋯+b4n−3+b4n−2+b4n−1+b4n=12+28+⋯+16n−4=12+16n−42×n=8n2+4n.
第三部分
26. 证明过程略．
27. （1） 由 aa−1+x−x2>0 ，得 x−1−a⋅x−a<0
由 2∈A ，知 2−1−a⋅2−a<0
解得， a∈−∞,−1∪2,+∞
（2） 若 1−a>a, 即 a<12 时，不等式的解集为 A=x∣a若 1−a12 时，不等式的解集为 A=x∣1−a28. （1） a1=2，a2=4，a3=8，an=2n．
（2） 略
29. （1） 当 n=1 时，S1+a1=12×12+3×1−2⇒a1=12，
当 n=2 时，S2+a2=12×22+3×2−2⇒a2=74，
当 n=3 时，S3+a3=12×32+3×3−2⇒a3=238，
所以 a1=12，a2=74，a3=238．
（2） 由（1）可知 a1=12，a2=74，a3=238，猜想：an=n−12nn∈N+，
用数学归纳法证明如下：
①当 n=1 时，a1=12=1−12，猜想成立；
②假设当 n=kk≥1 时，猜想成立，即 ak=k−12k，
当 n=k+1 时，
ak+1=Sk+1−Sk=12k+12+3k+1−2−ak+1−12k2+3k−2−ak=k+2+ak−ak+1,
所以 ak+1=12k+2+ak=12k+2+k−12k=k+1−12k+1，
所以当 n=k+1 时，猜想也成立．
由①②可知，an=n−12n 对任意的 n∈N+ 都成立．
30. （1） 由 nan+1=n+1an+nn+1 可知：nan+1nn+1=n+1annn+1+nn+1nn+1，
则有 an+1n+1=ann+1，即 an+1n+1−aan=1，
所以 ann 为等差数列，且首项为 a11=2，公差 d=1，
所以 ann=n+1，
故 an=nn+1，
（2） bn=2nn+12，当 n=1 时，b1=12<1−14 成立；
假设当 n=k 时，不等式成立，则：b1+b2+⋯+bk<1−1k+12，
当 n=k+1 时，b1+b2+⋯+bk+bk+1<1−1k+12+2k+1k+22，
因为
1−1k+12+2k+1k+22−1−1k+22=1k+22+2k+1k+22−1k+12=k+12+2k+1−k+22k+12k+22=−1k+12k+22<0.
所以 1−1k+12+2k+1k+22<1−1k+22，
则 b1+b2+⋯+bk+bk+1<1−1k+22，故 n=k+1 时不等式成立，
综上可知：b1+b2+⋯+bn<1−1n+12．