数学人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换学案

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这是一份数学人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换学案，共10页。

知识梳理
1．半角公式
2．辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(其中tan θ＝eq \f(b,a))．
名师导学
知识点1 运用半角公式求值
【例】已知sin α＝－eq \f(4,5)，π<α反思感悟
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

变式训练
已知cs 2θ＝－eq \f(23,25)，eq \f(π,2)<θ<π，求taneq \f(θ,2)的值．
知识点2 三角函数式的化简
【例】eq \f(（1＋sin α＋cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(π<α<2π)．
反思感悟
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．

变式训练
化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
知识点3 三角恒等变换的综合应用
【例】如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
变式训练
1．已知函数f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
当堂测评
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
2．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
3．已知cs θ＝－eq \f(7,25)，θ∈(π，2π)，求sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)的值．
教材考点
学习目标
核心素养
半角公式的推导
了解半角及其推导过程
逻辑推理
三角恒等变换
灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明
逻辑推理、数学运算
名师导学
知识点1 运用半角公式求值
【例】已知sin α＝－eq \f(4,5)，π<α[解] ∵π<α∴cs α＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)∴sin eq \f(α,2)＝ eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(2\r(5),5)，
cs eq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(5),5)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.
反思感悟
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

变式训练
已知cs 2θ＝－eq \f(23,25)，eq \f(π,2)<θ<π，求taneq \f(θ,2)的值．
解：因为cs 2θ＝－eq \f(23,25)，eq \f(π,2)<θ<π，依半角公式得
sin θ＝ eq \r(\f(1－cs 2θ,2))＝ eq \r(\f(1＋\f(23,25),2))＝eq \f(2\r(6),5)，
cs θ＝－ eq \r(\f(1＋cs 2θ,2))＝－ eq \r(\f(1－\f(23,25),2))＝－eq \f(1,5)，
所以taneq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1＋\f(1,5),\f(2\r(6),5))＝eq \f(\r(6),2).
知识点2 三角函数式的化简
【例】eq \f(（1＋sin α＋cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(π<α<2π)．
[解] 原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2·2cs2\f(α,2)))
＝eq \f(2cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))
＝eq \f(cs \f(α,2)（－cs α）,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))).
又∵π<α<2π，∴eq \f(π,2)∴cseq \f(α,2)<0，
∴原式＝eq \f(cs\f(α,2)·（－cs α）,－cs\f(α,2))＝cs α.
反思感悟
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．

变式训练
化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0＜α＜π)．
解：因为tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)，
所以(1＋cs α)tan eq \f(α,2)＝sin α，
又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α，
且1－cs α＝2sin2 eq \f(α,2)，
所以原式＝eq \f(－sin α－sin α,\r(2sin2 \f(α,2)))＝eq \f(－2sin α,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＝－eq \f(2\r(2)sin \f(α,2)cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))).
因为0＜α＜π，
所以0＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2).所以sin eq \f(α,2)＞0.
所以原式＝－2eq \r(2)cs eq \f(α,2).
知识点3 三角恒等变换的综合应用
【例】如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
[解] 因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10eq \r(3) m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10eq \r(3)sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
所以10eq \r(3)sin 4θ＝30sin 2θ，
即20eq \r(3)sin 2θcs 2θ＝30sin 2θ，
所以cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)，又2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以2θ＝eq \f(π,6)，所以θ＝eq \f(π,12)，
所以AE＝30sin eq \f(π,6)＝15(m)，
所以θ＝eq \f(π,12)，建筑物AE的高为15 m.
变式训练
1．已知函数f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.f(x)＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))＝eq \f(1,2)sin 2x，是奇函数．故选A.
2．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcs α
＝R(sin α＋cs α)＋R
＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
因为0<α所以l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最长．
当堂测评
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：选D cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(2,3).
2．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
解析：y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(cs 2x＋1,2)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
3．已知cs θ＝－eq \f(7,25)，θ∈(π，2π)，求sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)的值．
解：因为θ∈(π，2π)，所以eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin eq \f(θ,2)＝ eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(4,5)，cs eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝－eq \f(3,5)，所以sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(1,5).

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