高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案
展开第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
学习目标
教材考点 | 学习目标 | 核心素养 |
正、余弦函数的单调性 | 理解正弦函数与余弦函数的单调性,会求函数的单调区间 | 数学运算 |
利用正、余弦函数的单调性比较大小 | 会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小 | 数学运算、逻辑推理 |
正、余弦函数的最值(值域) | 会利用三角函数单调性求函数的最值和值域 | 数学运算 |
知识梳理
正弦、余弦函数的图象和性质
| 正弦函数 | 余弦函数 | ||
图象 | ||||
值域 | [-1,1] | [-1,1] | ||
单调性 | 增区 间 | ,k∈Z | , k∈Z | |
减区 间 | , k∈Z | [2kπ,π+2kπ], k∈Z | ||
最 值 | ymax=1 | x=+2kπ,k∈Z | x=2kπ,k∈Z | |
ymin=-1 | x=-+2kπ,k∈Z | x=π+2kπ,k∈Z | ||
名师导学
知识点1 正、余弦函数的单调性
【例】求下列函数的单调区间:
(1)y=cos;
(2)y=2sin.
反思感悟
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
变式训练
1.函数y=|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
2.求函数y=sin,x∈的单调递减区间.
知识点2 比较三角函数值的大小
【例】不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)sin 250°与sin 260°;(2)cos与cos.
反思感悟
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较;
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.
变式训练
不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)sin与sin;
(2)sin 194°与cos 160°.
知识点3 正、余弦函数的值域(最值)
【例】(1)求函数y=2cos,x∈的值域;
(2)求函数y=cos2x+4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合.
反思感悟
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数(余弦函数)的有界性,注意对a正负的讨论;
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值;
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
变式训练
求函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值.
当堂测评
1.函数f(x)=2sin x在区间上的最大值为( )
A.0 B.-
C. D.2
2.函数y=3cos在x=________时,y取最大值.
3.sin________sinπ(填“>”或“<”).
4.求函数f(x)=sin在上的单调递增区间.
名师导学
知识点1 正、余弦函数的单调性
【例】求下列函数的单调区间:
(1)y=cos;
(2)y=2sin.
[解] (1)当2kπ-π≤+≤2kπ,k∈Z时,函数单调递增,
故函数的单调递增区间是(k∈Z).
当2kπ≤+≤2kπ+π,k∈Z时,
函数单调递减,故函数的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵y=2sin=-2sin,
∴函数y=-2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定.
2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),①
2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z).②
解①得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
解②得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故函数y=2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z),(k∈Z).
反思感悟
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
变式训练
1.函数y=|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
解析:选C 函数y=|cos x|=图象如下图所示:
单调减区间有,,…,故选C.
2.求函数y=sin,x∈的单调递减区间.
解:由+2kπ≤3x+≤+2kπ(k∈Z),
得+≤x≤+(k∈Z).
又x∈,
所以函数y=sin,x∈的单调递减区间为,.
知识点2 比较三角函数值的大小
【例】不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)sin 250°与sin 260°;(2)cos与cos.
[解] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,
且90°<250°<260°<270°,
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos=cos=cos,
cos=cos=cos.
∵函数y=cos x在[0,π]上单调递减,
且0<<<π,
∴cos>cos,
∴cos>cos.
反思感悟
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较;
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.
变式训练
不通过求值,比较下列各组数的大小:
(1)sin与sin;
(2)sin 194°与cos 160°.
解:(1)sin=sin=sin,
sin=sin=sin ,
∵y=sin x在上是增函数,
∴sin<sin ,
即sin<sin π.
(2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,
∴sin 14°<sin 70°,
∴-sin 14°>-sin 70°,
即sin 194°>cos 160°.
知识点3 正、余弦函数的值域(最值)
【例】(1)求函数y=2cos,x∈的值域;
(2)求函数y=cos2x+4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合.
[解] (1)∵-<x<,
∴0<2x+<,
∴-<cos<1,
∴函数y=2cos,x∈的值域为(-1,2).
(2)y=cos2x+4sin x
=1-sin2x+4sin x
=-sin2x+4sin x+1
=-(sin x-2)2+5.
∴当sin x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,ymax=4;
当sin x=-1,即x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-4.
∴ymax=4,此时x的取值集合是
;
ymin=-4,此时x的取值集合是
.
反思感悟
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数(余弦函数)的有界性,注意对a正负的讨论;
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值;
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
变式训练
求函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值.
解:因为f(x)=sin2x+cos x-,
f(x)=1-cos2x+cos x-,
令cos x=t且t∈[0,1],
则y=-t2+t+=-+1,
则当t=时,f(x)取最大值1.
当堂测评
1.函数f(x)=2sin x在区间上的最大值为( )
A.0 B.-
C. D.2
解析:选D 因为x∈,所以当x=时,
函数f(x)有最大值2.
2.函数y=3cos在x=________时,y取最大值.
解析:当函数取最大值时,x-=2kπ(k∈Z),
x=4kπ+(k∈Z).
答案:4kπ+(k∈Z)
3.sin________sinπ(填“>”或“<”).
解析:sinπ=sin=sin,
sinπ=sin=sin.
因为y=sin x在上单增,
又0<<<,
所以sin<sin,
所以sin<.
答案:<
4.求函数f(x)=sin在上的单调递增区间.
解:令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,又0≤x≤,
所以f(x)在上的单调递增区间是.
高考数学一轮复习第2章第2课时函数的单调性与最值学案: 这是一份高考数学一轮复习第2章第2课时函数的单调性与最值学案,共18页。
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优质第2课时导学案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优质第2课时导学案,共13页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,课堂小结,参考答案等内容,欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时学案设计: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时学案设计,共7页。