2022届高考数学二轮专题测练-Asin(ωx+ψ)形式函数的性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-Asin(ωx+ψ)形式函数的性质，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=cs12x+π3，x∈R 的最小正周期是
A. π2B. πC. 2πD. 4π

2. 下列函数中，周期为 π2 的是
A. y=sinxB. y=sin2xC. y=csπ2D. y=cs4x

3. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,∣φ∣<π2 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
①函数 y=fx 的图象关于点 −π6,0 对称；
②函数 y=fx 的图象关于直线 x=−5π12 对称；
③函数 y=fx 在 −2π3,−π6 单调递减；
④该图象向右平移 π3 个单位可得 y=2sin2x 的图象．
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④

4. 如图是函数 fx=2sinωx+φω>0,∣φ∣<π2 的部分图象，则 ω 和 φ 的值分别为
A. 2，π6B. 2，−π3C. 1，π6D. 1，−π3

5. 使函数 fx=sin2x+φ 为偶函数的最小正数 φ=
A. πB. π2C. π4D. π8

6. 若函数 fx=sin2x−12x∈R，则 fx 是
A. 最小正周期为 π2 的奇函数B. 最小正周期为 π 的奇函数
C. 最小正周期为 2π 的偶函数D. 最小正周期为 π 的偶函数

7. 如果函数 y=sin2x+acs2x 的图象关于直线 x=−π8 对称，那么 a 的值为
A. 2B. −2C. 1D. −1

8. 已知函数 fx=Asinωx+φ+B 的一部分图象如图所示，若 A>0，ω>0，∣φ∣<π2，则
A. B=4B. φ=π6C. ω=1D. A=4

9. 函数 fx=sinωxω>0 在区间 0,π3 上单调递增，在区间 π3,π2 上单调递减，则 ω 的最小值为
A. 32B. 23C. 2D. 3

10. 函数 fx=2sinωx+φω>0,π2≤φ≤π 的部分图象如图所示，其中 A，B 两点之间的距离为 5，则 f1=
A. 3B. −3C. 1D. −1

11. 已知函数 fx=2sinωx+φω>0,∣φ∣<π2 的图象过点 B0,3，且在 π12,5π12 上单调，把 fx 的图象向右平移 π 个单位长度之后与原来的图象重合，当 x1,x2∈2π3,4π3 且 x1≠x2 时，fx1=fx2，则 fx1+x2 等于
A. −3B. 3C. −1D. 1

12. 同时具有性质：①最小正周期为 π；②图象关于直线 x=π3 对称；③在 π3,5π6 上单调递减的一个函数是
A. y=32sinx2+12csx2B. y=12sinx2+32csx2
C. y=32sin2x+12cs2xD. y=32sin2x−12cs2x

13. 已知函数 fx=tanπ2x+π3，则对该函数性质的描述中不正确的是
A. fx 的定义域为 xx≠2k+13,k∈Z
B. fx 的最小正周期为 2
C. fx 的单调递增区间为 −53+k,13+kk∈Z
D. fx 的图象没有对称轴

14. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,∣φ∣<π 是奇函数，将 y=fx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 gx．若 gx 的最小正周期为 2π，且 gπ4=2，则 f3π8=
A. −2B. −2C. 2D. 2

15. 函数 y=Asinωx+φ 的部分图象如图所示，则
A. y=2sin2x−π6B. y=2sin2x−π3
C. y=2sinx+π6D. y=2sinx+π3

16. 函数 y=sinωx+φω>0 的图象关于点 π3,0 对称，且在 x=π6 处取得最小值．则 ω 的可能取值为
A. 2B. 5C. 7D. 9

17. 函数 fx=sin2x+φφ<π 的图象过点 π6,0（如图所示），若将 fx 的图象上所有点向右平移 π6 个单位长度，得到函数 gx 的图象，则 gx 图象的一条对称轴的方程为
A. x=5π12B. x=2π3C. x=π4D. x=π12

18. 若 fx=sinx+π2，gx=csx−3π2，则下列说法正确的是
A. fx 与 gx 的图象重合
B. fx 的图象向左平移 π2 个单位得到 gx 的图象
C. fx 和 gx 的图象关于 y 轴对称
D. gx 的图象向左平移 π2 个单位得到 fx 的图象

19. 已知定义在 R 上的函数 fx=sinωx+φω>0,∣φ∣≤π2 在 1,2 上有且仅有 3 个零点，其图象关于点 14,0 和直线 x=−14 对称，给出下列结论：
① f12=22；
②函数 fx 在 0,1 上有且仅有 3 个极值点；
③函数 fx 在 −32,−54 上单调递增；
④函数 fx 的最小正周期是 2．
其中所有正确结论的编号是
A. ②③B. ①④C. ②③④D. ①②

20. 已知定义在 0,π4 上的函数 fx=sinωx−π6ω>0 的最大值为 ω3，则正实数 ω 的取值个数最多为
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=tanπx+π3 的最小正周期是 ．

22. 若函数 fx=sinx+φ+csx 的最大值为 2，则常数 φ 的一个取值为 ．

23. 已知函数 fx=sinωx+π6ω>0，若函数 fx 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为 π3，则 ω 的值为 ．

24. 若函数 fx=2sin2x+π6+a−1a∈R 在区间 0,π2 上有两个不同的零点 x1，x2，则 x1+x2−a 的取值范围是 ．

25. 已知函数 fx=asinx−32a∈R，若函数 fx 在 0,π 的零点个数为 2 个，则当 x∈0,π2，fx 的最大值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 写出两个以 π2 为周期的函数．

27. 定义函数 fx=3sin2x−π3．
（1）求函数 y=fx 的最小正周期；
（2）将函数 y=fx 的图象向左平移 φ（φ>0）个单位得到 y=gx 的图象关于 y 轴对称，求 φ 的最小值．

28. 已知函数 fx=2+2tanxcs2x．
（1）求函数 fx 的定义域及最小正周期；
（2）求函数 fx 的单调增区间．

29. 已知函数 fx=sin2ωx+3sinωxsinωx+π2ω>0 的最小正周期为 π．
（1）求 ω 的值；
（2）求函数 fx 在区间 0,2π3 上的取值范围．

30. 如图，边长为 2 的等边三角形 ABC 中，O 是 BC 的中点，D，E 分别是边 AB，AC 上的动点（不含端点），记 ∠BOD=θ．
（1）在图①中，∠DOE=120∘，试将 AD，AE 分别用含 θ 的关系式表示出来，并证明 AD+AE 为定值；
（2）在图②中，∠DOE=60∘，问此时 AD+AE 是否为定值?若是，请给出证明；否则，求出 AD+AE 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】T=2π4=π2．
3. A【解析】由图知 A=2，T4=π3−π12=π4，
所以 T=π，
所以 2πω=π，
所以 ω=2，
因为 x=π12 的点为图象的最高点，
所以 2⋅π12+φ=π2+2kπk∈Z，
φ=π3+2kπk∈Z，
因为 ∣φ∣<π2，
所以 φ=π3，
所以 fx=2sin2x+π3．
① f−π6=2sin−π6×2+π3=0，
所以①对；
②
f−512π=2sin−512π×2+π3=2sin−56π+π3=−2,
所以 x=−512π 是对称轴，②对；
③因为 x∈−23π,−π6，
所以 2x∈−43π,−π3，
所以 2x+π3∈−π,0，
所以 fx 在 −2π3,−π6 先减后增，③错；
④ fx=2sin2x+π3 右移 π3，
得到 y=2sin2x−π3+π3，
即 y=2sin2x−π3，不是 2sin2x，④错．
所以①②对．
4. A【解析】由图知 T2=23π−π6，T2=π2，
所以 2πω=π，
所以 ω=2，
因为 x=π6 对应着最高点，
所以 π6ω+φ=π2+2kπ，
因为 π3+φ=π2+2kπ，
所以 φ=π6+2kπ，
因为 ∣φ∣<π2，
所以 φ=π6．
5. B
【解析】因为函数 fx=sin2x+φ 为偶函数，
所以 φ=kπ+π2，k∈Z，
所以使函数 fx=sin2x+φ 为偶函数的最小正数 φ=π2．
6. D【解析】fx=sin2x−12=1−cs2x2−12=−12cs2x，
最小正周期 T=2π2=π，
又因为 f−x=−12cs−2x=−12cs2x=fx，
所以 fx 为偶函数．
7. D
8. B【解析】由函数图象可知 fxmin=0，fxmax=4．
所以 A=4−02=2，B=4+02=2．
由周期 T=2πω=45π12−π6 知 ω=2．
由 fπ6=4 得 2sin2×π6+φ+2=4，
sinπ3+φ=1，又 ∣φ∣<π2，故 φ=π6．
9. A【解析】由题意，知当 x=π3 时，函数 fx 取得最大值，则 sinωπ3=1，所以 ωπ3=2kπ+π2k∈Z，所以 ω=6k+32,k∈Z．又 ω>0，所以 ωmin=32，故选A．
10. D
【解析】设 Ax1,2，Bx2,−2．
因为 ∣AB∣=x2−x12+16=5，
所以 x2−x1=3，
所以 T2=3，
所以 T=6，
所以 ω2=2π6=π3．
又因为 f0=2sinφ=1，
所以 sinφ=12．
又因为 π2≤φ≤π，
所以 φ=5π6，
即 fx=2sinπ3x+5π6，
所以 f1=2sinπ3+5π6=2sin7π6=−1．
11. B【解析】因为函数 fx=2sinωx+φω>0,∣φ∣<π2 的图象过点 B0,3，
所以 2sinφ=3，
又 ∣φ∣<π2，
所以 φ=π3，
因为 fx 在 π12,5π12 上单调，
所以 12⋅2πω≥5π12−π12，
所以 0<ω≤3．
把 fx 的图象向右平移 π 个单位长度之后与原来的图象重合，
所以 2sinωx−π+π3=2sinωx+π3，
所以 ω=2k，k∈Z，
所以 ω=2，fx=2sin2x+π3．
当 x∈2π3,4π3 时，2x+π3∈5π3,3π，
若 fx1=fx2，
则 2x1+π3+2x2+π3=2⋅5π2=5π，
所以 x1+x2=13π6，
所以 fx1+x2=2sin13π3+π3=2sin2π3=3．
12. D【解析】A选项中，y=32sinx2+12csx2=sinx2+π6，其最小正周期为 T=2π12=4π，不符合题意；
B选项中，y=12sinx2+32csx2=sinx2+π3，其最小正周期为 T=2π12=4π，不符合题意：
C选项中，y=32sin2x+12cs2x=sin2x+π6，其最小正周期为 T=2π2=π，当 x=π3 时，sin2×π3+π6=sin5π6=12，不符合题意；
D选项中 y=32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，其最小正周期为 T=2π2=π，当 x=π3 时，sin2×π3−π6=sinπ2=1，所以 y=32sin2x−12cs2x 的图象关于直线 x=π3 对称；当 x∈π3,5π6 时，2x−π6∈π2,3π2，所以函数 y=sin2x−π6 在 π3,5π6 上单调递减，故选D．
13. C【解析】由 π2x+π3≠kπ+π2k∈Z 得 x≠2k+13,k∈Z，A 正确；
T=ππ2=2，B 正确；
由 kx−π2<π2x+π3由正切函数的图象知 fx 的图象无对称轴，D正确．故选C．
14. C【解析】由 fx 为奇函数，可知 f0=Asinφ=0，
因为 ∣φ∣<π，
所以 φ=0，
所以 gx=Asin12ωx．
由 gx 的最小正周期为 2π，可得 2π12ω=2π，
故 ω=2，
则 gx=Asinx．
又因为 gπ4=Asinπ4=2，
所以 A=2，
所以 fx=2sin2x，
故 f3π8=2sin3π4=2．
15. A
【解析】由图易知 A=2，因为周期 T 满足 T2=π3−−π6，所以 T=π，ω=2πT=2．
由 x=π3 时，y=2 可知 2×π3+φ=π2+2kπk∈Z，
所以 φ=−π6+2kπk∈Z．
结合各选项可知函数的解析式为 y=2sin2x−π6．
16. D【解析】由题意得 sinπ3ω+φ=0，且 sinπ6ω+φ=−1，
所以 π3ω+φ=kπk∈Z，π6ω+φ=2kʹπ−π2kʹ∈Z．
两式相减，得 π6ω=k−2kʹπ+π2k,kʹ∈Z，
即 ω=6k−2kʹ+3k,kʹ∈Z．
当 k−2kʹ=1 时，ω=9．
故选D．
17. D
18. B
19. A【解析】曲线关于点 −14,0 对称，所以：14ω+φ=k1π，k1∈Z, ⋯⋯①
又因为其图象关于直线 x=14 对称，所以：−14ω+φ=k2π+π2，k2∈Z, ⋯⋯②
由 ①② 可得：ω=2k1−k2−1=π，即 ω=2n−1π，n∈Z, ⋯⋯③
因为数 fx=sinωx+φω>0,∣φ∣≤π2 在 1,2 上有且仅有 3 个零点，
所以 2πω≤2−1<4πωω>0，即 2π≤ω<4π, ⋯⋯④
由 ③④ 可得 ω=3π；
因为 f14=0，
所以 3π4+φ=kπ，
又 ∣φ∣≤π2，
所以 φ=π4，
所以 fx=sin3πx+π4，
所以易知 f12=−22，所以①错误；
令 3πx0+π4=π2+kπ，则 x0=k3+112k∈Z，
令 0≤k3+112≤1，则可取 k=0,1,2，
所以 x0=112,512,34，所以②正确；
令 −π2+2kπ≤3πx+π4≤π2+2kπ⇒−14+23k≤x≤112+23k，k∈Z，
当 k=−2 时，−1912,−54 为 fx 的一个递增区间，
而 −32,−54⫋−1912,−54，
所以 fx 在 −32,−54 上单调递增，③正确；
因为 fx=sin3πx+π4，
所以 T=2π3π=23，④错误．
综上所述，其中正确的结论为②③．
20. C
【解析】当 ωπ4−π6>π2 时，即 ω>83 时，fxmax=1=ω3，解得 ω=3；
当 ωπ4−π6≤π2 时，即 0<ω≤83 时，fxmax=sinωπ4−π6=ω3，
令 gω=sinωπ4−π6，hω=ω3，
如图，易知 y=gω，y=hω 的图象有两个交点 Aω1,y1，Bω2,y2，
所以方程 sinωπ4−π6=ω3 有两个实根 ω1，ω2，
又 g83=1>89=h83，所以易知有 ω1<83<ω2，
所以此时存在一个实数 ω=ω1 满足题设，
综上所述，存在两个正实数 ω 满足题设，故应选C．
第二部分
21. 1
【解析】函数 y=tanπx+π3 的最小正周期是 T=ππ=1．
22. π2（2kπ+π2，k∈Z 均可）
【解析】因为 fx=csφsinx+sinφ+1csx=cs2φ+sinφ+12sinx+θ，
所以 cs2φ+sinφ+12=2，解得 sinφ=1，故可取 φ=π2．
23. 32
24. π3,π3+1
【解析】若函数 fx=2sin2x+π6+a−1a∈R 在区间 0,π2 上有两个不同的零点 x1，x2，
即 2sin2x+π6=1−a 在区间 0,π2 上有两个不同的零点 x1，x2，
也就是 y=2sin2x+π6 与 y=1−a 区间 0,π2 上有两个不同的交点，横坐标分别为 x1，x2，
数形结合可知，x1+x22=π6，1−a∈1,2，
所以 x1+x2=π3,−a∈0,1，所以 x1+x2−a∈π3,π3+1．
25. a−32
【解析】因为函数 fx=asinx−32a∈R，且 x∈0,π 时，sinx∈0,1；
所以当 a>0 时，asinx∈0,a，y=fx 在区间 0,π2 上单调递增，函数 fx 在 0,π2 上有且只有一个零点；
y=fx 在区间 π2,π 上单调递减，函数 fx 在 π2,π 上有且只有一个零点；
所以 a−32>0，解得 a>32；
所以 fx 在 x∈0,π2 上的最大值是 fπ2=a−32；
a≤0 时，fx=asinx−32<0 在 x∈0,π 上恒成立，函数 fx 无零点，不合题意；
综上，fx 在 x∈0,π2 上的最大值是 a−32．
第三部分
26. y=cs22x，y=2cs4x−π3 等等．
27. （1） 因为 fx=3sin2x−π3，
所以它的最小正周期为 2π2=π，
所以函数 y=fx 的最小正周期为 π2．
（2） 将函数 y=fx 的图象向左平移 φ（φ>0）个单位得到 y=gx=fx+φ=3sin2x+2φ−π3 的图象，且 fx+φ 的关于 y 轴对称，故当 φ 取最小值时，2φ−π3=π2，解得 φ=5π12．
28. （1） 因为 fx=2cs2x+2⋅sinxcsx⋅cs2x，
所以 fx=2⋅1+cs2x2+2sinxcsx，
所以 fx=1+cs2x+sin2x=2sin2x+π4+1，
所以 fx 的最小正周期为 T=2π2=π．
要使 tanx 有意义，则 x≠kπ+π2，k∈Z，
所以 fx 的定义域为 x x≠kπ+π2,k∈Z．
（2） 令 2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
得 2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，k∈Z，
所以 kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z．
所以 fx 单调递增区间是 kπ−3π8,kπ+π8k∈Z
29. （1） fx=1−cs2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx−12cs2ωx+12=sin2ωx−π6+12.
因为函数 fx 的最小正周期为 π，且 ω>0，
所以 2π2ω=π，解得 ω=1．
（2） 由（1）得 fx=sin2x−π6+12．
因为 0≤x≤2π3，所以 −π6≤2x−π6≤7π6，所以 −12≤sin2x−π6≤1．
所以 0≤sin2x−π6+12≤32，即 fx 的取值范围为 0,32．
30. （1） 由 ∠DOE=120∘，∠BOD=θ，
则 ∠BDO=120∘−θ，∠COE=60∘−θ，∠CEO=60∘+θ，
在 △BOD 和 △COE 中，分别应用正弦定理可得，
BDsinθ=BOsin120∘−θ，CEsin60∘−θ=COsin60∘+θ
故 BD=sinθsin120∘−θ，CE=sin60∘−θsin60∘+θ，
所以 AD=2−sinθsin120∘−θ，AE=2−sin60∘−θsin60∘+θ，θ∈0,60∘．
从而
AD+AE=4−sinθsin120∘−θ−sin60∘−θsin60∘+θ=4−sinθsin60∘+θ−sin60∘−θsin60∘+θ=4−sinθ+sin60∘−θsin60∘+θ=4−sinθ+32csθ−12sinθ32csθ+12sinθ=3.
从而 AD+AE=3 为定值．
（2） 当 ∠DOE=60∘，∠BOD=θ，
则 ∠BDO=120∘−θ，∠COE=120∘−θ，∠CEO=θ．
在 △BOD 和 △COE 中，分别应用正弦定理可得，
BDsinθ=BOsin120∘−θ，CEsin120∘−θ=COsinθ，
故 BD=sinθsin120∘−θ，CE=sin120∘−θsinθ，
所以 AD=2−sinθsin120∘−θ，AE=2−sin120∘−θsinθ，θ∈30∘,90∘，
AD+AE=4−sinθsin120∘−θ−sin120∘−θsinθ，θ∈30∘,90∘．
令 y=sinθsin120∘−θ+sin120∘−θsinθ，θ∈30∘,90∘，
y=sinθsin120∘−θ+sin120∘−θsinθ，
设 u=sin120∘−θsinθ，则 y=u+1u，
u=sin120∘−θsinθ=32csθ+12sinθsinθ=32⋅1tanθ+12，
由 θ∈30∘,90∘，tanθ∈33,+∞，1tanθ∈0,3，
u=32⋅1tanθ+12∈12,2，
又 y=u+1u 在 12,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，
而当 u=12 或 2 时，y=52，当 u=1 时，y=2，所以 y∈2,52，
因此 AD+AE=4−y∈32,2．