数学八年级上册12.2 三角形全等的判定导学案

全等三角形判定二（ASA，AAS）（基础）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定3——“角边角”

全等三角形判定3——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定3——“角边角”

1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．

求证：AE＝CF．

【答案与解析】

证明：∵AD∥CB

      ∴∠A＝∠C

      在△ADF与△CBE中

     ∴△ADF≌△CBE （ASA）

∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF

故得：AE＝CF

【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

举一反三：

【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.

【答案】

证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.

∵AF∥DE，，∴∠AFB＝∠DEC.

又∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）.

类型二、全等三角形的判定4——“角角边” 

2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.

【答案与解析】

证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，

      ∴∠CAD＝∠BAE＝90°

      ∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD

      在△BAC和△EAD中

      ∴△BAC≌△EAD（AAS）

      ∴AC ＝AD

【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

举一反三：

【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.

求证：BE＝CF.

【答案】

证明：∵AD为△ABC的中线

∴BD＝CD
∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△BED和△CFD中

∴△BED≌△CFD（AAS）

∴BE＝CF

3、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：OE＝OF.

【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO

【答案与解析】

证明：∵AB∥DC

      ∴∠Ａ＝∠Ｃ

　　　在△ABO与△CDO中

∴△ABO≌△CDO（AAS）

∴AO＝CO ，BO=DO

在△AEO和△CFO中

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴OE＝OF.

【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.

【答案与解析】

设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.

在△ABD和△ABC中，

∴△ABD≌△ABC（ASA）

∴BD＝BC.

这名战士的方法有道理.

【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.