人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第1课时学案

第1课时   两角和与差的余弦公式

学习目标

知识梳理

名师导学

知识点1    给角求值问题

【例】(1)cos(－15°)的值为(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D．－

(2)cos 105°＋sin 105°.

反思感悟　

利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．　　　　

变式训练

1．cos 105°＝________．

2．求下列各式的值：

(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；

(2)sin 100°·sin(－160°) ＋cos 200°·cos(－280°)．

知识点2    给值求值问题

【例】(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos(α－β)的值．

(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．

反思感悟　

给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　

变式训练

1．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．

2．已知sin＝，且π<α<π，求cos α的值．

知识点3    给值求角问题

【例】已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值．

反思感悟　

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；

(3)结合三角函数值及角的范围求角．　

变式训练

已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．

当堂测评

1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

2．cos(－75°)的值(　　)

A.  B.

C.  D.

3．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝________．

4．化简：＝________．

名师导学

知识点1    给角求值问题

【例】(1)cos(－15°)的值为(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D．－

(2)cos 105°＋sin 105°.

(1)[解析]　cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)

＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C.

[答案]　C

(2)[解]　cos 105°＋sin 105°

＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°

＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.

反思感悟　

利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．　　　　

变式训练

1．cos 105°＝________．

解析：原式＝cos(150°－45°)

＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°

＝－×＋×

＝.

答案：

2．求下列各式的值：

(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；

(2)sin 100°·sin(－160°) ＋cos 200°·cos(－280°)．

解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°

＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.

(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)

＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°

＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)

＝－cos(20°－80°)＝－.

知识点2    给值求值问题

【例】(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos(α－β)的值．

(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．

【解】　(1)因为cos α＝，α是第四象限角，

所以sin α＝－＝－＝－，

因为sin β＝，β是第二象限角，

所以cos β＝－＝－＝－，

则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

(2)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，

由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，

又sin α＝，所以cos α＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.

反思感悟　

给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　

变式训练

1．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．

解析：因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－＝－＝－，

所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.

答案：

2．已知sin＝，且π<α<π，求cos α的值．

解：因为π<α<π，

所以π<α＋<2π.所以cos>0，

所以cos＝＝＝，

所以cos α＝cos＝coscos ＋sin sin

＝×＋×＝.

知识点3    给值求角问题

【例】已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值．

[解]　∵α，β均为锐角，

∴cos α＝，cos β＝.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，

∴0<α－β<.

故α－β＝.

反思感悟　

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；

(3)结合三角函数值及角的范围求角．　

变式训练

已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．

【解】　因为α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，

所以sin α＝＝，

sin(α＋β)＝＝.

又因为β＝(α＋β)－α，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.

又因为β∈，所以β＝.

当堂测评

1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.

2．cos(－75°)的值(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)×cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝×－×＝，故选C.

3．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝________．

解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.

答案：

4．化简：＝________．

解析：

＝

＝＝.

答案：