初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定学案及答案

全等三角形判定一（SSS，SAS）（提高）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定1——“边边边”

全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1. 全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.

【答案与解析】

证明：在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SSS）

∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.

【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.

举一反三：

【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.

【答案】

证明：连接DC，

      在△ACD与△BDC中

∴△ACD≌△BDC（SSS）

∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．

【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.

【答案与解析】

证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．

在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．

∴△ABD≌△ECD．

∴AB＝CE．

∵AC＋CE＞AE，

∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．

【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．

3、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，

求证：AB＝CD－BD．

【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC＝AE即可．

【答案与解析】

证明：在DC上取一点E，使BD＝DE

∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE

在△ABD和△AED中， BD＝DE，AD＝AD．

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴AB＝AE，∠B＝∠AED．

又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．

∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．

∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．

【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.

举一反三：

【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.

【答案】

证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

在△CBE和△CFE中，

∴△CBE≌△CFE（SAS）

∴∠B＝∠CFE

∵AE＝（AB＋AD），∴2AE＝ AB＋AD

∴AD＝2AE－AB

∵AE＝AF＋EF，

∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，

即AD＝AF

在△AFC和△ADC中

∴△AFC≌△ADC（SAS）

∴∠AFC＝∠D

∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.

∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？

【答案与解析】三个小石凳在一条直线上

证明：∵AB平行CD（已知）

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）

∵M在BC的中点（已知）

∴BM＝CM（中点定义）

在△BME和△CMF中

     ∴△BME≌△CMF（SAS）

∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°得到E，M，F在同一直线上.