2022届高考数学二轮专题测练-解析几何

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-解析几何，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列点在 y 轴上的是
A. x,0,0B. 0,y,0C. 0,0,zD. x,y,0

2. 圆 x2+y2−2x+4y−4=0 与直线 2tx−y−2−2t=0t∈R 的位置关系为
A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能

3. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，准线为 l，且 l 过点 −2,3，M 在抛物线 C 上，若点 N1,2，则 ∣MN∣+∣MF∣ 的最小值为
A. 2B. 3C. 4D. 5

4. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线互相垂直，焦距为 8，则 C 的方程为
A. x27−y29=1B. x24−y24=1C. x216−y216=1D. x28−y28=1

5. 抛物线 y2=4x 上的点与其焦点的距离的最小值为
A. 4B. 2C. 1D. 12

6. 若双曲线 x2a2−y2b2=1 的离心率为 3，则其渐近线方程为
A. y=±2xB. y=±2xC. y=±12xD. y=±22x

7. 一种作图工具如图所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 C 的轨迹方程是
A. x29+y2=1B. x29−y2=1C. x216+y24=1D. x216−y24=1

8. 直线 x−3y=0 截圆 (x−2)2+y2=4 所得劣弧所对的圆心角是 ( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3

9. 若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线与圆 x2+y−a2=a29 相切，则该双曲线得离心率为
A. 3B. 3C. 322D. 324

10. 设 x∈R，则“1−x21”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

11. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，两条渐近线与圆 x−m2+y2=1m>0 相切，若双曲线的离心率为 3，则 m 的值为
A. 62B. 6C. 63D. 233

12. 直线 y=kx+3 与圆 x−32+y−22=4 相交于 M，N 两点，若 MN≥23，则 k 的取值范围是
A. −34,0B. −∞,−34∪0,+∞
C. −33,33D. −23,0

13. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

14. 已知 ⊙C:x2−2x+y2−1=0，直线 l:y=x+3，P 为 l 上一个动点，过点 P 作 ⊙C 的切线 PM，切点为 M，则 PM 的最小值为
A. 1B. 2C. 2D. 6

15. 已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 x2a2−y2=1a>0 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 △FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是
A. 2B. 3C. 5D. 6

16. 设 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个焦点，P 是 C 上的点，圆 x2+y2=a29 与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 是线段 PF 的两个三等分点，则 C 的离心率为
A. 33B. 53C. 104D. 175

17. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

18. 已知圆锥曲线 C 的方程是 5x2−6xy+5y2=8，则下列命题中是假命题的是
A. 曲线 C 上的点的横坐标 x 的取值范围是 −102,102
B. 曲线 C 关于直线 y=x 对称
C. 曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心的最远距离为 2
D. 曲线 C 的离心率是 12

19. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y−4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A. 4π5B. 3π4C. 6−25πD. 5π4

20. 点 P 在直线 l:y=x−1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是
A. 直线 l 上的所有点都是“A 点”
B. 直线 l 上仅有有限个点是“A 点”
C. 直线 l 上的所有点都不是“A 点”
D. 直线 l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“A 点”

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在空间直角坐标系中，给出下列结论：①在 x 轴上点的坐标一定可以表示为 0,b,0；②在 z 轴上点的坐标一定可以表示为 0,0,c；③在 yOz 平面上点的坐标一定可以表示为 0,b,c；④在 xOz 平面上点的坐标一定可以表示为 a,0,c．其中正确的是 （填序号）．

22. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

23. 与圆 C1:x+32+y2=1 外切，且与圆 C2:x−32+y2=81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 ．

24. 过点 P1,1 的直线，将圆形区域 x,yx2+y2≤4 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ．

25. 已知曲线 C 的方程是 x−∣x∣x2+y−∣y∣y2=8，给出下列三个结论：
① 曲线 C 与两坐标轴有公共点；
② 曲线 C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③ 若点 P，Q 在曲线 C 上，则 PQ 的最大值是 62．
其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知直线 l1:3x−y−1=0，l2:x+y−3=0，求：
（1）直线 l1 与 l2 的交点 P 的坐标；
（2）过点 P 且与 l1 垂直的直线方程．

27. 在直角坐标系中，一物体经过点 A0,9，其轨迹方程为 y=ax2+ca1，
所以 x1 不能推出 x>1，x>1 可以推出 x1，
故“1−x21”的必要不充分条件．
11. A【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±bax，即 bx±ay=0，
x−m2+y2=1m>0，
所以圆心 Cm,0，半径为 1，
因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，两条渐近线与圆 x−m2+y2=1m>0 相切，
所以 mba2+b2=1，
所以 mb=c；
双曲线的离心率为 3，c=3a，
所以 c=62b，
所以 m=62．
12. A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，重点考查数形结合思想的运用．
圆心的坐标为 3,2，且圆与 x 轴相切．当 MN=23 时，由点到直线的距离公式，解得 k=0 或 −34，结合图形可知 k 的取值范围为 −34,0．
13. C
14. D【解析】圆 C 方程可化为 x−12+y2=2，则圆心 C1,0，半径 r=2，
因为 PM 为圆 C 的切线且 M 为切点，
所以 PM⊥MC，
所以根据勾股定理知 PM2=PC2−CM2=PC2−r2=PC2−2，
所以 PM 最小时，PC 最小．
因为 PC≥d=1+31+1=42=22，
所以 PM2≥8−2=6，
所以 PM 最小值为 6．
15. D
【解析】依题意知抛物线的准线 x=−1，代入双曲线方程得 y=±1−a2a．
不妨设 A−1,1−a2a，
因为 △FAB 是等腰直角三角形，
所以 1−a2a=2，
解得：a=55，
所以 c2=a2+b2=15+1=65，
所以 e=ca=6．
16. D【解析】如图所示，设线段 AB 的中点为 D，连接 OD，OA，
设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F，F1，连接 PF，PF1．
设 ∣OD∣=t，
因为点 A，B 是线段 PF 的两个三等分点，
所以点 D 为线段 PF 的中点，
所以 OD∥PF1，且 ∣PF1∣=2t，PF1⊥PF．
因为 ∣PF∣=3∣AB∣=6∣AD∣=6a32−t2，
根据椭圆的定义，得 ∣PF∣+∣PF1∣=2a，
所以 6a32−t2+2t=2a，
解得 t=a5 或 t=0（舍去）．
所以 ∣PF∣=8a5，∣PF1∣=2a5．
在 Rt△PFF1 中，
∣PF∣2+∣PF1∣2=∣FF1∣2，
即 8a52+2a52=2c2，
得 c2a2=1725，
所以 C 的离心率 e=ca=175．
17. A【解析】设圆上任一点的坐标为 x0,y0，
则 x02+y02=4，连线中点的坐标为 x,y，
则 2x=x0+4,2y=y0−2⇒x0=2x−4,y0=2y+2, 代入 x02+y02=4 中，得 x−22+y+12=1．
18. D【解析】方程 5x2−6xy+5y2=8，可看做关于 y 的二次方程 5x2−6xy+5y2−8=0，根据方程有实数解的条件可得 Δ=36x2−4×55x2−8≥0，解得 −102≤x≤102，故A正确；
将 x 换为 y，y 换为 x，可得方程 5x2−6xy+5y2=8 不变，则圆锥曲线 C 关于直线 y=x 对称；同样将 x 换为 −y，y 换为 −x，可得方程 5x2−6xy+5y2=8 不变，则圆锥曲线 C 关于直线 y=−x 对称，故B正确；
由旋转变换公式可得 x=xʹ−yʹ2,y=xʹ+yʹ2, 代入曲线 C 的方程可得 5×xʹ−yʹ22−6×xʹ−yʹ2×xʹ+yʹ2+5×xʹ+yʹ22=8，化为 xʹ24+yʹ2=1，即为椭圆方程，且长轴长为 4，即曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心 O 的最远距离为 2，离心率为 e=4−14=32，故C正确，D错误．
故选：D．
19. A【解析】设直线 l:2x+y−4=0，
因为 ∣OC∣=12∣AB∣=d1，其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离，
所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．
圆 C 半径最小值为 12d2=12×45=25，其中 d2 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 的面积的最小值为 π252=4π5．
20. A
【解析】如图，设点 A，P 的坐标分别为 m,n，x,x−1，
则点 B 的坐标为 2m−x,2n−x+1．
因为 A，B 在 y=x2 上，
所以 n=m2,2n−x+1=2m−x2.
消去 n，整理，得关于 x 的方程 x2−4m−1x+2m2−1=0. ⋯⋯①
因为 Δ=4m−12−42m2−1=8m2−8m+5>0 恒成立，
所以方程 ① 恒有实数解，所以应选A．
第二部分
21. ②③④
22. 2
【解析】因为两条渐近线是正方形 OABC 的相邻两边，
所以夹角为 90∘，可知渐近线的斜率为 ±1．
所以 ±ba=±1，a=b．
因为 B 为该双曲线的焦点，
所以 c=22，由 a2+b2=c2=8，a=b 可得 a=2．
23. x225+y216=1
【解析】设动圆的半径为 r，圆心为 Px,y，则有 PC1=r+1，PC2=9−r．
所以 PC1+PC2=10>C1C2=6，
即 P 在以 C1−3,0，C23,0 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，
得点 P 的轨迹方程为 x225+y216=1．
24. x+y−2=0
【解析】当圆心与点 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件．圆心 O 与点 P 连线的斜率 k=1，
所求直线方程为 y−1=−x−1，即 x+y−2=0．
25. ②③
【解析】当 x>0，y>0 时，曲线 C 方程为 x−12+y−12=8；
当 x>0，y