2022届高考数学二轮专题测练-复数

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-复数，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若复数 z=x2−1+x−1i 为纯虚数，则实数 x 的值为
A. −1B. 0C. 1D. −1 或 1

2. 已知 i 是虚数单位，复数 z1 在复平面内对应的向量 OZ1=−2,1，则复数 z=z11+i 的虚部为
A. −12B. 32C. −12iD. −32i

3. 设 a,b∈R，i 是虚数单位，则“ab=0”是“复数 a+bi 为纯虚数”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

4. 若复数 z 满足 2+iz=3−i，则 z 的虚部为
A. iB. −iC. 1D. −1

5. 若复数 z 满足 z−∣z∣=−1−3i ，其中 i 为虚数单位，则 z 是
A. 4+3iB. 3+4iC. −5+3iD. 4−3i

6. 若复数 z=1+i2−i，则在复平面内复数 z 对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

7. 设 z=3−i1+2i，则 ∣z∣=
A. 2B. 3C. 2D. 1

8. 已知复数 z 满足 3+4i⋅z=25（i 为虚数单位），则复数 z 的共扼复数 z=
A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i

9. 若复数 1−ia+i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,1B. −∞,−1C. 1,+∞D. −1,+∞

10. 已知 fz−i=5z+2z−2i−1，则 fi7=
A. 2i−1B. −1+iC. −1−2iD. −1−i

11. 若复数 z 满足 z1−i=∣1−i∣+i，则 z 的实部为
A. 2−12B. 2−1C. 1D. 2+12

12. 已知关于 x 的方程 x2+mx+2xi=−2−2im∈R 有实数根 n，且 z=m+ni，则复数 z 等于
A. 3+iB. 3−iC. −3−iD. −3+i

13. 已知 z1=1+2i，z2=m+m−1i，i 为虚数单位，且两复数的乘积 z1z2 的实部和虚部为相等的正数，则实数 m 的值为
A. −43B. 43C. −34D. 34

14. i2n−3+i2n−1+i2n+1+i2n+3 的值为
A. −2B. 0C. 2D. 4

15. 复数 z=x+yix,y∈R 满足条件 ∣z−4i∣=∣z+2∣，则 ∣2x+4y∣ 的最小值为
A. 22B. 42C. 4D. 16

16. 复数 z=i2+i 的共轭复数是
A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i

17. 已知集合 A=za+biz+a−biz+2=0,a,b∈R,z∈C，B=zz=1,z∈C，若 A∩B=∅，则 a，b 之间的关系是
A. a+b>1B. a+b<1C. a2+b2<1D. a2+b2>1

18. 设 z=3−i1+2i，则 z=
A. 2B. 3C. 2D. 1

19. 在复平面上，复数 −1+i，0，3+2i 所对应的点分别是 A，B，C，则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的长为
A. 5B. 13C. 15D. 17

20. 设 A，B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z=csB−tanA+itanB 对应的点位于复平面的
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在复平面内，复数 z=ia+i 对应的点在直线 x+y=0 上，则实数 a= ．

22. 已知复数 z 满足 1−z1+z=−i，则 ∣z∣= ．

23. 若 2+x5=a0+a11+x+a21+x2+⋯+a51+x5，则 a4 的值为 ．

24. 设复数 z 满足 1≤z+2z≤3，则复数 z 所对应的点 Z 在复平面上的轨迹方程为 ．

25. 已知复数 z1=2+3i，z2=a+bi，z3=1−4i，它们在复平面上所对应的点分别为 A，B，C．若 OC=2OA+OB，则 a= ，b= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知 2x−1+y+1i=x−y−x+yi，求实数 x，y 的值．

27. 已知方程 x2+kx+2xi=−1−kik∈R 有实根，求此方程的实根及 k 的值．

28. 已知复数 z 满足 z=2，z2 的虚部为 2．
（1）求复数 z；
（2）设 z，z2，z−z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求 △ABC 的面积．

29. 已知函数 fx−1=lgx2−x．
（1）求函数 fx 的解析式；
（2）判断 fx 的奇偶性；
（3）解关于 x 的不等式 fx≥lg3x+1．

30. 已知复数 z 满足 zz+2iz=3+aia∈R，且 z 所对应的点在第二象限，求实数 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】由 x2−1=0x−1≠0，得 x=−1．
2. B
3. B【解析】a+bi 为纯虚数，则 a=0，b≠0，此时 ab=0；反之 ab=0 不能得出 a=0，b≠0．
所以“ab=0”是“复数 a+bi 为纯虚数”的必要不充分条件．
4. D
5. A
【解析】设 z=a+bi，则 z=a−bi，z−∣z∣=a−bi−a2+b2，
因为 z−∣z∣=−1−3i，
所以 b=3，a−a2+b2=−1，
解得 a=4，
所以 z=4+3i．
6. A【解析】由题可知：复数 z=1+i2−i=2+i−i2=3+i，
所以复数对应的点为 3,1，
所以复数 z=1+i2−i 对应的点位于第一象限．
综上所述，答案选：A．
7. C【解析】因为 z=3−i1+2i，
所以 z=3−i1−2i1+2i1−2i=15−75i，
所以 ∣z∣=152+−752=2．
8. D【解析】通解
由题意可得，
z=253+4i=253−4i3+4i3−4i=253−4i25=3−4i,
故 z=3+4i．
优解
根据 3+4i⋅z=25 知，3−4iz=25，故 z=253−4i=3+4i．
9. B【解析】因为 z=1−ia+i=a+1+1−ai，
所以它在复平面内对应的点为 a+1,1−a，
又此点在第二象限，
所以 a+1<0,1−a>0,
解得 a<−1．
10. C
11. A【解析】由 z1−i=∣1−i∣+i=2+i，
得 z=2+i1−i=2+i1+i1−i1+i=2−12+2+12i，
则 z 的实部为 2−12．
12. B【解析】由题意知，
n2+mn+2ni=−2−2i，
即 n2+mn+2=0,2n+2=0, 解得 m=3,n=−1.
所以 z=3−i .
13. D【解析】因为
z1z2=1+2im+m−1i=m−2m−1+2m+m−1i=2−m+3m−1i,
所以 2−m=3m−1，即 m=34．
经检验，m=34 能使 2−m=3m−1>0，
所以 m=34 满足题意．
14. B【解析】因为 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=−1，i4n+3=−i；
由复数 i2n−3+i2n−1+i2n+1+i2n+3=2i2n+1+i2n+3，
当 n 是偶数时 2i2n+1+i2n+3=2i+i3=0；
当 n 是奇数时 2i2n+1+i2n+3=2i3+i=0．
15. B
16. D【解析】复数 i2+i=2i−1 的共轭复数为 −1−2i．
17. C【解析】设 z=x+yi，x,y∈R，则 a+bix−yi+a−bix+yi+2=0，
化简整理得，ax+by+1=0，即集合 A 可看成复平面中直线 ax+by+1=0 上的点，
集合 B 可看成复平面中圆 x2+y2=1 上的点，
若 A∩B=∅，即直线 ax+by+1=0 与圆 x2+y2=1 没有交点，d=1a2+b2>1，即 a2+b2<1．
18. C
19. B【解析】向量 BA 对应的复数为 −1+i，BC 对应的复数为 3+2i，
所以 BD 对应的复数为 −1+i+3+2i=2+3i，
所以 BD=22+32=13．
20. B
【解析】因为 A，B 为锐角三角形的两个内角，
所以 A+B>π2，即 A>π2−B，sinA>csB，csB−tanA=csB−sinAcsA又 tanB>0，
所以点 csB−tanA,tanB 在第二象限．
第二部分
21. 1
【解析】ia+i=−1+ai，
对应点为 −1,a，
在 x+y=0 上，
所以 −1+a=0，
a=1．
22. 1
【解析】因为复数 z 满足 1−z1+z=−i，
所以 1−iz=1+i，
所以 1+i1−iz=1+i1+i，即 2z=2i，
所以 z=i，则 ∣z∣=1．
23. 5
【解析】2+x5=1+1+x5，
则 1+1+x5 展开式的通项为 Tr+1=C5r1+xr，
令 r=4 得 a4=C54=5．
24. x2+y2=212≤x≤32
25. −3，−10
【解析】因为 OC=2OA+OB，
所以 1−4i=22+3i+a+bi，
即 1=4+a,−4=6+b, 所以 a=−3,b=−10.
第三部分
26. 由复数相等的定义得 2x−1=x−y,y+1=−x+y,，解得 x=3,y=−2.
27. 因为方程有实根 x0，所以 x02+kx0=−1,2x0=−k, 解得 x0=1,k=−2 或 x0=−1,k=2.
28. （1） 设 z=a+bia,b∈R，
由已知条件得 a2+b2=2，
z2=a2−b2+2abi，
所以 2ab=2，
所以 a=b=1 或 a=b=−1，
即 z=1+i 或 z=−1−i．
（2） 当 z=1+i 时，z2=1+i2=2i，z−z2=1−i，
所以点 A1,1，B0,2，C1,−1，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
当 z=−1−i 时，z2=−1−i2=2i，
z−z2=−1−3i，
所以点 A−1,−1，B0,2，C−1,−3，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
即 △ABC 的面积为 1．
29. （1） 令 t=x−1，则 x=t+1，
由题意知 x2−x>0，即 0则 −1所以 ft=lgt+12−t+1=lgt+11−t，
故 fx=lgx+11−x−1 （2） 由（1）知，fx=lgx+11−x−1所以 f−x=lg−x+11−−x=lg1−x1+x=lg1+x1−x−1=−lg1+x1−x=−fx，
所以 fx 为奇函数．
（3） 原不等式可化为 lgx+11−x≥lg3x+1，−1即 x+11−x≥3x+1>0，−1解得 −13故原不等式的解集为 −13,0∪13,1．
30. 由 zz+2iz=3+ai 得 z=a+z2−3i2，所以 z=a2+3−z22i．
由于 z 对应的点在第二象限，所以 a<0,z2<3.
又 z2=a24+3−z224．
所以 a2=−z4+10z2−9=−z2−52+16<−3−52+16=12，
即 a2<12，又 a<0，所以 −23