人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时导学案及答案

第2课时   两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学习目标

知识梳理

名师导学

知识点1    给角求值

【例】求值：(1)cos 105°；

(2)tan 75°；

(3).

反思感悟　

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．

变式训练

求下列各式的值．

(1)sin 105°；(2)tan 165°；(3).

知识点2    给值求值

【例】已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．

反思感悟　

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

变式训练

1．已知α∈，sin ＝，则sin α＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．－或   D．－

2．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求：

(1)sin(α－β)的值；

(2)tan(α＋β)的值．

知识点3    给值求角

【例】已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π.

(1)求tan(α－β)；

(2)求α＋β的值．

反思感悟　

(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．

(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　

变式训练

若sin ＝－，sin ＝，其中<α<，<β<，求α＋β的值．

当堂测评

1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．－

C.   D．－

2．cos的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A．3　　　　B．－3  C.　　　　 D．－

4．若cos α＝－，α∈，则cos＝________．

5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.

名师导学

知识点1    给角求值

【例】求值：(1)cos 105°；

(2)tan 75°；

(3).

【解】　(1)cos 105°＝cos(60°＋45°)

＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°

＝×－×＝.

(2)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.

(3)原式＝＝

＝＝sin 30°＝.

反思感悟　

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．

变式训练

求下列各式的值．

(1)sin 105°；(2)tan 165°；(3).

解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°＝×＋×＝.

(2)tan 165°＝tan(180°－15°)＝－tan 15°＝－tan(45°－30°)

＝－

＝－＝－2.

(3)

＝＝

＝

＝sin 30°＝.

知识点2    给值求值

【例】已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．

【解】　因为＜β＜α＜，

所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜.

所以sin(α－β)＝＝＝，

cos(α＋β)＝－＝－＝－.

所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－.

反思感悟　

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

变式训练

1．已知α∈，sin ＝，则sin α＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．－或   D．－

解析：选B.由已知，可得<α＋<，cos ＝－，

所以sin α＝sin

＝sin cos －cos ·

sin ＝×＝.

故选B.

2．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角．求：

(1)sin(α－β)的值；

(2)tan(α＋β)的值．

解：因为cos α＝，cos β＝且α，β都是锐角．

所以sin α＝＝，

sin β＝＝.

(1)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

＝×－×＝.

(2)tan α＝＝2，

tan β＝＝.

所以tan(α＋β)＝＝－2.

知识点3    给值求角

【例】已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π.

(1)求tan(α－β)；

(2)求α＋β的值．

【解】　(1)因为tan α＝2，tan β＝－，

所以tan(α－β)＝＝＝7.

(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，

又因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，在与之间，只有的正切值等于1.所以α＋β＝.

反思感悟　

(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．

(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　

变式训练

若sin ＝－，sin ＝，其中<α<，<β<，求α＋β的值．

解：因为<α<，<β<，

所以－<－α<0，<＋β<π.

所以cos ＝＝，

cos ＝－＝－，

所以cos (α＋β)＝cos

＝cos ·cos ＋sin sin ＝×＋×＝－.

又因为<α＋β<π，

所以α＋β＝π.

当堂测评

1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．－

C.   D．－

解析：选D.原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－.

2．cos的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.cos＝－cos＝－cos＝－

＝－＝.

3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A．3　　　　B．－3  C.　　　　 D．－

解析：选C.tan(α－β)＝＝＝.

4．若cos α＝－，α∈，则cos＝________．

解析：因为cos α＝－，α∈，

所以sin α＝＝＝，

所以cos＝cos αcos －sin α·sin ＝－×－×＝－.

答案：－

5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.

解：tan＝tan＝＝＝.