2022届高考数学二轮专题测练-幂函数及其性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-幂函数及其性质，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下图给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
A. ① y=x13，② y=x2，③ y=x12，④ y=x−1
B. ① y=x3，② y=x2，③ y=x12，④ y=x−1
C. ① y=x2，② y=x3，③ y=x12，④ y=x−1
D. ① y=x13，② y=x12，③ y=x2，④ y=x−1

2. 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数 y=x12 的图象是
A. ①B. ②C. ③D. ④

3. 已知 y=m2+2m−2xm12−1 是幂函数，则 m 的值为
A. −3B. 1C. −3 或 1D. 3

4. 已知幂函数 fx=m2−m−1x3−2m 在区间 0,+∞ 上单调递减，则实数 m 等于
A. 0B. 1C. 2D. 3

5. 如果 a>b>0，那么下列不等式一定成立的是
A. ∣a∣<∣b∣B. 1a>1bC. 12a>12bD. lna>lnb

6. 幂函数 y=x−1 及直线 y=x，y=1，x=1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数 y=x12 的图象经过的“卦限”是
A. ④⑦B. ④⑧C. ③⑧D. ①⑤

7. 已知点 m,8 在幂函数 fx=m−1xn 的图象上，设 a=f13，b=flnπ，c=f2−12，则 a，b，c 的大小关系是
A. a
8. 下列函数中是偶函数，且在 −∞,0 上单调递减的是
A. y=x−1B. y=x2C. y=x3D. y=x

9. 已知幂函数 y=xpq（p，q∈N*，q>1，且 p，q 互质）的图象如图所示，则
A. p，q 均为奇数，且 pq>1B. p 为奇数，q 为偶数，且 pq>1
C. p 为偶数，q 为奇数，且 pq>1D. p 为偶数，q 为奇数，且 0
10. 如果幂函数 y=m2−3m+3xm2−m−2 的图象不过原点，则 m 的取值范围为
A. −1≤m≤2B. m=−1 或 m=2
C. m=1D. m=1 或 m=2

11. a=1.212，b=0.9−12，c=1.112 的大小关系是
A. c
12. 已知幂函数 fx=xm2−2m−3m∈Z 的图象关于原点对称，且在 0,+∞ 上单调递减，则 m=
A. 0B. 0 或 2C. 1D. 2

13. 函数 y=x13 的图象是
A. B.
C. D.

14. 函数 y=x−50+x−2−12 的定义域是
A. xx≠2,且x≠5B. xx>2
C. xx>5D. x25

15. 幂函数 fx 的图象经过点 4,12，则 f14 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

16. 幂函数 y=x−2 的大致图象是
A. B.
C. D.

17. 已知集合 M=x,yy=fx，若对于 ∀x1,y1∈M，∃x2,y2∈M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：
M1=x,yy=x2+1;M2=x,yy=lnx;M3=x,yy=ex−e;M4=x,yy=sinx+1.
其中是“互垂点集”的集合为
A. M1,M2B. M2,M3C. M1,M4D. M3,M4

18. 下列函数是偶函数，且在 −∞,0 上单调递增的是
A. y=x12B. y=x2
C. y=x3D. y=−x,x≥0,x,x<0

19. 设 k∈−2,−1,−23,0,13,23,1,2．若 x∈−1,0∪0,1，均有 xk>∣x∣ 成立，则 k 取值的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

20. 已知幂函数 y=xm2−2m−3m∈Z 的图象与 x 轴和 y 轴没有交点，且关于 y 轴对称，则 m 等于
A. 1B. 0，2C. −1，1，3D. 0，1，2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若幂函数 y=fx 的图象关于 y 轴对称，且在区间 0,+∞ 上是严格减函数，写出一个满足上述条件的函数表达式： ．

22. 若函数 fx 是幂函数，且满足 f4f2=3，则 f12 的值为 ．

23. 给出下列命题：
①幂函数图象不过第四象限；
② y=x0 的图象是一条直线；
③若函数 y=1x 的定义域是 x∣x>2，则它的值域是 yy<12；
④若函数 y=x2 的值域是 y∣0≤y≤4，则它的定义域一定是 x∣−2≤x≤2．
其中是假命题的有 ．（填序号）

24. 已知幂函数 fx=m2−2m+2xm2−2m+3，则 f−3= ．

25. 已知函数 fx=x∣x−a∣+3x．若存在 a∈−3,4，使得关于 x 的方程 fx=tfa 有三个不相等的实数根，则实数 t 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 请把相应的幂函数图象代号填入表格．
① y=x23；② y=x−2；③ y=x12；④ y=x−1；
⑤ y=x13；⑥ y=x43；⑦ y=x−12；⑧ y=x53．
函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧图象代号

27. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）−1.53，−1.43；
（2）1−1.5；1−1.4．

28. 已知幂函数 fx=k2−k−1xkk∈R，且在区间 0,+∞ 内函数图象是上升的．
（1）求实数 k 的值；
（2）若存在实数 a，b 使得函数 fx 在区间 a,b 上的值域为 a,b，求实数 a，b 的值．

29. 已知幂函数 fx=k2+k−1x2−k1+k 在 0,+∞ 上单调递增．
（1）求实数 k 的值，并写出相应的函数 fx 的解析式；
（2）对于（1）中的函数 fx，试判断是否存在正数 m，使函数 gx=1−mfx+2m−1x，在区间 0,1 上的最大值为 5，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．

30. 将下列一组数从小到大排列起来，并说明理由．23−12，3512，323，2512，3223，560，−23，53−13．
答案
第一部分
1. B【解析】②的图象关于 y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D．
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于 1，故排除A．
故选：B．
2. D
3. A【解析】由题意得 m2+2m−2=1,m12−1≠0, 解得 m=−3．
4. C
5. D
6. D【解析】幂函数 y=x12 的图象形状是上凸形，在 0,1 内图象在 y=x 上方，而在 1,+∞ 内图象在 y=x 下方，故可知 y=x12 过①⑤“卦限”．
7. A【解析】由于 fx=m−1xn 为幂函数，
所以 m−1=1，则 m=2，fx=xn．
又点 2,8 在函数 fx=xn 的图象上，
所以 8=2n，知 n=3，故 fx=x3，且在 R 上是增函数，
又 lnπ>1>2−12=22>13，
所以 flnπ>f2−12>f13，则 b>c>a．
8. B【解析】由五个具体幂函数的性质可知，A，C中的函数为奇函数，D中的函数为非奇非偶函数，B中的函数是偶函数，且在 −∞,0 上单调递减，故选B．
9. D【解析】因为图象关于 y 轴对称，
所以函数为偶函数，
所以 p 为偶数，q 为奇函数．
由图象在第一象限内缓慢递增，知 0故选D．
10. D
【解析】依据幂函数为 y=xα 形式，知 m2−3m+3=1．又其图象不过原点，则指数 m2−m−2≤0．由 m2−3m+3=1,m2−m−2≤0,
得 m−1m−2=0,m+1m−2≤0, 解得 m=1或m=2,−1≤m≤2.
故 m=1 或 m=2．
11. D【解析】因为 y=x12 是增函数，
所以 1.212>10.912>1.112，
即 a>b>c．
12. B【解析】幂函数 fx=xm2−2m−3m∈Z 在 0,+∞ 上单调递减，
所以 m2−2m−3<0，
解得 −1又 m∈Z，
所以 m=0,1,2．
当 m=1 时，y=x−4 不是奇函数，
所以 m=0或2．
故选B．
13. B【解析】由于幂函数图象恒过点 1,1，排除A，D．
当 0x；
当 x>1 时，x1314. D【解析】x−5≠0,x−2>0, 解得 x>2，且 x≠5．
15. B
【解析】设幂函数 y=xα 的图象过点 4,12，则 12=4α，
因而 α=−12，那么 fx=x−12，f14=14−12=2．
16. C【解析】y=x−2 为偶函数，在 0,+∞ 上单调递减．故选C．
17. D【解析】
由题意得，设函数 fx 图象上两点的坐标分别为 Ax1,y1，Bx2,y2，
又 x1x2+y1y2=0，可得 OA⊥OB．
①中，取点 0,1，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，故① M1=x,yy=x2+1 不是“互垂点集”；
②中，取点 1,0，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，故② M2=x,yy=lnx 不是“互垂点集”；
③中，如图的直角始终存在，故③ M3=x,yy=ex−e 是“互垂点集”；
④中，作为 y=sinx+1 的图象，如图，对 ∀x1,y1∈M 使得 x1x2+y1y2=0，如点 A0,1，B3π2,0，∠AOB=90∘，任意旋转 ∠AOB 的两边 OA，OB 总能和 y=sinx+1 的图象有交点，故④ M4=x,yy=sinx+1 是“互垂点集”．
18. D【解析】A，C不是偶函数，B在 −∞,0 上单调递减．
19. A
20. C
【解析】因为幂函数 y=xm2−2m−3m∈Z 的图象与 x 轴、 y 轴没有交点，且关于 y 轴对称，
所以 m2−2m−3≤0，且 m2−2m−3m∈Z 为偶数，
由 m2−2m−3≤0，得 −1≤m≤3，
又 m∈Z，所以 m=−1,0,1,2,3．
当 m=−1 时，m2−2m−3=1+2−3=0，为偶数，符合题意；
当 m=0 时，m2−2m−3=−3，为奇数，不符合题意；
当 m=1 时，m2−2m−3=1−2−3=−4，为偶数，符合题意；
当 m=2 时，m2−2m−3=4−4−3=−3，为奇数，不符合题意；
当 m=3 时，m2−2m−3=9−6−3=0，为偶数，符合题意．
综上所述，m=−1,1,3．
第二部分
21. y=x−2（答案不唯一）
22. 13
【解析】依题意，设 fx=xα，则有 4α2α=2α=3，f12=12α=12α=13．
23. ②③④
【解析】由幂函数图象易知①正确；
y=x0 的图象是直线 y=1 上去掉点 0,1，②错误；
函数 y=1x 的定义域是 x∣x>2，则它的值城是 y0若函数 y=x2 的值域是 y∣0≤y≤4，则它的定义域也可能是 x∣0≤x≤2，④错误．
所以假命题的序号是②③④．
24. 9
【解析】由已知函数 fx 为幂函数，故 m2−2m+2=1，所以 m2−2m+1=0，所以 m=1．故 fx=x2，所以 f−3=9．
25. 1,4948
【解析】由题意得 fx=x2+3−ax,x≥a−x2+3+ax,x（1）当 −3≤a≤3 时，−3−a2≤a≤a+32，且 −3−a2≤0≤a+32，
可知 fx 在 −∞,+∞ 上是增函数，此时关于 x 的方程 fx=3at 不可能有三个不相等的实数解；
（2）当 3可知 fx 在区间 −∞,a+32，a,+∞ 上分别是增函数，而在区间 a+32,a 上是减函数（如图所示）．
当且仅当 3a<3at即 1令 ga=a+9a，则 ga 在 a∈3,4 时是增函数，则得 gamax=g4=254．
所以，所求实数 t 的取值范围是 1,4948．
第三部分
26. 依次是 E，C，A，G，B，D，H，F．
27. （1） −1.53<−1.43．
（2） 1−1.5>1−1.4
28. （1） fx=k2−k−1xkk∈R 为幂函数，
所以 k2−k−1=1，解得 k=−1 或 k=2；
又 fx 在区间 0,+∞ 内的函数图象是上升的，
所以实数 k=2．
（2） 因为存在实数 a，b 使得函数 fx 在区间 a,b 上的值域为 a,b，且 fx=x2，
所以 fa=a,fb=b, 即 a2=a,b2=b,
又 a所以 a=0，b=1．
29. （1） 因为幂函数 fx=k2+k−1x2−k1+k 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 2−k1+k>0⇒−1所以 k=−2（舍去）或 k=1，所以 k=1，fx=x2．
（2） 因为 gx=1−mfx+2m−1x=−mx2+2m−1x+1，因为 m>0，
所以 gx 开口方向向下，对称轴 x=2m−12m=1−12m<1．
①当 2m−12m≤0，m>0 时，得 0则 gx 在 0,1 上单调递减，故当 x=0 时取得最大值，而 g0=1≠5，应舍去；
②当 0<2m−12m<1，m>0 时，得 m>12，则 gx 在 x=2m−12m 处取得最大值．
g1−12m=5，解得 m=5±262，且 m>12．
所以 m=52+6．
30. 因为 560=1，
所以可先将其余的数分成三类；
① 负数：−23；
② 大于 0 小于 1 的数：3512，2512，53−13=3513；
③ 大于 1 的数：23−12=3212，323，3223．
然后在各类中比较大小：在 ② 中，3512÷2512=35×5212>1，
所以 3512>2512（或用幂函数的单调性进行比较）；
因为 0<35<1，13<12，
所以 3513>3512．
故在 ② 中，有 2512<3512<3513．
在 ③ 中，23−12=3212<3223<323．
由此可得：
−23<2512<3512<3513=53−13<560<23−12<3223<332．