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2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的几何性质
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这是一份2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的几何性质，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 椭圆 x225+y29=1 与 x29−k+y225−k=10A. 有相等的长轴和短轴B. 有相等的焦距
C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点
2. 过点 3,−2 且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的标准方程是
A. x215+y210=1B. x2152+y2102=1C. x210+y215=1D. x2102+y2152=1
3. 已知椭圆的方程为 x216+y2m2=1（m>0）．如果此椭圆的焦点在 x 轴上，那么它的焦距为
A. 216−m2B. 24−mC. 2m2−8D. 2m−4
4. 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点 2,0，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方程为
A. x24+y2=1B. y216+x24=1
C. x24+y2=1 或 y216+x24=1D. x24+y2=1 或 y24+x2=1
5. 适合 b=1，c=15，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
A. x24+y2=1B. x216+y2=1C. y24+x2=1D. y216+x2=1
6. 已知椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于
A. 5B. 6C. 9D. 10
7. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为
A. 13B. 12C. 23D. 34
8. 已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0，点 M，N 是椭圆上关于 y 轴对称的两点，A，B 是椭圆长轴的两个端点，若直线 MA，NB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2=4，则椭圆 C 的离心率为
A. 12B. 22C. 32D. 5−12
9. 设 e 是椭圆 x2k+y24=1 的离心率，且 e∈12,1，则实数 k 的取值范围是
A. 0,3B. 3,163
C. 0,2D. 0,3∪163,+∞
10. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF 与 x 轴垂直，直线 AB 交 y 轴于点 P．若 ∣AP∣∣PB∣=3，则椭圆的离心率是
A. 32B. 22C. 12D. 13
11. 如图，已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 M，N．若过点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为
A. 3−1B. 2−3C. 22D. 32
12. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则椭圆 C 的离心率为
A. 63B. 33C. 23D. 13
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l:3x−4y=0 交椭圆 C 于 A，B 两点．若 AF+BF=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 C 的离心率的取值范围为
A. 0,32B. 32,1C. 0,34D. 34,1
14. 已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 12e1e2 的最大值为
A. 32B. 33C. 233D. 1
15. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 PF1⋅OF1+OP=0（O 为坐标原点）．若 ∣PF1∣=2∣PF2∣，则椭圆的离心率为
A. 6−3B. 6−32C. 6−5D. 6−52
16. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与直线 y=3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是
A. 1,2B. 1,2C. 1,5D. 1,5
17. 设点 P 为有公共焦点 F1，F2 的椭圆 M 和双曲线 T 的一个交点，且 cs∠F1PF2=35，椭圆 M 的离心率为 e1，双曲线 T 的离心率为 e2，若 e2=2e1，则 e1=
A. 75B. 74C. 105D. 104
18. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. 13B. 45C. 25D. 35
19. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
20. 已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若 ∣PF1∣=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2 的取值范围是
A. 0,+∞B. 13,+∞C. 15,+∞D. 19,+∞
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．
22. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 ．
23. 已知椭圆 G：x26+y2b2=10① 点 P 的轨迹关于 y 轴对称；
② 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ OP 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是 ．
24. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
25. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线 N:x2m2−y2n2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 与直线 x+2y−2=0 交于 A，B 两点，AB=5，且 AB 的中点的坐标为 m,12，求此椭圆的方程．
27. 已知椭圆方程 C:x2m−2+y27−m=1．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 m=6 时，若椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过椭圆的左焦点 F1 并且与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 △ABF2 的周长．
28. 已知椭圆 C 的两个焦点为 F1−1,0，F21,0，且经过点 E3,32．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（点 A 位于 x 轴上方），若 AF1=λF1B，且 2≤λ<3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
29. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 经过点 M0,1，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 AM=2MB，求直线 l 的方程
30. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B．
（1）已知椭圆的离心率为 12，线段 AF 中点的横坐标为 22，求椭圆的标准方程．
（2）已知 △ABF 外接圆的圆心在直线 y=−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. A
4. C【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a=2b，又椭圆经过点 2,0，若焦点在 x 轴上，则 a=2，b=1，椭圆方程为 x24+y2=1；若焦点在 y 轴上，则 a=4，b=2，椭圆方程为 y216+x24=1．
5. D
【解析】由题意得，a=b2+c2=4，
由焦点在 y 轴上，得椭圆的标准方程是 y216+x2=1．
6. C【解析】由椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m−3−11+m=2，解得 m=9．
7. B【解析】如图，
∣OB∣ 为椭圆中心到 l 的距离，则 ∣OA∣⋅∣OF∣=∣AF∣⋅∣OB∣，即 bc=a⋅b2，所以 e=ca=12．
8. C【解析】设 Mx0,y0，则 y02a2+x02b2=1，
所以 k1k2=y0−ax0⋅y0+a−x0=y02−a2−x02=a21−x02b2−a2−x02=a2b2=4，
令 b=1，则 a=2，c=3，所以 e=32．
9. D【解析】当椭圆焦点在 x 轴上，即 k>4 时，a2=k，b2=4，
所以 e=k−4k∈12,1，
所以 14163；
当椭圆焦点在 y 轴上，即 0所以 e=4−k2∈12,1，解得 k∈0,3．
故实数 k 的取值范围是 0,3∪163,+∞．
故选D．
10. D
【解析】不妨设点 B 在第二象限，如图所示，
由 ∣AP∣∣PB∣=3，得 ∣AO∣∣OF∣=3，即 ca=3，
所以椭圆的离心率 e=ca=13，
故选D．
11. A【解析】因为过点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，∣MF2∣=c，∣F1F2∣=2c，
所以 ∣MF1∣=3c．
由椭圆定义可得 ∣MF1∣+∣MF2∣=3c+c=2a，
可得椭圆离心率 e=ca=21+3=3−1．
12. A
13. A【解析】如图所示，设 Fʹ 为椭圆 C 的左焦点，连接 AFʹ，BFʹ，
则四边形 AFBFʹ 是平行四边形，
所以 4=AF+BF=AFʹ+AF=2a，
所以 a=2，不妨取 M0,b，
因为点 M 到直线 l 的距离不小于 45，
所以 −4b32+−42≥45，解得 b≥1，
所以 e=ca=1−b2a2≤1−122=32，
又 014. B【解析】不妨设椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
双曲线方程为 x2m2+y2n2=1m>0,n>0，
可设点 P 在第一象限，∣PF1∣=s，∣PF2∣=t，∣F1F2∣=2c，
由椭圆和双曲线的定义得 s+t=2a，s−t=2m，
解得 s=a+m，t=a−m，
在 △F1PF2 中，由余弦定理得 2c2=s2+t2−2stcsπ3，
即 a+m2+a−m2−a+ma−m=4c2，化为 a2+3m2=4c2，
即 a2c2+3m2c2=4，即为 1e12+3e22=4，
由 1e12+3e22≥23e12e22=23e1e2，
可得 12e1e2≤33，当且仅当 e2=3e1 时取得等号，
所以 12e1e2 的最大值为 33．
15. A
【解析】以 OF1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，及 PF1⋅OF1+OP=0 知此平行四边形的对角线互相垂直，即此平行四边形为菱形，
所以 ∣OP∣=∣OF1∣，
所以 △F1PF2 是直角三角形，即 PF1⊥PF2．
设 ∣PF2∣=x, 则 2x+x=2a,2x2+x2=2c2, 得 ca=32+1，
所以离心率 e=ca=32+1=6−3．
16. B【解析】双曲线的渐近线方程为 y=±bax，
因为直线 y=3x 与双曲线无交点，
所以有 ba≤3，即 b≤3a，
所以 b2≤3a2，即 c2−a2≤3a2，即 c2≤4a2，
所以 e2≤4，
所以 117. C
18. D【解析】椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，
由题，三者成等差数列，则 2×2b=2a+2c，即 2b=a+c，
平方得：4b2=a2+c2+2ac，
椭圆内 b2=a2−c2，代入化简得：5c2+2ac−3a2=0，同除 a2 得，
5c2a2+2ca−3=0，e=ca，则 5e2+2e−3=5e−3e+1=0，
e1=35，e2=−1，椭圆 019. C
20. B
【解析】设椭圆的长半轴长为 a，焦距为 c，双曲线的实半轴长为 aʹ，显然其虚半轴长为 c．
由椭圆及双曲线的定义得，∣PF1∣−∣PF2∣=2aʹ 及 ∣PF1∣+∣PF2∣=2a，则 10−a=aʹ, ⋯⋯①
又因为 △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，
所以 2a−10=2c，即 a−5=c, ⋯⋯②
由 ①② 得，a=c+5，aʹ=10−a=5−c，
所以 e1e2=ca⋅caʹ=c225−c2=125c2−1，
又因为 ∣PF2∣+∣F1F2∣>∣PF1∣，
所以 a+c>10，又 a>c，
所以 c>52，
从而求得 e1e2>13．
第二部分
21. 0,22
【解析】因为点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，
以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
所以 ∠F1PF2≤90∘，
所以 tan∠OPF2≤1，
所以 cb≤1，c≤b，
c2≤a2−c2，2c2≤a2，c2a2≤12，即 ca≤22，又 0所以 022. x25+y2=1
【解析】直线 x−2y+2=0 与 x 轴的交点为 −2,0，即为椭圆的左焦点，故 c=2．
直线 x−2y+2=0 与 y 轴的交点为 0,1，即为椭圆的上顶点，故 b=1．
所以 a2=b2+c2=5，
所以椭圆的方程为 x25+y2=1．
23. ①③
24. 12
【解析】依题意，△BF1F2 是正三角形．
因为在 Rt△OBF2 中，OF2=c，BF2=a，∠OF2B=60∘，
所以 acs60∘=c，
所以 ca=12，即椭圆的离心率 e=12．
25. 3−1，2
第三部分
26. x24+y2=1．
27. （1） m−2>0,7−m>0,m−2≠7−m, 得 2 （2） 当 m=6 时椭圆方程为 x24+y2=1，所以 a2=4，即 a=2，则 △ABF2 周长
L=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8.
28. （1） 设椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0．
则 c=1,3a2+34b2=1,a2=b2+c2，可得 a=2，b=3．
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 设直线 l:y=kx+1k>0．
由 y=kx+1,x24+y23=1 得 3k2+4y2−6ky−9=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 y1+y2=6k3+4k2，y1y2=−9k23+4k2．
又 y1=−λy2，所以 y1+y22y1y2=1−λ2−λ=−43+4k2，即 λ+1λ−2=43+4k2．
由于 2≤λ<3，所以 12≤λ+1λ−2<43，即 12≤43+4k2<43．
又 k>0，所以 0故斜率k的取值范围为 0,52．
29. （1） 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为焦距为 2，
所以 c=1，e=ca=12，
所以 a=2，b=3，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 由题意得直线 l 的斜率存在，
设直线 l 的方程为 y=kx+1，则由
y=kx+1,x24+y23=1,
得 3+4k2x2+8kx−8=0，且 Δ>0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则由 AM=2MB，得 x1=−2x2．
又 x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2,
所以 −x2=−8k3+4k2,−2x22=−83+4k2,
消去 x2，得 8k3+4k22=43+4k2，
解得 k2=14，k=±12．
所以直线 l 的方程为 y=±12x+1，
即 x−2y+2=0 或 x+2y−2=0．
30. （1） 因为椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，
所以 ca=12，则 a=2c．
因为线段 AF 中点的横坐标为 22，
所以 a−c2=22．
所以 c=2，则 a2=8，b2=a2−c2=6．
所以椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
（2） 因为 Aa,0，F−c,0，
所以线段 AF 的中垂线方程为：x=a−c2．
又因为 △ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y=−x 上，
所以 Ca−c2,−a−c2．
因为 Aa,0，B0,b，
所以线段 AB 的中垂线方程为：y−b2=abx−a2．
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 −a−c2−b2=aba−c2−a2，
整理得，ba−c+b2=ac，
即 b−ca+b=0．
因为 a+b>0，
所以 b=c．
所以椭圆的离心率 e=ca=cb2+c2=22．
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 椭圆 x225+y29=1 与 x29−k+y225−k=10
C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点
2. 过点 3,−2 且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的标准方程是
A. x215+y210=1B. x2152+y2102=1C. x210+y215=1D. x2102+y2152=1
3. 已知椭圆的方程为 x216+y2m2=1（m>0）．如果此椭圆的焦点在 x 轴上，那么它的焦距为
A. 216−m2B. 24−mC. 2m2−8D. 2m−4
4. 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点 2,0，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方程为
A. x24+y2=1B. y216+x24=1
C. x24+y2=1 或 y216+x24=1D. x24+y2=1 或 y24+x2=1
5. 适合 b=1，c=15，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
A. x24+y2=1B. x216+y2=1C. y24+x2=1D. y216+x2=1
6. 已知椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于
A. 5B. 6C. 9D. 10
7. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为
A. 13B. 12C. 23D. 34
8. 已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0，点 M，N 是椭圆上关于 y 轴对称的两点，A，B 是椭圆长轴的两个端点，若直线 MA，NB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2=4，则椭圆 C 的离心率为
A. 12B. 22C. 32D. 5−12
9. 设 e 是椭圆 x2k+y24=1 的离心率，且 e∈12,1，则实数 k 的取值范围是
A. 0,3B. 3,163
C. 0,2D. 0,3∪163,+∞
10. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF 与 x 轴垂直，直线 AB 交 y 轴于点 P．若 ∣AP∣∣PB∣=3，则椭圆的离心率是
A. 32B. 22C. 12D. 13
11. 如图，已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 M，N．若过点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为
A. 3−1B. 2−3C. 22D. 32
12. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则椭圆 C 的离心率为
A. 63B. 33C. 23D. 13
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l:3x−4y=0 交椭圆 C 于 A，B 两点．若 AF+BF=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 C 的离心率的取值范围为
A. 0,32B. 32,1C. 0,34D. 34,1
14. 已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 12e1e2 的最大值为
A. 32B. 33C. 233D. 1
15. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 PF1⋅OF1+OP=0（O 为坐标原点）．若 ∣PF1∣=2∣PF2∣，则椭圆的离心率为
A. 6−3B. 6−32C. 6−5D. 6−52
16. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与直线 y=3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是
A. 1,2B. 1,2C. 1,5D. 1,5
17. 设点 P 为有公共焦点 F1，F2 的椭圆 M 和双曲线 T 的一个交点，且 cs∠F1PF2=35，椭圆 M 的离心率为 e1，双曲线 T 的离心率为 e2，若 e2=2e1，则 e1=
A. 75B. 74C. 105D. 104
18. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. 13B. 45C. 25D. 35
19. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
20. 已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若 ∣PF1∣=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2 的取值范围是
A. 0,+∞B. 13,+∞C. 15,+∞D. 19,+∞
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．
22. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 ．
23. 已知椭圆 G：x26+y2b2=10
② 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ OP 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是 ．
24. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
25. 已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线 N:x2m2−y2n2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 与直线 x+2y−2=0 交于 A，B 两点，AB=5，且 AB 的中点的坐标为 m,12，求此椭圆的方程．
27. 已知椭圆方程 C:x2m−2+y27−m=1．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 m=6 时，若椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过椭圆的左焦点 F1 并且与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 △ABF2 的周长．
28. 已知椭圆 C 的两个焦点为 F1−1,0，F21,0，且经过点 E3,32．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（点 A 位于 x 轴上方），若 AF1=λF1B，且 2≤λ<3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
29. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 经过点 M0,1，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 AM=2MB，求直线 l 的方程
30. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B．
（1）已知椭圆的离心率为 12，线段 AF 中点的横坐标为 22，求椭圆的标准方程．
（2）已知 △ABF 外接圆的圆心在直线 y=−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. A
4. C【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a=2b，又椭圆经过点 2,0，若焦点在 x 轴上，则 a=2，b=1，椭圆方程为 x24+y2=1；若焦点在 y 轴上，则 a=4，b=2，椭圆方程为 y216+x24=1．
5. D
【解析】由题意得，a=b2+c2=4，
由焦点在 y 轴上，得椭圆的标准方程是 y216+x2=1．
6. C【解析】由椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m−3−11+m=2，解得 m=9．
7. B【解析】如图，
∣OB∣ 为椭圆中心到 l 的距离，则 ∣OA∣⋅∣OF∣=∣AF∣⋅∣OB∣，即 bc=a⋅b2，所以 e=ca=12．
8. C【解析】设 Mx0,y0，则 y02a2+x02b2=1，
所以 k1k2=y0−ax0⋅y0+a−x0=y02−a2−x02=a21−x02b2−a2−x02=a2b2=4，
令 b=1，则 a=2，c=3，所以 e=32．
9. D【解析】当椭圆焦点在 x 轴上，即 k>4 时，a2=k，b2=4，
所以 e=k−4k∈12,1，
所以 14
当椭圆焦点在 y 轴上，即 0
故实数 k 的取值范围是 0,3∪163,+∞．
故选D．
10. D
【解析】不妨设点 B 在第二象限，如图所示，
由 ∣AP∣∣PB∣=3，得 ∣AO∣∣OF∣=3，即 ca=3，
所以椭圆的离心率 e=ca=13，
故选D．
11. A【解析】因为过点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，∣MF2∣=c，∣F1F2∣=2c，
所以 ∣MF1∣=3c．
由椭圆定义可得 ∣MF1∣+∣MF2∣=3c+c=2a，
可得椭圆离心率 e=ca=21+3=3−1．
12. A
13. A【解析】如图所示，设 Fʹ 为椭圆 C 的左焦点，连接 AFʹ，BFʹ，
则四边形 AFBFʹ 是平行四边形，
所以 4=AF+BF=AFʹ+AF=2a，
所以 a=2，不妨取 M0,b，
因为点 M 到直线 l 的距离不小于 45，
所以 −4b32+−42≥45，解得 b≥1，
所以 e=ca=1−b2a2≤1−122=32，
又 0
双曲线方程为 x2m2+y2n2=1m>0,n>0，
可设点 P 在第一象限，∣PF1∣=s，∣PF2∣=t，∣F1F2∣=2c，
由椭圆和双曲线的定义得 s+t=2a，s−t=2m，
解得 s=a+m，t=a−m，
在 △F1PF2 中，由余弦定理得 2c2=s2+t2−2stcsπ3，
即 a+m2+a−m2−a+ma−m=4c2，化为 a2+3m2=4c2，
即 a2c2+3m2c2=4，即为 1e12+3e22=4，
由 1e12+3e22≥23e12e22=23e1e2，
可得 12e1e2≤33，当且仅当 e2=3e1 时取得等号，
所以 12e1e2 的最大值为 33．
15. A
【解析】以 OF1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，及 PF1⋅OF1+OP=0 知此平行四边形的对角线互相垂直，即此平行四边形为菱形，
所以 ∣OP∣=∣OF1∣，
所以 △F1PF2 是直角三角形，即 PF1⊥PF2．
设 ∣PF2∣=x, 则 2x+x=2a,2x2+x2=2c2, 得 ca=32+1，
所以离心率 e=ca=32+1=6−3．
16. B【解析】双曲线的渐近线方程为 y=±bax，
因为直线 y=3x 与双曲线无交点，
所以有 ba≤3，即 b≤3a，
所以 b2≤3a2，即 c2−a2≤3a2，即 c2≤4a2，
所以 e2≤4，
所以 1
18. D【解析】椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，
由题，三者成等差数列，则 2×2b=2a+2c，即 2b=a+c，
平方得：4b2=a2+c2+2ac，
椭圆内 b2=a2−c2，代入化简得：5c2+2ac−3a2=0，同除 a2 得，
5c2a2+2ca−3=0，e=ca，则 5e2+2e−3=5e−3e+1=0，
e1=35，e2=−1，椭圆 0
20. B
【解析】设椭圆的长半轴长为 a，焦距为 c，双曲线的实半轴长为 aʹ，显然其虚半轴长为 c．
由椭圆及双曲线的定义得，∣PF1∣−∣PF2∣=2aʹ 及 ∣PF1∣+∣PF2∣=2a，则 10−a=aʹ, ⋯⋯①
又因为 △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，
所以 2a−10=2c，即 a−5=c, ⋯⋯②
由 ①② 得，a=c+5，aʹ=10−a=5−c，
所以 e1e2=ca⋅caʹ=c225−c2=125c2−1，
又因为 ∣PF2∣+∣F1F2∣>∣PF1∣，
所以 a+c>10，又 a>c，
所以 c>52，
从而求得 e1e2>13．
第二部分
21. 0,22
【解析】因为点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，
以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
所以 ∠F1PF2≤90∘，
所以 tan∠OPF2≤1，
所以 cb≤1，c≤b，
c2≤a2−c2，2c2≤a2，c2a2≤12，即 ca≤22，又 0
【解析】直线 x−2y+2=0 与 x 轴的交点为 −2,0，即为椭圆的左焦点，故 c=2．
直线 x−2y+2=0 与 y 轴的交点为 0,1，即为椭圆的上顶点，故 b=1．
所以 a2=b2+c2=5，
所以椭圆的方程为 x25+y2=1．
23. ①③
24. 12
【解析】依题意，△BF1F2 是正三角形．
因为在 Rt△OBF2 中，OF2=c，BF2=a，∠OF2B=60∘，
所以 acs60∘=c，
所以 ca=12，即椭圆的离心率 e=12．
25. 3−1，2
第三部分
26. x24+y2=1．
27. （1） m−2>0,7−m>0,m−2≠7−m, 得 2
L=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8.
28. （1） 设椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0．
则 c=1,3a2+34b2=1,a2=b2+c2，可得 a=2，b=3．
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 设直线 l:y=kx+1k>0．
由 y=kx+1,x24+y23=1 得 3k2+4y2−6ky−9=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 y1+y2=6k3+4k2，y1y2=−9k23+4k2．
又 y1=−λy2，所以 y1+y22y1y2=1−λ2−λ=−43+4k2，即 λ+1λ−2=43+4k2．
由于 2≤λ<3，所以 12≤λ+1λ−2<43，即 12≤43+4k2<43．
又 k>0，所以 0
29. （1） 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为焦距为 2，
所以 c=1，e=ca=12，
所以 a=2，b=3，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 由题意得直线 l 的斜率存在，
设直线 l 的方程为 y=kx+1，则由
y=kx+1,x24+y23=1,
得 3+4k2x2+8kx−8=0，且 Δ>0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则由 AM=2MB，得 x1=−2x2．
又 x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2,
所以 −x2=−8k3+4k2,−2x22=−83+4k2,
消去 x2，得 8k3+4k22=43+4k2，
解得 k2=14，k=±12．
所以直线 l 的方程为 y=±12x+1，
即 x−2y+2=0 或 x+2y−2=0．
30. （1） 因为椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，
所以 ca=12，则 a=2c．
因为线段 AF 中点的横坐标为 22，
所以 a−c2=22．
所以 c=2，则 a2=8，b2=a2−c2=6．
所以椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
（2） 因为 Aa,0，F−c,0，
所以线段 AF 的中垂线方程为：x=a−c2．
又因为 △ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y=−x 上，
所以 Ca−c2,−a−c2．
因为 Aa,0，B0,b，
所以线段 AB 的中垂线方程为：y−b2=abx−a2．
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 −a−c2−b2=aba−c2−a2，
整理得，ba−c+b2=ac，
即 b−ca+b=0．
因为 a+b>0，
所以 b=c．
所以椭圆的离心率 e=ca=cb2+c2=22．
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