2022届高考数学二轮专题测练-基本量与方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-基本量与方程，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是
A. 4B. 6C. 8D. 12

2. 已知双曲线 x2a2−y23=1(a>0) 的离心率为 2 ，则 a=
A. 2B. 62C. 52D. 1

3. 若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线经过点 3,1，则该双曲线的离心率为
A. 5B. 2C. 3D. 2

4. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知 ∣AB∣=42，∣DE∣=25，则 C 的焦点到准线的距离为
A. 2B. 4C. 6D. 8

5. 已知 M 是抛物线 C:y2=2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x=−1 相切且经过点 N1,0，设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的中点的纵坐标为
A. 2B. 4C. 6D. 8

6. 顶点为原点，焦点为 F0,−1 的抛物线方程为
A. y2=−2xB. y2=−4xC. x2=−2yD. x2=−4y

7. 已知 F1，F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1a,b>0 的左、右焦点，l1，l2 为双曲线的两条渐近线．设过点 Mb,0 且平行于 l1 的直线交 l2 于点 P．若 PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为
A. 3B. 5C. 14−2412D. 14+2412

8. 有命题 p:x=−1，命题 q:x=1，则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件

9. 以椭圆上的一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则该椭圆的长轴长的最小值是
A. 22B. 2C. 2D. 22

10. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l2:x+2y+5=0，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为
A. x220−y25=1B. x25−y220=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

11. 点 M1,1 到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 2，则 a 的值为
A. 14B. −112C. 14 或 −112D. −14 或 112

12. 已知双曲线的渐近线方程为 y=±3x，焦点坐标为 −4,0，4,0，则双曲线方程为
A. x28−y224=1B. x212−y24=1C. x224−y28=1D. x24−y212=1

13. 设 F1，F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P 满足 PF2=F1F2，且 ∠PF2F1=90∘，则双曲线的离心率为
A. 2−1B. 2C. 2+1D. 22+1

14. 椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 −2,−1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是
A. 12,34B. 38,34C. 12,1D. 34,1

15. 平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 上的一点向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度后，仍在该直线上，则直线 l 的斜率为
A. −2B. −12C. 12D. 2

16. 已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120∘，则 E 的离心率为
A. 5B. 2C. 3D. 2

17. 椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得 △F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A. 13,23B. 12,1
C. 23,1D. 13,12∪12,1

18. 正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE=12，BF=14．动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为
A. 3B. 4C. 6D. 8

19. 抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A. −12,12B. −2,2C. −1,1D. −4,4

20. 已知平面直角坐标系内曲线 C1：Fx,y=0，曲线 C2：Fx,y−Fx0,y0=0，若点 Px0,y0 不在曲线 C1 上，则下列说法正确的是
A. 曲线 C1 与 C2 无公共点
B. 曲线 C1 与 C2 至少有一个公共点
C. 曲线 C1 与 C2 至多有一个公共点
D. 曲线 C1 与 C2 的公共点的个数无法确定

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 抛物线 y2=x 的准线方程为 ．

22. 已知抛物线的焦点坐标是 0,−3，则抛物线的标准方程是 ．

23. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

24. 已知双曲线过点 4,3，且渐近线方程为 y=±12x，则该双曲线的标准方程为 ．

25. 若直线 y=kx+1k>0 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是 M，N，若 BN=2AM，则 k 的值是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知点 1,e，e,32 在椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 上，其中 e 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为 D．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 DA，DB 分别与直线 x=−ae 交于 N，M 两点，求证：NF⋅MF=0．

27. 抛物线的顶点在原点，焦点在直线 x−2y−4=0 上，求抛物线的标准方程．

28. 已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，过点 P62,1．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）是否存在被点 B1,1 平分的弦?如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

29. 已知 A2,0，B0,1 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上的两点，Px,y 为椭圆 C 上的动点，O 为坐标原点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）将 ∣OP∣ 表示为 x 的函数，并求 ∣OP∣ 的取值范围．

30. 解答下列问题．
（1）已知函数 fx+1=3x+2，求 fx；
（2）已知 fx−1x=x2+1x2，求 fx；
（3）已知函数 fx 对于任意的 x 都有 fx−2f−x=1+2x，求 fx．
答案
第一部分
1. B【解析】抛物线的方程得 p2=42=2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为 4+2=6．
2. D
3. B【解析】若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点 3,1，可得 b=3a，即 b2=3a2，可得 c2−a2=3a2，
所以 c2=4a2，c=2a，
所以双曲线的离心率为 e=ca=2．
4. B【解析】不妨设 C：y2=2pxp>0，Ax1,22，则 x1=2222p=4p，由题意可知 ∣OA∣=∣OD∣，得 4p2+8=2p2+5，解得 p=4（舍负）．
5. A
【解析】设 Mx0,y0，
因为以 M 为圆心的圆与直线 x=−1 相切且经过点 N1,0，
所以 x0+1=x0−12+y02，
又 y02=2px0．
所以 p=2．
即可得抛物线方程为 y2=4x．
由 y=x+b,y2=4x⇒y2−4y−4b=0．
y1+y2=4，
所以线段 PQ 的中点的纵坐标为 y1+y22=2．
6. D
7. B【解析】直线 PM 的方程为 y=−bax+b2a ，联立直线 l2 与直线 PM 得 Pb2,b22a ，又因为 PF1⊥PF2 ，所以 PF1⋅PF2=0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 5．
8. A
9. B
10. A
【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线为 y=±bax，
而渐近线与 x+2y+5=0 平行．
故 ba=12，
所以 a=2b, ⋯⋯①
又因为双曲线的一个焦点为 −c,0，则 −c+5=0，
所以 c=5，
又 c2=a2+b2，即 a2+b2=25, ⋯⋯②
由①②可求得 a2=20，b2=5，
所以双曲线方程为 x220−y25=1．
11. C【解析】抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=−14a，
因为点 M1,1 到抛物线 y=ax2 准线的距离为 2，
所以 1+14a=2，
解得 a=14 或 a=−112．
12. D
13. C【解析】因为 PF2=F1F2=2c，且 ∠PF2F1=90∘，
所以 PF1=22c，
由双曲线的定义，得 22c−2c=2a，
所以 ca=2+1．
14. B
15. A
【解析】设点 Px0,y0 是直线 l 上的一点，将点 P 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度后得到 Pʹx0+2,y0−4，由已知得 Pʹx0+2,y0−4 也在直线 l 上．所以斜率 k=y0−4−y0x0+2−x0=−2．
16. D【解析】设双曲线 E 的标准方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，则 −a,0，Ba,0，
不妨设点 M 在第一象限内，则易得 M2a,3a，
又 M 点在双曲线 E 上，于是 2a2a2−3a2b2=1，解得 b2=a2，
所以 e=1+b2a2=2．
17. D【解析】当 ∣PF1∣=∣PF2∣ 时，椭圆上存在两点使得 △F1F2P 为等腰三角形，当 ∣PF1∣=∣F1F2∣，或 ∣PF2∣=∣F1F2∣ 时，各存在两个点，当 ∣PF1∣=∣F1F2∣ 时，有 ∣PF1∣=2c，∣PF2∣=2a−2c，所以当椭圆上有 6 个不同的点 P 时，有 4c>2a−2c2a−2c≠2c，解得 1318. C
19. C【解析】由题意，得 Q−2,0．设 l 的方程为 y=kx+2，代入 y2=8x，得 k2x2+4k2−2x+4k2=0，所以当 k=0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点；当 k≠0 时，Δ=16k2−22−16k4≥0，即 k2≤1，所以 −1≤k≤1，且 k≠0，综上，−1≤k≤1．
20. A
【解析】假设曲线 C1 与 C2 有公共点 Qx1,y1，则 Fx1,y1=0 和 Fx1,y1−Fx0,y0=0 同时成立，
所以 Fx0,y0=0，
所以点 Px0,y0 在曲线 C1 上，这与已知条件点 Px0,y0 不在曲线 C1 上矛盾．
所以假设不成立，
所以曲线 C1 与 C2 无公共点．
第二部分
21. x=−14
【解析】抛物线 y2=x 的准线方程为 x=−14．
22. x2=−12y
23. 2
【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 OABC 为正方形，∣OA∣=2，
所以 c=∣OB∣=22，∠AOB=π4．
因为直线 OA 是渐近线，方程为 y=bax，
所以 ba=tan∠AOB=1，即 a=b．
又因为 a2+b2=c2=8，
所以 a=2．
24. x24−y2=1
【解析】法一：双曲线的渐近线方程为 y=±12x，
所以可设双曲线的方程为 x2−4y2=λλ≠0，
因为双曲线过点 4,3，
所以 λ=16−4×32=4，
所以双曲线的标准方程为 x24−y2=1．
法二：
因为渐近线 y=12x 过点 4,2，而 3<2，
所以点 4,3 在渐近线 y=12x 的下方，在 y=−12x 的上方（如图）．
所以双曲线的焦点在 x 轴上，
故可设双曲线方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由已知条件可得 ba=12,16a2−3b2=1, 解得 a2=4,b2=1,
所以双曲线的标准方程为 x24−y2=1．
25. 223
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 y=kx+1,y2=4x, 得 ky2−4y+4k=0，所以 y1⋅y2=4. ⋯⋯①，又 BN=2AM，所以点 A 是 −1,0 与 B 的中点，所以 y2=2y1，代入①可得 y1=2，x1=12，可求得 k=223．
第三部分
26. （1） 依题意得：1a2+e2b2=1,e2a2+34b2=1,
解得 a2=2，b2=1，所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1．
（2） 由（Ⅰ）得 ae=2，如图．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，N−2,y3，M−2,y4，
把直线 l：x=my−1 代入椭圆方程，得 m2+2y2−2my−1=0，
所以 y1+y2=2mm2+2，y1⋅y2=−1m2+2，
因为 M，B，D 三点共线，得 y4−2−2=y2x2−2，
所以 y4=y2−2−2x2−2=y2−2−2my2−1−2, ⋯⋯①
同理，由 N，A，D 三点共线，得 y3=y1−2−2my1−1−2, ⋯⋯②
因为 kNF⋅kMF=y3−2+1⋅y4−2+1=y3y4, ⋯⋯③
所以把①②代入③得
kNF⋅kMF=y2−2−2my2−1−2⋅y1−2−2my1−1−2=y1y22+22m2y1y2−m1+2y1+y2+1+22=6+42m2+22+2m2−2+m222+3=−1.
所以 NF⋅MF=0．
27. 由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线 x−2y−4=0 上．
令 x=0，得焦点为 0,−2；令 y=0，得焦点为 4,0．
当焦点为 0,−2 时，抛物线方程为 x2=−8y；当焦点为 4,0 时，抛物线方程为 y2=16x．
28. （1） 由双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，
可设双曲线方程为 x2−y22=λλ≠0，
将点 P62,1 的坐标代入，可得 λ=1，
所以双曲线 C 的标准方程为 x2−y22=1．
（2） 假设存在被点 B1,1 平分的弦，记弦所在的直线为 l．
设 B1,1 是弦 MN 的中点，设 Mx1,y1，Nx2,y2，
则 x1+x2=2，y1+y2=2．
因为点 M，N 在双曲线 C 上，
所以它们的坐标满足双曲线方程，即 x12−y122=1,x22−y222=1.
两式相减得 2x1+x2x1−x2−y1−y2y1+y2=0，
所以 4x1−x2=2y1−y2，
所以 kMN=y1−y2x1−x2=2，
所以直线 l 的方程为 y−1=2x−1，即 2x−y−1=0．
联立直线 l 与双曲线方程得 x2−y22=1,2x−y−1=0.
消去 y，得 2x2−4x+3=0，
显然 Δ=16−4×2×3=−8<0，
所以直线 l 与双曲线无交点，
所以直线 l 不存在，
故不存在被点 B1,1 平分的弦．
29. （1） 由题意可知 a=2，b=1，
所以，椭圆的方程为 x24+y2=1．
（2） 由点 Px,y 在椭圆 C 上，
可得 x24+y2=1, 且 0≤x2≤4．
∣OP∣=x2+y2=x2+1−x24=1+3x24，
因为 0≤3x24≤3，
可得 1≤1+3x24≤4，
所以 1≤∣OP∣≤2，
故 ∣OP∣ 的取值范围为 1,2．
30. （1） 方法一（换元法）：
令 x+1=t，所以 x=t−1，
所以 ft=3t−1+2=3t−1，所以 fx=3x−1．
方法二（配凑法）：
fx+1=3x+2=3x+1−1，所以 fx=3x−1．
（2） 因为 fx−1x=x2+1x2=x−1x2+2，
令 t=x−1x，所以 ft=t2+2，所以 fx=x2+2．
（3） 由题意，在 fx−2f−x=1+2x 中，
以 −x 代替 x 可得 f−x−2fx=1−2x，
联立可得 fx−2f−x=1+2x,f−x−2fx=1−2x,
消去 f−x 可得 fx=23x−1．