初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定学案

全等三角形判定一（SSS，SAS）（基础）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定1——“边边边”

全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1. 全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

求证：RM平分∠PRQ．

【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.

【答案与解析】

证明：∵M为PQ的中点（已知），

∴PM＝QM

在△RPM和△RQM中，

∴△RPM≌△RQM（SSS）．

∴  ∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．

即RM平分∠PRQ.

【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.

举一反三：

【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.

【答案】

证明：连接DC，

      在△ACD与△BDC中

∴△ACD≌△BDC（SSS）

∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：BC＝DE．

【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.

【答案与解析】

证明：  ∵∠1＝∠2

        ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE

        在△ABC和△ADE中

        ∴△ABC≌△ADE（SAS）

        ∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）

【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.

3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD

  证明：延长AE交CD于F，

       ∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形

       ∴AB＝BC，BD＝BE

       在△ABE和△CBD中

       ∴△ABE≌△CBD（SAS）

       ∴AE＝CD，∠1＝∠2

       又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）

        ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°

        ∴AE⊥CD

【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.

举一反三：

【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，

求证：QC＝QB

【答案】

证明：∵ AP平分∠BAC
　　　∴∠BAP＝∠CAP
　　　在△ABQ与△ACQ中
　　　∵
　　　∴△ABQ≌△ACQ(SAS)

　　　∴ QC＝QB

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：在△DEH和△DFH中，

      ∴△DEH≌△DFH(SSS)

      ∴∠DEH＝∠DFH．

【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.

举一反三：

【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？

【答案】

证明： 在△OPE与△OPD中

∵

∴  △OPE≌△OPD （SSS）

∴ ∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等)

∴ OP平分∠AOB.