备战2022年中考（通用版）一轮复习分类专项训练卷：锐角三角函数（word版，含解析）

备战2022年中考（通用版）一轮复习分类专项训练卷

锐角三角函数

一、选择题

1．的值是（   ）

A． B． C． D．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（    ）．

A． B． C． D．

5．在中，，，，那么的值等于（    ）

A． B． C． D．

6．一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（    ）

A．30° B． C． D．

7．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为(      )(结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）

A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm

8．图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．计算：（π﹣3）0＋（﹣）﹣2﹣4sin30°＝___．

10．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

11．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 ___m．（结果精确到0.1m，参考数据：1.73）

12．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．

13．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．

14．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）

三、解答题

15．计算：．

16．计算：．

17．如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛C在北偏东和北偏东方向上，已知小岛C周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．

18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

19．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

20．小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

21．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

22．如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为．

（1）风筝离地面多少m？

（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）

参考答案

1．B

【分析】

根据特殊角的三角函数值解答即可．

【详解】

解：tan30°=．

故选B．

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，牢记tan30°=、tan45°=1、tan60°=等特殊角的三角函数值是解题答本题的关键．

2．B

【分析】

如图，过作于 先求解 再利用即可得到答案.

【详解】

解：如图，过作于

AB＝AC＝5，BC＝6，

故选B

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，锐角的余弦的定义，掌握“等腰三角形的三线合一，锐角的余弦的定义”是解本题的关键.

3．D

【分析】

根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．

【详解】

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，

∴AD＝BD＝CD＝AB，

∴,

又∵CD＝3，

∴AB＝6，

，

∴＝＝，

故选：D．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．

4．D

【分析】

根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到的值．

【详解】

解：作CD⊥AB，交AB于点D，

由图可得，

AC＝，BC＝2，AB＝，

∵，

∴，

解得，CD＝，

∴sin∠BAC＝，

故选：D．

【点睛】

本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

5．A

【分析】

根据三角函数的比值即可得出答案．

【详解】

如图，．

故选：A．

【点睛】

本题考查锐角三角函数，，，，，掌握三角函数的比值是解题的关键．

6．B

【分析】

画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．

【详解】

解：如下图所示：

由题意即图可知：，，

在中，由勾股定理可得：，

坡度为：．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．

7．B

【分析】

过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出CM，再用CM减去MN即可．

【详解】

解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N

由题意可知MN=30cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°==0.94
∴CM≈56cm
∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）
故选：B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．

8．A

【分析】

在中，，可得的长度，在中，，代入即可得出答案．

【详解】

解：∵，

在中，，

∴，

在中，.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.

9．3

【分析】

直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【详解】

解：原式＝1＋4﹣4×

＝1＋4﹣2

＝3．

故答案为：3．

【点睛】

此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

10．326

【分析】

根据正切的定义即可求出BC．

【详解】

解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，

，

∴（米）

故答案为：326

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

11．8.5

【分析】

先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．

【详解】

解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是矩形，

∵BC＝4m，AB＝1.62m，

∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，

在Rt△AED中，

∵∠DAE＝60°，AD＝4m，

∴DE＝AD•tan60°＝4×＝4（m），

∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）

答：这棵树的高度约为8.5m．

故答案为：8.5．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

12．

【分析】

根据题意可知： ， ，， ，然后分别在 中在中，利用锐角三角函数求解即可．

【详解】

解：根据题意可知： ， ，， ，

在 中， ，

在中，，

∴ ，

即电视塔的高度为 米．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角锐角三角函数值．

13．57

【分析】

根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．

【详解】

解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，

∵，，，

∴ ，

∴四边形 是矩形，

∴ ，

在中， ，

在中， ，

∴ ，

即乙楼高度约为57 ．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并结合利用锐角三角函数解直角三角形．

14．10.5
 

【分析】

延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．

【详解】

解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=＝2，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2，
∴BE=BC+CF+EF=5+2+2=7+2，
∴AB=BE×tanE=（7+2）×1≈10.5米，
故答案为：10.5．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

15．6

【分析】

根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．

【详解】

解：原式=．

【点睛】

本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键．

16．-3

【分析】

根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．

17．有触礁的危险，见解析

【分析】

从点C向直线AB作垂线，垂足为E，设CE的长为x海里，根据锐角三角函数的概念求出x的值，比较即可．

【详解】

解：有触礁的危险．

理由：从点C向直线AB作垂线，垂足为E，

根据题意可得：AB=20海里，∠CAE=30°，∠CBE=45°，

设CE的长为x海里，

在Rt△CBE中：∵∠CBE=45°，

∴BE=CE=x海里，

∴AE=AB+BE=（20+x）海里，

在Rt△CAE中：∵∠CAE=30°，

∴tan30°=，

解得：x=10+10，

∵10+10＜30，

∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

18．米．

【分析】

作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．

【详解】

解：作于点，设米，

在中，，

则（米，

∵，且AE=8

∴

∴

在直角中，米，

在直角中，，

米．

，即．

解得：，

则米．

答：的高度是米．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

19．

【分析】

根据，然后根据即可得出答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，，

∴，即，

解得：m，

∵，

∴，即，

解得：m，

∴m ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．

20．

【分析】

作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．

【详解】

解：如图，作于E，于F，

，

四边形BCFE是矩形，

，，

设，则，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

解得：，

，

，

，

，

由勾股定理得，

，

，

答：公园北门A与南门B之间的距离约为．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．

21．7

【分析】

假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

【详解】

假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’

∵CD=12，∠DCE=60°

∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6

∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’

∴四边形DEE’D’是矩形

∴DE=D’E’=6，

∵∠D’CE’=39°

∴CE′=≈13

∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．

即

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．

【点睛】

本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．

22．（1）50；（2）128.6

【分析】

（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度；

（2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得．

【详解】

（1）如图，过作

m，

风筝离地面50m

（2）

相距128.6m．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．