2020-2021学年5.5 三角恒等变换第4课时导学案及答案

第4课时      二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标

知识梳理

名师导学

知识点1    给角求值

【例】求下列各式的值．

(1)1－2sin2750°；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

反思感悟　

解给角求值问题的方法

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　　　

变式训练

1．cos4－sin4等于(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B．－

C.  D.

2．求值＝________．

知识点2    给值求值

【例】已知<α<π，sin α＝.

(1)求tan 2α的值；

(2)求cos的值．

反思感悟　

解决给值求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；

(3)注意几种公式的灵活应用，如：

①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；

②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos.　　　　

变式训练

1．已知＝，则sin 2x＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

2．在△ABC中，tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________．

知识点3    化简与证明

【例】(1)化简：－；

(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.

反思感悟　

三角函数式的化简与证明

(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ；

(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　　　

变式训练

1．α为第三象限角，则－＝________．

2．求证：＝sin 4α.

当堂测评

1．若sin＝，则cos α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D．－2

3．化简：－tan θtan 2θ.

名师导学

知识点1    给角求值

【例】求下列各式的值．

(1)1－2sin2750°；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

[解]　(1)原式＝cos(2×750°)

＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.

(2)原式＝＝＝＝2.

(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

＝·sin 40°cos 40°cos 80°

＝sin 80°cos 80°

＝·sin 160°

＝＝.

反思感悟　

解给角求值问题的方法

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　　　

变式训练

1．cos4－sin4等于(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选D　原式＝＝cos＝.

2．求值＝________．

解析：＝＝tan 60°＝.

答案：

知识点2    给值求值

【例】已知<α<π，sin α＝.

(1)求tan 2α的值；

(2)求cos的值．

[解]　(1)由题意得cos α＝－，∴tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝.

(2)∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，

sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

∴cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝－×＋×＝－.

反思感悟　

解决给值求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；

(3)注意几种公式的灵活应用，如：

①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；

②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos.　　　　

变式训练

1．已知＝，则sin 2x＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选A　∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.

2．在△ABC中，tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________．

解析：∵tan A＝.tan B＝2，

∴tan(A＋B)＝＝＝－2.

∴tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.

答案：

知识点3    化简与证明

【例】(1)化简：－；

(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.

[解]　(1)原式＝＝＝tan 2θ.

(2)证明：左边＝－

＝

＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2A·cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立．

反思感悟　

三角函数式的化简与证明

(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ；

(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　　　

变式训练

1．α为第三象限角，则－＝________．

解析：因为α为第三象限角，所以cos α<0，sin α<0，

所以－＝－＝－＝0.

答案：0

2．求证：＝sin 4α.

证明：

＝2cos2α·(－cos 2α)·

＝cos2αcos 2αtan α

＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α

＝sin 4α，

所以原等式成立．

当堂测评

1．若sin＝，则cos α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选C　因为sin＝，

所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.

2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D．－2

解析：选A　由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.

3．化简：－tan θtan 2θ.

解：－tan θtan 2θ＝－＝＝＝＝1.