高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直同步训练题

8.6.3  平面与平面的垂直  随堂同步练习

一、单选题

1．下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是(  )

A．①③ B．②④

C．③④ D．①②

2．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)

A．60°    B．120°

C．60°或120°    D．不确定

3．三棱锥中，，，，则二面角等于

A． B． C． D．

4．在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面平面 D．平面平面

5．若平面平面，平面平面，则（    ）

A．

B．

C．与相交但不垂直

D．以上都有可能

6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．//平面

D．以上都有可能

8．如图所示，在斜三棱柱中，，则点在底面上的射影必在（    ）

A．直线上 B．直线上

C．直线上 D．内部

9．如果直线，与平面满足，那么必有（    ）

A．和 B．和

C．且 D．和

10．设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）

A．存在唯一直线，使得，且

B．存在唯一直线，使得，且

C．存在唯一平面，使得，且

D．存在唯一平面，使得，且

11．在空间四边形中，若，则有（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

12．已知直线,和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是

A． B． C． D．

13．若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①；

②；

③.

其中正确的命题有（   ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

14．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（    ）

A．平面与平面平面都垂直

B．它们两两垂直

C．平面与平面垂直，与平面不垂直

D．平面与平面、平面都不垂直

15．在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面平面

C．平面平面

D．平面平面

二、填空题

16．如图所示，在正方体中，截面与底面所成二面角的大小为________.

17．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.

18．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.

19．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.

三、解答题

20．在直三棱柱中，，为棱上任一点.

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面平面.

21．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.

求证：（1）底面；

（2）平面；

（3）平面平面.

答案解析

1．B

【解析】

对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．

2．C

【详解】

∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，
它与二面角的平面角相等或互补，
故二面角的平面角的大小为60°或120°．
故选：C．

3．C

【详解】

取中点 ,连结 ,

三棱锥中，，

所以

是二面角的平面角，

，

，

，

，

二面角的平面角的度数为，故选C.

4．C

【详解】

由题意，在正四面体中，分别是的中点，

则，可得平面，故A正确，

若平面，垂足为，则在上，则，

又，故平面，故B正确.

由平面，可得平面平面，故D正确.

5．D

【详解】

在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.

6．C

【解析】

对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．

7．A

【详解】

∵平面，平面平面，且平面平面， ，

∴平面.

8．A

【详解】

因为，，

所以平面，平面，

所以平面平面，

故在平面上的射影H必在两平面的交线上.

故选：A.

9．A

【详解】

故选：A

10．C

【详解】

过直线上任意一点，作的平行线，由相交确定一个平面.直线只需垂直于平面，就会与垂直，这样的直线有无数条，故A错误.因为不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C.

11．D

【详解】

由题意，知，又由，可得平面，

又由平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面

12．C

【解析】

已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m，nα，应增加的条件n⊥m，才能使得n⊥β.

13．C

【详解】

①若；可能相交，也可能平行，错误

②；成立，③，成立，故选C.

14．A

【详解】

∵平面，平面，∴.

又∵，，∴平面.

∵平面，平面平面.

∵，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

由已知易得平面与平面不垂直，故选A.

15．D

【详解】

在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故，

所以，故，

折起后仍然满足.因为平面平面，平面，

平面平面，

所以平面，因平面，所以.

又因为，，所以平面，

因平面，所以平面平面.

16．

【详解】

平面，

，

为所求二面角的平面角，其大小为.

17．

【详解】

如图，设两个矩形分别为矩形、矩形，

因为平面平面，平面平面，

平面，，故平面，而平面，

所以，同理.

由题意，两个矩形的对角线长分别为，

所以，

所以.故填.

18．13

【详解】

取的中点，连接.

因为，，所以，所以.

因为，是的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，.

19．2.

【详解】

取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.

20．

【详解】

（1）由直三棱柱，得.

因为平面平面，所以直线平面.

（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以.

又因为平面平面，且，

所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

21．

【详解】

（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．