2022届高考数学二轮专题测练-轨迹与轨迹方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-轨迹与轨迹方程，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A3,1，B−1,3，若点 C 满足 OC=αOA+βOB，其中 α,β∈R，且 α+β=1，则点 C 的轨迹方程为
A. 3x+2y−11=0B. x−12−y−12=5
C. 2x−y=0D. x+2y−5=0

2. 平面内一点 M 到两定点 F1−4,0，F24,0 的距离之和等于 8，则点 M 的轨迹是
A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段

3. 设 A 为圆 x−12+y2=1 上动点，PA 是圆的切线，且 ∣PA∣=1，则 P 点的轨迹方程为
A. x−12+y2=4B. x−12+y2=2
C. y2=2xD. y2=−2x

4. 动点 P 到点 A8,0 的距离是到点 B2,0 的距离的 2 倍，那么点 P 的轨迹方程为
A. x2+y2=32B. x2+y2=16
C. x−12+y2=16D. x2+y−12=16

5. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在曲线是
A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线

6. 设曲线 C 到两坐标轴距离之积为 1 的点的轨迹，那么曲线 C 的方程是
A. xy=1B. xy=−1C. ∣xy∣=1D. ∣x∣+∣y∣=1

7. 已知 l1 和 l2 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为 A，动点 B，C 分别在 l1 和 l2 上，且 BC=32，则过 A，B，C 三点的动圆所形成的区域的面积为
A. 18πB. 16πC. 8πD. 6π

8. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

9. 点 P4,−2 与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A. x−22+y+12=1B. x−22+y+12=4
C. x+42+y−22=4D. x+22+y−12=1

10. 一动圆与直线 x=−1 相切且始终过点 1,0，动圆的圆心的轨迹为曲线 C，那么曲线 C 上的点到直线 x=−1 的距离与到直线 x+y+4=0 的距离和的最小值为
A. 2B. 522C. 423D. 22

11. 过抛物线 y2=4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q，那么线段 PQ 中点的轨迹方程是
A. y2=2x−1B. y2=2x−2C. y2=−2x+1D. y2=−2x+2

12. 已知正方形的四个顶点分别为 O0,0，A1,0，B1,1，C0,1，点 D，E 分别在线段 OC，AB 上运动，且 OD=BE，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方程是
A. y=x1−x0≤x≤1B. x=y1−y0≤y≤1
C. y=x20≤x≤1D. y=1−x20≤x≤1

13. 已知圆 F1:x+22+y2=36，定点 F22,0，A 是圆 F1 上的一动点，线段 F2A 的垂直平分线交半径 F1A 于 P 点，则 P 点的轨迹 C 的方程是
A. x24+y23=1B. x29+y25=1C. x23+y24=1D. x25+y29=1

14. 在 △ABC 中，已知 A−1,0，C1,0．若 a>b>c，且满足 2sinB=sinA+sinC，则顶点 B 的轨迹的方程是
A. x24+y23=1x<0B. x23+y24=1x<0
C. x24+y23=1x>0D. x23+y24=1x>0

15. 平面直角坐标系上动点 Mx,y，满足 x−32+y2+x+32+y2=6，则动点 M 的轨迹是
A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆

16. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E 在面 ABCD 上运动，且满足 EB=ED1，则点 E 的轨迹是
A. 抛物线B. 直线C. 椭圆D. 双曲线

17. 如图所示，在三角形 ABC 中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点 E 为 AC 的中点，DC⋅BE=152，则 AB 的长度为
A. 2B. 32C. 2D. 3

18. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 上的动点，PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是
A. 线段B. 圆弧
C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分

19. 实数 m 满足 m+1m<6，n∈R，点 N 的坐标为 n+50n,−n−50n，若动点 Mx,y 满足关系式 x+m+1m2+y+m+1m2+x−m−1m2+y−m−1m2=122，则 ∣MN∣ 的最小值为
A. 20B. 122C. 12D. 62

20. 如图，已知线段 AB 上有一动点 D（D 异于 A，B），线段 CD⊥AB，且满足 CD2=λAD⋅BD（λ 是大于 0 且不等于 1 的常数），则点 C 的运动轨迹为
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知曲线 C 上的任意一点 Mx,y 满足到两条直线 y=±22x 的距离之积为 12．
给出下列关于曲线 C 的描述：
① 曲线 C 关于坐标原点对称；
②对于曲线 C 上任意一点 Mx,y 一定有 ∣x∣≤6；
③ 直线 y=x 与曲线 C 有两个交点；
④ 曲线 C 与圆 x2+y2=16 无交点．
其中所有正确描述的序号是 ．

22. 已知定点 O0,0，A3,0 且 ∣MO∣=2∣MA∣，则动点 M 的轨迹方程 ．

23. 如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是 ．

24. 已知圆 C1:x+32+y2=1 和圆 C2:x−32+y2=9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ．

25. 在平面直角坐标系中，对于曲线 C：x2a2−yyb2=1a>b>0，有下面四个结论：
①曲线 C 关于 y 轴对称；
②过平面内任意一点 M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数 a，b，使得曲线 C 上的点到坐标原点距离的最小值为 1；
④存在无数个点 M，使得过点 M 可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都恰有三个公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知动点 M 和 A1,1，B2,0 两点，若 MA⋅MB=2，求动点 M 的轨迹方程．

27. 当点 A 在曲线 y=x2+3 上运动时，连接点 A 与定点 B6,0，求 AB 的中点 M 的轨迹方程．

28. 直线 l 过曲线 C：y=18x2 的焦点 F，并与曲线 C 交于 Ax1,y1，Bx2,y2 两点．
（1）求证：x1x2=−16；
（2）曲线 C 分别在点 A，B 处的切线（与 C 只有一个公共点，且 C 在其一侧的直线）交于点 M，求点 M 的轨迹．

29. 已知点 A，B 的坐标分别是 −1,0，1,0，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 BM 的斜率与直线 AM 的斜率的差是 2．
（1）求点 M 的轨迹方程 C；
（2）若直线 l:x−y=0 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 △APQ 的面积．

30. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点，点 P 到直线 x=−p2−1（p 是正常数）的距离为 d1，到点 Fp2,0 的距离为 d2，且 d1−d2=1．
（1）求动点 P 所在曲线 C 的方程；
（2）直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A，B，分别过点 A，B 作直线 l1:x=−p2 的垂线，对应的垂足分别为 M，N．记 S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A，B，M，N 是（2）中的点），λ=S22S1S3，求 λ 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】解法一：由向量的直线方程可得点 C 的轨迹是过 A，B 两点的直线，故点 C 的轨迹方程为 x+2y−5=0 .
解法二：设 OC=x,y，由已知 OA=3,1，OB=−1,3，
所以 αOC+βOB=3α−β,α+3β，
所以 x,y=3α−β,α+3β，
所以 x=3α−β,y=α+3β,
又 α+β=1，x+2y−5=0，
故点 C 的轨迹方程为 x+2y−5=0 .
2. D
3. B【解析】提示：由勾股定理可得 P 到圆心 1,0 的距离为 2．
4. B【解析】设 Px,y，根据题意，有 4x−22+y2=x−82+y2，
化简，得 x2+y2=16．
5. D
6. C
7. A【解析】提示：因为 AB⊥AC，所以过 A，B，C 三点的圆的圆心为 BC 的中点，所以动圆的圆心到 A 点的距离为 12BC=322，又动圆的半径为 12BC=322，所以动圆形成的区域是以 A 为圆心，32 为半径的圆．
8. A【解析】设圆上任意一点为 x1,y1，中点为 x,y，
则 x=x1+42,y=y1−22, 即 x1=2x−4,y1=2y+2.
代入 x2+y2=4 得 2x−42+2y+22=4，
化简得 x−22+y+12=1．
9. A【解析】设圆上任一点的坐标为 x0,y0，
则 x02+y02=4，连线中点的坐标为 x,y，
则 2x=x0+4,2y=y0−2⇒x0=2x−4,y0=2y+2, 代入 x02+y02=4 中，得 x−22+y+12=1．
10. B
【解析】设动圆的圆心为 Mx,y，由题意知 ∣x+1∣=x−12+y2，即 y2=4x，所以动圆的圆心的轨迹 C 的方程为 y2=4x，由此可知抛物线的焦点为 F1,0，准线为 x=−1，设曲线 C 上的点为 P，点 P 到直线 x=−1 的距离为 d1，到直线 x+y+4=0 的距离为 d2，由抛物线的定义知 d1=∣PF∣，所以 d1+d2=∣PF∣+d2，要使 d1+d2 最小，只需 P 、 F 与 P 在直线 x+y+4=0 上的垂足 Q 共线即可，所以 d1+d2min=∣1+4∣2=522．
11. B【解析】（排除法）由已知可知轨迹曲线的顶点为 1,0，开口向右，由此排除答案（A），（C），（D），所以选B．
另解：（直接法）设过焦点的直线 y=kx−1，则 y=kx−1,y2=4x,
消 y 得 k2x2−2k2+2x+k2=0，中点坐标有 x=x1+x22=k2+2k2,y=kk2+2k2−1=2k,
消 k 得 y2=2x−2，
故选B．
12. A【解析】设 Gx,y，OD=BE=a0≤a≤1，则 D0,a，E1,1−a．OE 所在的直线方程为 y=1−ax，AD 所在的直线方程为 ax+y−a=0，所以 x=a,y=a−a2.，故 G 点的轨迹方程为 y=x1−x0≤x≤1．
13. B【解析】连接 F2P，则 F2P=PA，
因为 F2P+F1P=PA+F1P=F1A=6>F1F2=4，
由椭圆的定义可得点 P 的轨迹为以点 F1，F2 为焦点，长轴为 6 的椭圆，
所以 2a=6，即 a=3，又因为焦点为 2,0，即 c=2，
所以 b2=a2−c2=9−4=5，
故点 P 的轨迹 C 的方程为：x29+y25=1．
14. A
15. B
【解析】设点 F13,0，F2−3,0，
因为动点 Mx,y 满足 x−32+y2+x+32+y2=6，
所以 MF1+MF2=6，
又 FF2=6，
所以 MF1+MF2=F1F2，
所以动点 M 的轨迹是线段．
故选：B．
16. B
17. C【解析】以 D 为原点，分别以 BC，AD 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设 BD=x，CD=4−x，则：D0,0，A0,−1，B−x,0，C4−x,0，E4−x2,−12；
所以 DC=4−x,0，BE=4+x2,−12；
所以 DC⋅BE=16−x22+0=152；
因为 x>0，所以解得 x=1；
所以 B−1,0，又 A0,−1；
所以 ∣AB∣=1+1=2．
18. A
19. C【解析】依题意，记点 F1−m−1m,−m−1m，F2m+1m,m+1m，N1−102,102，N2102,−102，则 42≤F1F2=22m+1m<122，动点 Mx,y 满足：∣MF1∣+∣MF2∣=122>∣F1F2∣>0，因此动点 Mx,y 的轨迹是以 F1，F2（其中点 F1，F2 位于直线 y=x 上）为焦点的椭圆，其中长轴长为 122 、短轴端点 B1x1,−x1，B2x2,−x2（其中 x1<020. B
第二部分
21. ①③④
【解析】依题意，M 到两条直线的距离之和为 12．
得到 ∣22x−y∣1+12⋅∣22x+y∣1+12=12，解得 ∣12x2−y2∣=18．
故 x236−y218=1 或 −x236+y218=1．
① −x,−y 在曲线上，所以曲线 C 关于坐标原点对称，故正确；
② 对于 x236−y218=1，可得 ∣x∣≥6，故错误；
③ 将 y=x 代入曲线，交点有 6,6，−6,−6，共 2 个；
④ 将 x2+y2=16 代入曲线，方程无解，故正确．
22. x−42+y2=4
【解析】设 Mx,y，根据题意得到方程 x2+y2=4x−32+y2，解得 x−42+y2=4．
23. 以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆
【解析】连接 QA，由已知得 QA=QP．
所以 QO+QA=QO+QP=OP=r，
又因为点 A 在圆内，
所以 OA根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．
24. x2−y28=1x≤−1
【解析】如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B．
根据两圆外切的条件，
得 MC1−AC1=MA，MC2−BC2=MB，
因为 MA=MB，所以 MC1−AC1=MC2−BC2，
即 MC2−MC1=BC2−AC1=2，
所以点 M 到两定点 C2，C1 的距离的差是常数且小于 C1C2=6．
又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支（点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小），
其中 a=1，c=3，则 b2=8．
故点 M 的轨迹方程为 x2−y28=1x≤−1．
25. ①②④
【解析】当 y≥0 时，曲线 C：x2a2−y2b2=1 为双曲线；
当 y≤0 时，曲线 C：x2a2+y2b2=1 为椭圆．
因为 a>b>0，
所以不论为椭圆还是双曲线均关于 y 轴对称，
所以①对，②对；
存在 a,1，−1,b，1,b 三组实数，
使得曲线 C 上的点到坐标原点的距离的最小值为 1，
所以③错；
当 y≠±bax 时，存在无数个点 M，使过 M 的两条直线与曲线 C 恰有三个交点，
所以④对．
第三部分
26. 设点 M 的坐标为 x,y，则 MA=1−x,1−y，MB=2−x,−y，
依题意得，1−x2−x+1−y−y=2．
所以 M 的轨迹方程为 x2−3x+y2−y=0．
27. 设 AB 的中点 M 的坐标为 x,y，则 A 的坐标为 2x−6,2y，
因为点 A 在曲线 y=x2+3 上，
所以 2y=2x−62+3，即 y=2x2−12x+392．
28. （1） 曲线 C：y=18x2 的焦点 F 为 0,2，
由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx+2，
由 x2=8y,y=kx+2, 消 y 可得 x2−8kx−16=0，
因为 Ax1,y1，Bx2,y2，
所以 x1x2=−16．
（2） 由（1）可得 x1+x2=8k，x1x2=−16，
由 y=18x2，可得 yʹ=14x，
所以切线方程分别为 y−y1=14x1x−x1，y−y2=14x2x−x2，
且 y1=18x12，y2=18x22，可得 y=14x1x−18x12,y=14x2x−18x22,
解得 x=x1+x22=4k，y=x1x28=−2，
则 M 的轨迹方程为直线 y=−2．
29. （1） 设 Mx,y，则 kAM=yx+1，kBM=yx−1，所以 yx−1−yx+1=2．
所以所求轨迹方程为 y=x2−1（x≠1 且 x≠−1）（或 y≠0）．
（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2．
由 y=x2−1,x−y=0 消去 y，得 x2−x−1=0，所以 x1+x2=1,x1x2=−1.
所以 PQ=1+12⋅12−4×−1=10．
又因为点 A 到直线 PQ 的距离为 d=−12=22，
所以 S△APQ=12⋅PQ⋅d=22．
方法二：
S△APQ=12AQ⋅y1−y2=12×1×x1−x2=12x1+x22−4x1x2=52.
30. （1） 设动点为 Px,y，
依据题意，得 x+p2+1−x−p22+y2=1，化简，得 y2=2px．
因此，动点 P 所在曲线 C 的方程是：y2=2px．
（2） 由题意可知，当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时，不合题意，
故可设直线 l:x=my+p2．
得联立方程组 y2=2px,x=my+p2, 可化为 y2−2mpy−p2=0，
则点 Ax1,y1，Bx2,y2 的坐标满足 y1+y2=2mp,y1y2=−p2.
又 AM⊥l1，BN⊥l1，可得点 M−p2,y1，N−p2,y2．
可算出 x1+x2=my1+y2+p=2m2p+p，x1x2=y122p⋅y222p=p24，
所以
S1S3=12x1+p2y1⋅12x2+p2y2=p24⋅x1x2+p2x1+x2+p24=14p4m2+1,
S22=12y1−y2⋅p2=p24y1+y22−4y1y2=p41+m2.
所以，λ=S22S1S3=4 即为所求．