2022届高考数学二轮专题测练-函数

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-函数，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知集合 A=x−2x+1≤3，B=xlnx≤1，则 A∩B=
A. −1,eB. −1,1C. −1,0D. 0,e

2. 若二次根式 x−5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≠5B. x≥5C. x>5D. x<5

3. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 立方米的，按每立方米 m 元水费收费；用水超过 10 立方米的，超过部分按每立方米 2m 元收费．某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为
A. 13 立方米B. 14 立方米C. 18 立方米D. 26 立方米

4. 某产品的总成本 y（万元）与产量 x（台）之间的函数关系是 y=3000+20x−0.1x2（0A. 100 台B. 120 台C. 150 台D. 180 台

5. 三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表：
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是
A. y1,y2,y3B. y2,y1,y3C. y3,y2,y1D. y3,y1,y2

6. 某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是
A. 增加 7.84%B. 减少 7.84%C. 减少 9.5%D. 不增不减

7. 设 fx 是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，fx=2x2−x，则 f1=
A. −3B. −1C. 1D. 3

8. 若 2x−2y<3−x−3−y，则
A. lny−x+1>0B. lny−x+1<0
C. lnx−y>0D. lnx−y<0

9. 函数 fx=ex+1∣x∣ex−1（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为
A. B.
C. D.

10. 已知函数 fx=x−2+1，gx=kx，若方程 fx=gx 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是
A. 0,12B. 12,1C. 1,2D. 2,+∞

11. 函数 fx=xlnx−1 的零点个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

12. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lgE1E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ekk=1,2．已知太阳的星等是 −26.7，天狼星的星等是 −1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值是
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.1

13. 已知 a，b，c，d 都是常数，a>b，c>d，若 fx=2021−x−ax−b 的零点为 c，d，则下列不等式正确的是
A. a>c>b>dB. a>b>c>dC. c>d>a>bD. c>a>b>d

14. 对于函数 fx=x2+mx+n，若 fa>0，fb>0，则函数 fx 在区间 a,b 内
A. 一定有零点B. 一定没有零点
C. 可能有两个零点D. 至多有一个零点

15. 如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个小孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

16. 设 fx=x,0A. 2B. 4C. 6D. 8

17. 如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x，fx 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍，则函数 y=fx 的图象是
A. B.
C. D.

18. 设 fx 是一个函数，使得对所有整数 x 和 y 都有 fx+y=fx+fy+6xy+1 和 fx=f−x，则 f3 等于
A. 26B. 27C. 52D. 53

19. 定义在 R 上的函数 fx 的图象关于点 −34,0 对称，且满足 fx=−fx+32， f1=1 ，f0=−2 ，则 f1+f2+f3+⋯+f2006 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

20. 若关于 x 的方程 m+2x−2=mx2−x2−1 恰有三个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是
A. 0,1∪1,4B. 0,4
C. −∞,−2∪0,1D. −2,1

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=x−12 的定义域是 ．

22. 已知 fx 是定义在 −2,0∪0,2 上的奇函数，当 x>0 时，fx 的图象如右图所示，那么 fx 的值域是 ．

23. 已知函数 fx=12x+1,x≤0−x−12,x>0，则不等式 fx≥−1 的解集是 ．

24. 定义：若存在常数 k，使得对定义域 D 内的任意两个 x1,x2 x1≠x2，均有 ∣fx1−fx2∣≤k∣x1−x2∣ 成立，则称函数 fx 在定义域 D 上满足利普希茨条件．若函数 fx=x x≥1 满足利普希茨条件，则常数 k 的最小值为 ．

25. 设 a≠0，已知函数 fx=aex+a−1x,x≤0x2+a,x>0 与函数 y=ax 有交点，且交点横坐标之和不大于 6，则 a 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 有一批同一型号的数码词典原销售价为每台 1200 元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场促销方法：买一台单价 1180 元，买两台单价 1160 元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少 20 元，但每台最低价不能低于 800 元；乙商场一律按原价的 80% 销售．某学校需购买一批文曲星，去哪家商场购买花费较少?

27. 利用指数函数的图象比较 0.7−0.3 与 0.4−0.3 的大小．

28. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x0（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

29. 某机械生产厂家每生产产品 x（百台），其总成本为 Gx（万元），其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入 Rx（万元）满足 Rx=−0.4x2+4.2x0≤x≤511x>5，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：
（1）写出利润函数 y=fx 的解析式；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多?

30. 已知 fx=m24x 与 gx=4m−m2x 均为指数函数．
（1）若 y=fx 在定义域上是严格增函数，求实数 m 的取值范围；
（2）若对于任意 x∈0,+∞，都有 fx≥gx，求实数 m 的取值范围；
（3）若 hx=fx,x<14m−m2x,x≥1 是 R 上的严格增函数，求实数 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】A=xx≥−1，B=x0所以 A∩B=0,e．
故选：D．
2. B【解析】要使二次根式 x−5 在实数范围内有意义，则 x−5≥0，即 x≥5．
3. A【解析】该单位职工每月应缴水费 y 与实际用水量 x 满足的关系式为 y＝mx,0≤x≤102mx－10m,x>10．
由 y＝16m，可知 x>10 .
令 2mx−10m＝16m，解得 x＝13立方米．
4. C【解析】设产量 x 台时的利润为 fx（万元），则
fx=25x−3000+20x−0.1x2=0.1x2+5x−3000,
令 fx≥0，得 x≥150．
5. C
6. B【解析】设原来价格为 a，则四年后价格为 a⋅1+20%2⋅1−20%2=0.962⋅a，
所以 a−0.962a=0.0784a．
7. A【解析】因为当 x≤0 时，fx=2x2−x，
所以 f−1=2−12−−1=3，
又因为 fx 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f1=−f−1=−3．
8. A【解析】由 2x−2y<3−x−3−y 得：2x−3−x<2y−3−y，令 ft=2t−3−t．
因为 y=2x 为 R 上的增函数，y=3−x 为 R 上的减函数，
所以 ft 为 R 上的增函数，所以 x因为 y−x>0，所以 y−x+1>1，所以 lny−x+1>0，则A正确，B错误；
因为 x−y 与 1 的大小不确定，故C，D无法确定．
9. C
10. B
【解析】画出函数 fx 的图象，如图所示．
若方程 fx=gx 有两个不相等的实根，则函数 fx，gx 有两个交点，此时，直线 gx=kx 只有夹在两条虚线之间才有两交点．故 k>12，且 k<1．
11. B【解析】由方程 xlnx−1=0 得 x=0 或 x=2．
又函数的定义域为 xx>1，
因而函数 fx 的零点为 2, 即函数有 1 个零点．
故选B．
12. D【解析】两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lgE1E2，
令 m2=−1.45，m1=−26.7，
则 lgE1E2=25m2−m1=25×−1.45+26.7=10.1，
E1E2=1010.1，E2E1=10−10.1．故选D．
13. D【解析】由题意设 gx=x−ax−b，则 fx=2021−gx，
所以 gx=0 的两个根是 a，b，
由题意知，fx=0 的两根 c，d 也就是 gx=2021 的两根，
画出 gx（开口向上）以及直线 y=2021 的大致图象，
则与 fx 交点横坐标就是 c，d，
fx 与 x 轴交点就是 a，b，
又 a>b，c>d，则 c，d 在 a，b 外，
由图得，c>a>b>d．
14. C【解析】若函数 fx 的图象及给定的区间 a,b，如图（1）（2）所示，可知A错；
若如图（3）所示，可知B，D错，C对．
15. C
【解析】图 1 中正方体容器中水面面积是定值，故水面高度增加是匀速的，图象应是直线型的；
图 2 中圆锥形容器中水面从下到上越来越大，故水面高度增长的越来越慢，图象是越来越平缓的；
图 3 中球形容器中水面从下到上先是越来越大，到上半球后又越来越小，故水面高度先是增长的越来越慢，到上半球后又增长的越来越快，图象是先平缓，再变陡；
图 4 中容器中水面从下到上先是越来越小，然后又越来越大，故水面高度先是增长的越来越快然后又越来越慢，其图象是先陡再平缓．
故图 1 错，图 2 、图 3 、图 4 都正确．
故选C．
16. C【解析】当 01，fa=a，fa+1=2a+1−1=2a，
由 fa=fa+1，得 a=2a，解得 a=14 或 a=0（舍去）．
所以 f1a=f4=2×4−1=6．
当 a≥1 时，a+1≥2，所以 fa=2a−1，fa+1=2a+1−1=2a，
所以 2a−1=2a，无解．
综上，f1a=6．故选C．
17. D【解析】因为圆的半径为 1，所以阴影弓形所对扇形的圆心角的弧度数为 x，故 fx=212⋅x⋅12−12⋅12⋅sinx=x−sinx．当 0x，所以图象在直线 y=x 的左上方，即可得到答案．
也可以根据 fʹx 在 0,π 上单增且恒正，在 π,2π 上单减且恒正，所以在 0,π 上 fx 增长的越来越快，在 π,2π 上 fx 增长的越来越慢．
18. A【解析】由 f1+0=f1+f0+1，解得 f0=−1；
由 f−1+1=f−1+f1−6+1 及 f1=f−1，解得 f1=2；
f2=f1+1=f1+f1+6+1=11；
f3=f2+1=f2+f1+12+1=26．
19. A【解析】由 f(x) 关于点 (−34,0) 对称知， f(x−34) 为奇函数，故 f(x−34)=−f(−x−34) ，整理得 f(−x)=−f(x+32) ，再结合 f(x)=−f(x+32) ，得 f(x)=f(−x) ，故 f(x) 为偶函数，所以 f(−1)=f(1)=1 ， f(2)=f(−1)=1 ．
20. A
【解析】（1）当 −1≤x≤1，
此时 x2−1≤0，
m+2x−2=mx2+x2−1，
m+1x2−m+2x+1=0，
m+1x−1x−1=0，
x=1 是方程的一个根，
（2）当 x>1 或 x<−1，
此时 x2−1>0，
m+2x−2=mx2−x2+1，
所以 m−1x2−m+2x+3=0，
m−1x−3x−1=0，
因为 x≠1，
所以 m−1x=3，
若 m+1=0 或 m−1=0，
原方程至多 2 个根，与 3 个根矛盾，
所以 x1=1，x2=1m+1，x3=3m−1，
所以 −1≤1m+1<1,3m−1>1或3m−1<−1,
①若 m>1，
−m−1≤1m−1或3<1−m,
所以 m>0,m<4或m<−2,
所以 1②若 m<−1，
−m−1≥1>m+1,31−m,
所以 m<−2,m>4或m>−2,
所以 m 无解，
③若 −1 −m−1<11−m,
所以 m>0,m>4或m>−2,
所以 0综上 m∈0,1∪1,4．
第二部分
21. 0,+∞
22. −3,−2∪2,3
23. −4,2
【解析】当 x≤0 时，不等式 fx≥−1 可以化为 12x+1≥−1，
解之得 x≥−4，此时 −4≤x≤0；
当 x>0 时，不等式 fx≥−1 可以化为 −x−12≥−1，解之得 0综上所述，不等式 fx≥−1 的解集为 −4,2．
24. 12
【解析】由题意知 ∣x1−x2∣≤k∣x1−x2∣，即 k≥x1−x2∣x1−x2∣，即 k≥1x1+x2，又 x1,x2∈1,+∞ 且 x1≠x2，故 k 的最小值是 12．
25. −∞,0∪4,6
【解析】原问题等价于：设 a≠0，已知函数 fx=aex−x,x≤0x2−ax+a,x>0 有零点，且所有零点横坐标之和不大于 6，求 a 的取值范围．
分类讨论：
（1）当 a<0，x≤0 时，fx=aex−x，fʹx=aex−1<0，
故 fx 在 −∞,0 上单调递减，又 f0=a<0，fa=aea−1>0，
所以 fx 在 −∞,0 上有一个零点 x1<0，
当 x>0 时，fx=x2−ax+a，其对称轴为 x=a2<0，
则 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
又 f1=1>0，f0=a<0，则 fx 在 0,+∞ 上有一个零点 x2∈0,1，
x1+x2<6，所以符合题意；
（2）当 a>0 时，由（1）可知，a=xex 无交点，
即问题等价于 x>0 时，y=x2−ax+a 与 x 轴有交点，且零点之和不大于 6，
当 Δ=0 时，a=4，满足题意；当 Δ>0，此时取 a>4 部分．
因为 f0=a>0，x1+x2=a≤6，所以 4综上 a∈−∞,0∪4,6．
第三部分
26. 设该学校需购买 x 台文曲星，在甲、乙两家商场购买的费用分别为 y甲，y乙，
由题意：y甲=x⋅1200−x⋅20,x≤20800x,x>20，x∈N，
y乙=x⋅1200⋅80%=960x，x∈N；
y甲=y乙⇒1200−20x=960⇒x=12 得，当 x=12 时，去甲、乙两商场的花费一样多；
当 x<12x∈N 时，去乙商场花费较少；
当 x>12x∈N 时，去甲商场花费较少．
27. 如图所示，作出 y=0.7x，y=0.4x 及 x=−0.3 的图象，
易知 0.7−0.3<0.4−0.3．
28. （1） 由题意得：y=1.2×1+0.75x−1×1+x×1000×1+0.6x0整理得：y=−60x2+20x+2000 （2） 要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
y−1.2−1×1000>0,0 即
−60x2+20x>0,0 解不等式得
0答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 应满足 029. （1） 由题意得 Gx=2.8+x，所以
fx=Rx−Gx=−0.4x2+3.2x−2.80≤x≤5,8.2−xx>5.
（2） 当 x>5 时，因为函数 fx 递减，所以 fx当 0≤x≤5 时，函数 fx=−0.4x−42+3.6；
当 x=4 时，fx 有最大值为 3.6（万元）．
所以当工厂生产 400 台时，可使盈利最大为 3.6 万元．
30. （1） 由题意，可知 m24>1，解得 m<−2 或 m>2，
即 m 的取值范围为 −∞,−2∪2,+∞．
（2） 由 fx=m24x，gx=4m−m2x 都是指数函数，可得 0解得 0当 x=0 时，f0=g0=1，fx≥gx 成立；
当 x∈0,+∞ 时，幂函数 lt=tx 在区间 0,+∞ 上是增函数，
所以由 fx≥gx，可得 m24x≥4m−m2x，则 m24≥4m−m2，解得 m≤0 或 m≥165．
综上所述，实数 m 的取值范围是 165,2+3∪2+3,4．
（3） 因为函数 hx=fx,x<14m−m2x,x≥1 是 R 上的严格增函数，
所以 m24>1,4m−m2>0,m24≤4m−m2,
解得 m<−2或m>2,0因此，实数 m 的取值范围是 2,165．