2022届高考数学二轮专题测练-平面与平面平行关系的判定

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-平面与平面平行关系的判定，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，则 a∥β，b∥β 是 α∥β 的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 可判断 平面α∥平面β 的条件为
A. 平面 α 内有无数条直线平行于平面 β
B. 平面 α 与平面 β 同平行于一条直线
C. 平面 α 内有两条直线平行于平面 β
D. 平面 α 内有两条相交直线与平面 β 平行

3. 下列命题中不正确的是
A. 如果平面 α 与平面 β 平行，那么平面 α 内任一直线平行于平面 β
B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C. 如果一条直线 m 与两个平面 α，β 所成的角相等，那么 α∥β
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

4. 梯形 ABCD 中 AB∥CD，AB⊂ 平面 α，CD⊄ 平面 α，则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是
A. 平行B. 平行或异面C. 平行或相交D. 异面或相交

5. α，β 是两个不重合的平面，a，b 是两条不同的直线，在下列条件中可判定 α∥β 的是
A. 平面 α，β 都平行于直线 a，b
B. 平面 α 内有三个不共线的点到平面 β 的距离相等
C. a，b 是平面 α 内的两条直线，且 a∥β，b∥β
D. a，b 是两条异面直线，且 a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

6. 已知 α，β 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 α 与平面 β 平行的是
A. 平面 α 内有一条直线与平面 β 平行
B. 平面 α 内有两条直线与平面 β 平行
C. 平面 α 内有一条直线与平面 β 内的一条直线平行
D. 平面 α 与平面 β 不相交

7. 已知 α，β 是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线 a，使得 a⊥α，a⊥β；
② 存在两条平行直线 a，b，使得 a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；
③ 存在两条异面直线 a，b，使得 a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在一个平面 γ，使得 γ⊥α，γ⊥β．
其中可以推出 α∥β 的条件个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 不同的直线 m 和 n，不同的平面 α，β，γ，下列条件中能推出 α∥β 的是
A. α∩γ=n，β∩γ=m，n∥mB. α⊥γ，β⊥γ
C. n∥m，n⊥α，m⊥βD. n∥α，m∥β，n∥m

9. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1 的中点，那么
A. BD1∥GHB. BD∥EF
C. 平面EFGH∥平面A1BCD1D. 平面EFGH∥平面ABCD

10. 下列命题正确的是
A. 夹在两平行平面间的平行线段相等
B. 夹在两平行平面间的相等线段必平行
C. 两平面分别与第三平面相交，若两条交线平行，则这两平面平行
D. 平行于同一直线的两平面平行

11. 已知 α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 α，β 平行的是
A. m，n 是平面 α 内两条直线，且 m∥β，n∥β
B. m，n 是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且 m∥β，n∥α
C. 面 α 内不共线的三点到 β 的距离相等
D. 面 α，β 都垂直于平面 γ

12. α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 α，β 平行的是
A. α，β 都垂直于平面 γ
B. 平面 γ 与 α，β 均无公共点
C. 存在一条直线 a，a⊂α，a∥β
D. α 内不共线的三点到 β 的距离相等

13. 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且 MD=NB=1，G 为 MC 的中点．则下列结论中不正确的是
A. MC⊥ANB. GB∥平面AMN
C. 平面CMN⊥平面AMND. 平面DCM∥平面ABN

14. a 是平面 α 外的一条直线，过 a 作平面 β，使 β∥α，这样的 β
A. 只能作一个B. 至少可以作一个
C. 不存在D. 至多可以作一个

15. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 在 B1D1 上，F 在 A1B1 上，且 B1EB1F=B1D1B1A1，过 E 作 EH∥B1B 交 BD 于 H，则平面 EFH 与平面 BB1C1C 的位置关系是
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 以上都有可能

16. 若正 n 边形的两条对角线分别与平面 α 平行，则这个正 n 边形所在的平面一定平行于平面 α，那么 n 的取值可能是
A. 8B. 7C. 6D. 5

17. 平面 α 与平面 β 平行的条件可以是
A. α 内有无穷多条直线与 β 平行
B. α 内的任何直线都与 β 平行
C. 直线 α 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 α∥β，b∥a
D. 直线 a∥α ，直线 a∥β

18. 设 a,b∈R，则“aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件

19. 设 α∥β，A∈α，B∈β，C 是 AB 的中点，当 A，B 分别在平面 α，β 内运动时，得到无数个 AB 的中点 C，那么所有的动点 C
A. 不共面
B. 当且仅当 A，B 分别在两条直线上移动时才共面
C. 当且仅当 A，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D. 不论 A，B 如何移动，都共面

20. 如图，L，M，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是
A. 垂直B. 相交不垂直C. 平行D. 重合

二、填空题（共5小题；共25分）
21.

22. 直线 a，b，平面 α，β 满足 a∥b，a⊂α，b⊂β，则平面 α，β 的位置关系是 ．

23. 如图，已知正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的边长为 1，若过直线 BDʹ 的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为 ．

24. 在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件 时，有 平面D1BQ∥平面PAO．

25. 在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件 时，有 平面 D1BQ∥平面 PAO．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 如图，在正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，E，F，G 分别是棱 AʹBʹ，BBʹ，BʹCʹ 上的中点．求证：平面EFG∥平面ACDʹ．

27. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 、 F 、 G 分别是棱 A1D1 、 DD1 、 D1C1 的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C．

28. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别是 AA1，A1B1，A1D1 的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面BC1D；
（2）在线段 BD 上是否存在点 H，使得 EH⊥平面BC1D?若存在，求线段 BH 的长；若不存在，请说明理由．

29. 如图，四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 为菱形，Q 是棱 PA 的中点．
（1）求证：PC∥平面BDQ；
（2）若 PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．

30. 如图所示，M 、 N 、 K 分别是正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱 AB 、 CD 、 C1D1 的中点．
（1）求证：AN∥平面A1MK；
（2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．
答案
第一部分
1. B【解析】因为直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，由 a∥β，b∥β，得 α 与 β 平行或相交，由 α∥β，得 a∥β，b∥β，所以 a∥β，b∥β 是 α∥β 的必要但不充分条件．
2. D
3. C
4. B【解析】由题意知，直线 CD 与平面 α 平行，所以直线 CD与 平面 α 内的直线平面或异面．
5. D
6. D
7. B
8. C【解析】由不同的直线 m 和 n，不同的平面 α，β，γ，知：
若 α∩γ=n，β∩γ=m，n∥m，则 α 与 β 相交或平行，故A不正确；
若 α⊥γ，β⊥γ，则 α 与 β 相交或平行，故B不正确；
若 n∥m，n⊥α，m⊥β，则由平面平行的判定定理知 α∥β，故C正确；
若 n∥α，m∥β，n∥m，则 α 与 β 相交或平行，故D不正确．
9. C
10. A
11. B【解析】对于A，m，n 是平面 α 内两条直线，且 m∥β，n∥β，没有 m 与 n 交于一点，不能判断 α∥β；
对于B，m，n 是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且 m∥β，n∥α，能判断 α∥β；
因为 m∥β，
所以在 β 内存在直线 m1∥m，
又 m⊂α，
所以 m1∥α；
又 m，n 是两条异面直线，
所以直线 m1 与 n 是两条相交直线；
又 n∥α，
所以 α∥β；
对于C，因为 α 内不共线的三点到 β 的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，
所以不能判断 α∥β；
对于D，因为 α，β 都垂直于平面 γ 时，两平面 α，β 的位置关系可能是平行或相交，
所以不能判断 α∥β．
故选：B．
12. B【解析】α，β 都垂直于平面 γ，则 α，β 有可能相交；存在一条直线 a 满足 a∥β 不能保证 α，β 平行；若三点分别落在平面 α 与 β 交线的异侧，则D项成立，但 α，β 相交．
13. C【解析】显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中（如图），取 AN 的中点 H，连接 HB，MH，GB，
则 MC∥HB，
又 HB⊥AN，
所以 MC⊥AN，
所以A正确；
由题意易得 GB∥MH，
又 GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，
所以 GB∥平面AMN，
所以B正确；
因为 AB∥CD，DM∥BN，且 AB∩BN=B，CD∩DM=D，
所以 平面DCM∥平面ABN，
所以D正确．
14. D【解析】因为 a 是平面 α 外的一条直线，所以 a∥α 或 a 与 α 相交，当 a∥α 时，β 只有一个；当 a 与 α 相交时，β 不存在．
15. A
【解析】因为 B1EB1F=B1D1B1A1，所以 EF∥A1D1，所以 EF∥B1C1，
又 EF⊄ 平面 BB1C1C，B1C1⊂ 平面 BB1C1C，所以 EF∥ 平面 BB1C1C，又 EH∥B1B，EH⊄ 平面 BB1C1C，B1B⊂ 平面 BB1C1C，所以 EH∥ 平面 BB1C1C，又 EF∩EH=E，所以平面 EFH∥ 平面 BB1C1C．
16. D【解析】利用面面平行判定定理时，两直线必须相交．
17. B
18. B【解析】若 a=0，b=1，满足 a若 a−ba2<0，因为 a≠0，所以 a−b<0，则 a故“a19. D【解析】如图所示，Aʹ，Bʹ 分别是 A，B 两点在 α，β 上运动后的两点，
此时 AB 中点变成 AʹB 中点 C，
连接 AʹB，取 AʹB 中点 E．
连接 CE，CʹE，AAʹ，BBʹ，CCʹ．
则 CE∥AAʹ，
所以 CE∥α．
CʹE∥BBʹ，
所以 CʹE∥β．
又因为 α∥β，
所以 CʹE∥α．
因为 CʹE∩CE=E．
所以平面 CCʹE∥平面α．
所以 CCʹ∥α．
所以不论 A，B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与 α，β 平行的平面上．
20. C
【解析】如图，分别取另三条棱的中点 A，B，C，将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL，
因为 PQ∥AL，PR∥AM，且 PQ 与 PR 相交，AL 与 AM 相交，
所以 平面 PQR∥平面 AMBNCL，即 平面 LMN∥平面 PQR．
第二部分
21. 两条相交直线
22. 相交或平行
【解析】
α，β 可以是平行的，当 a，b，α，β 位于如图所示的位置时，可知 α，β 相交．
23. 62
24. Q 为 CC1 的中点
【解析】如图，假设 Q 为 CC1 的中点，因为 P 为 DD1 的中点，所以 QB∥PA．连接 DB，
因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点，所以 D1B∥PO，又 D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以 D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又 D1B∩QB=B，
所以 平面D1BQ∥平面PAO．
故 Q 为 CC1 的中点时，有 平面D1BQ∥平面PAO．
25. Q 为 CC1 的中点
【解析】假设 Q 为 CC1 的中点．
因为 P 为 DD1 的中点，
所以 QB∥PA．
连接 DB，
因为 O 是底面 ABCD 的中心，
所以 D1B∥PO，
又 D1B⊄平面 PAO，QB⊄平面 PAO，且 PA∩PO 于 P，
所以 D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO，
又 D1B∩QB 于 B，
所以 平面 D1BQ∥平面 PAO．
故点 Q 满足条件，Q 为 CC1 的中点时，有 平面 D1BQ∥平面 PAO．
第三部分
26. 证明：因为 E，F，G 分别是棱 AʹBʹ，BBʹ，BʹCʹ 上的中点．所以 EF∥CDʹ，FG∥ADʹ，又 EF∩FG=F，CDʹ∩ADʹ=Dʹ，所以 平面EFG∥平面ACDʹ．
27. 因为 E 、 F 、 G 分别是棱 A1D1 、 DD1 、 D1C1 的中点，
所以 EG∥A1C1，EF∥A1D，
又 AC∥A1C1，B1C∥A1D，
所以 EG∥AC，EF∥B1C．
又 EG∩EF=E，AC∩B1C=C，
所以 平面EFG∥平面AB1C．
28. （1） 连接 B1D1，
则 GF 为 △A1B1D1 的中位线，所以 GF∥B1D1．
因为在正方体中，BD∥B1D1，
所以 GF∥BD．
因为 GF⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，
所以 GF∥平面BC1D．
同理可证：EF∥平面BC1D．
又 GF∩EF=F，
所以 平面EFG∥平面BC1D．
（2） 取 BD 的中点 H，则满足 EH⊥平面BC1D，且 BH=2．
方法一：
取 BD 的中点 H，连接 A1C1，EB，EH，ED，EC1，C1H，则 EB=ED=5．
因为在 △BED 中，EH⊥BD，
又由 EB=5，BH=2 得 EH=3，
由 BC1=22，BH=2 得 C1H=6，
由 A1E=1，A1C1=22 得 C1E=3．
因为 △C1EH 中，EH2+C1H2=3+6=C1E2，
所以 EH⊥C1H，又 BD∩C1H=H，
所以 EH⊥平面BC1D，且 BH=2．
方法二：
连接 AC 交 BD 于 H，连接 EH，A1C，则 BH=2．
因为 E，H 分别是 AA1，AC 的中点，
所以 EH∥A1C．
又在正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以 AA1⊥BD．
因为 BD⊥AC，AA1∩AC=A，
所以 BD⊥平面AA1C，所以 BD⊥A1C．
同理可证：BC1⊥A1C，而 BD∩BC1=B，
所以 A1C⊥平面BC1D，
所以 EH⊥平面BC1D，且 BH=2．
29. （1） 设 AC 交 BD 于点 O，连接 OQ．
因为 底面 ABCD 为菱形，
所以 O 为 AC 中点．
因为 Q 是 PA 的中点，
所以 OQ∥PC．
因为 OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，
所以 PC∥平面BDQ．
（2） 连接 OP．
因为底面 ABCD 为菱形，
所以 BD⊥AC，O 为 BD 中点．
因为 PB=PD，
所以 BD⊥PO．
所以 BD⊥平面PAC．
因为 BD⊂平面BDQ，
所以平面 PAC⊥平面BDQ．
30. （1） 如图所示，连接 NK．
因为 N 、 K 分别为 CD 、 C1D1 的中点，
所以 DN∥D1K，DN=D1K，
从而四边形 DD1KN 为平行四边形，
所以 KN∥DD1，KN=D1D，
又 AA1∥DD1，AA1=DD1，
所以 AA1∥KN，AA1=KN，
所以四边形 AA1KN 为平行四边形．
从而 AN∥A1K．
又 A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，
所以 AN∥平面A1MK．
（2） 如图所示，连接 BC1．
因为 AB∥C1D1，AB=C1D1，
又 M 、 K 分别为 AB 、 C1D1 中点，
所以 BM∥C1K，BM=C1K，
所以四边形 BC1KM 为平行四边形，
从而 MK∥BC1．
因为 A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，
所以 A1B1⊥BC1，
从而 A1B1⊥MK．
因为 BC1⊥B1C，
所以 MK⊥B1C．
又 A1B1∩B1C=B1，
所以 MK⊥平面A1B1C，
又因为 MK⊂平面A1MK，
所以 平面A1B1C⊥平面A1MK．