数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时学案设计

第3课时   两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用

名师导学

知识点1    三角函数公式的逆用

【例】 求值：(1)sin －cos ；(2).

反思感悟　

(1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．　

变式训练

1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值等于(　　)

A．0　　　　　　　　　　　 B.

C.   D．－

2．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．　

3．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，则a，b的大小关系是________(用“<”连接)．

知识点2    三角函数公式的活用

【例】计算：(1)tan ＋tan ＋tan tan ；

(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)．

反思感悟　

tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β；

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．　

变式训练

1．计算：tan 73°＋tan 193°－tan 73°tan 13°＝________．

2．已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________．

知识点3    三角函数式化简求值

【例】化简：(1)(tan 10°－)·；

(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．

反思感悟　

三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．

(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；

(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；

(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形使用这些公式．　

变式训练

化简：(1)sin θ＋sin ＋sin ；

(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]×.

当堂测评

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B.

C．－   D.

2．函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)

A.   B．－2

C．－   D.

3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________．

4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．

名师导学

知识点1    三角函数公式的逆用

【例】 求值：(1)sin －cos ；

(2).

【解】　(1)sin －cos

＝2

＝2sin＝2sin

＝－.

(2)＝

＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.

反思感悟　

(1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．　

变式训练

1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值等于(　　)

A．0　　　　　　　　　　　 B.

C.   D．－

解析：选B.因为cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝.故选B.

2．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．　

解析：sin α＋cos＝sin α＋cos αcos ＋sin α·sin ＝sin α＋cos α＝＝

＝

sin＝.

所以sin＝.

所以sin＝－sin

＝－.

答案：－

3．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，则a，b的大小关系是________(用“<”连接)．

解析：a＝sin(14°＋45°)＝sin 59°，

b＝sin(16°＋45°)＝sin 61°，

由y＝sin x在(0°，90°)上的单调性可知a<b.

答案：a<b

知识点2    三角函数公式的活用

【例】计算：(1)tan ＋tan ＋tan tan ；

(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)．

【解】　(1)tan＋tan＋tantan＝tan(1－tantan)＋tantan＝＋tantan＝.

(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21° tan 24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan 45°＋tan 21°· tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°·tan 24°＝2，

同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，

所以原式＝2×2＝4.

反思感悟　

tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β；

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．　

变式训练

1．计算：tan 73°＋tan 193°－tan 73°tan 13°＝________．

解析：原式＝tan 73°－tan 13°－tan 73°tan 13°

＝tan(73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－tan 73°tan 13°＝.

答案：

2．已知△ABC中，tan Atan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________．

解析：依题意有＝－，

即tan(A＋B)＝－.

又因为0<A＋B<π，

所以A＋B＝，

所以C＝π－A－B＝.

答案：

知识点3    三角函数式化简求值

【例】化简：(1)(tan 10°－)·；

(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．

【解】　(1)原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝·

＝·

＝－·＝－＝－2.

(2)原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.　

反思感悟　

三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．

(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；

(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；

(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形使用这些公式．　

变式训练

化简：(1)sin θ＋sin ＋sin ；

(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]×.

解：(1)原式＝sin θ＋sin θ·cos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.　

(2)原式＝×sin 80°＝×cos 10°

＝2(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)

＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.

当堂测评

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B.

C．－   D.

解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.

2．函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)

A.   B．－2

C．－   D.

解析：选C.因为y＝sin＋sin＝sin 2xcos＋cos 2x·sin＋sin 2xcos－cos 2xsin＝sin 2x，所以所求函数的最小值为－.

3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________．

解析：因为B为锐角，sin B＝，

所以cos B＝，

所以tan B＝，

所以tan(A＋B)＝＝＝1.

因为0<A＋B<π，所以A＋B＝.

答案：

4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．

解：因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α

＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α

＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝.

所以sin β＝－，又β是第三象限角，

所以cos β＝－＝－，

所以sin＝sin βcos ＋cos βsin

＝×＋×

＝－.