专题15 反比例函数及其应用（课件）

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1.反比例函数的概念：一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k（k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2.反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．关于直线y=x，y=-x成轴对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
3.反比例函数的性质：（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．在两支上，第一象限y值大于第三象限y值．（2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，随x的增大而增大．在两支上，第二象限y值大于第四象限y值．【注意】（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；（2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题．
4.反比例函数中反比例系数的几何意义：如下图，过反比例函数 （k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．∵ ，∴xy=k，S=|k|．
5.常见的与反比例函数有关的图形面积：
【例1】（2020•海南9/22）下列各点中，在反比例函数 图象上的是（ ）A．（-1，8）B．（-2，4）C．（1，7）D．（2，4）
【分析】由于反比例函数 中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．【解答】解：A、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；B、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．故选：D．
【例2】（2020•山西7/23）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 （k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵反比例函数 （k＜0）的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，而x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0＜y1＜y2．即y2＞y1＞y3．故选：A．
【例3】（2020•兴安盟•呼伦贝尔12/26）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数y=-cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D.
【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数 的图象在第二、四象限，一次函数y=-cx+b经过第一、二、四象限，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
【例4】（2020•赤峰13/26）如图，点B在反比例函数 （x＞0）的图象上，点C在反比例函数 （x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBD＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，∵BC∥y轴，AC⊥BC，∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，S矩形ODBH＝|6|＝6，∴S矩形ACBD＝2+6＝8，∴△ABC的面积＝ S矩形ACBD＝4．故选：B．
1.反比例函数解析式的确定：确定的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2.求反比例函数表达式的一般步骤：（1）设出函数的一般形式．（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于k的方程．（3）解方程，求得k的值．（4）将所求得的k的值代入到函数表达式中．
【例5】（2020•上海4/25）已知反比例函数的图象经过点（2，-4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：设反比例函数解析式为 ，将（2，-4）代入，得： ，解得k=-8，所以这个反比例函数解析式为 ，故选：D．
【例6】（2019·安徽省5/23）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A' 在反比例函数 的图象上，则实数k的值为（　　） A．3B． C．﹣3 D．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入 得k＝1×3＝3．故选：A．
1.反比例函数应用问题的求解思路：建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：建立函数模型的思路主要有两种：（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式．
【例7】（2020•河北19/26）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1~8的整数）．函数（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k= ；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m=　　；（3）若曲线L使得T1 ~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有　　个．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（-16，1），T2（-14，2），T3（-12，3），T4（-10，4），T5（-8，5），T6（-6，6），T7（-4，7），T8（-2，8），∵L过点T1，∴k=-16×1=-16，故答案为：-16；
（2）∵L过点T4，∴k=-10×4=-40，∴反比例函数解析式为： ，当x=-8时，y=5，∴T5在反比例函数图象上，∴m=5，故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（-16，1），T8（-2，8）时，k=-16，若曲线L过点T2（-14，2），T7（-4，7）时，k=-14×2=-28，若曲线L过点T3（-12，3），T6（-6，6）时，k=-12×3=-36，若曲线L过点T4（-10，4），T5（-8，5）时，k=-40，L曲线L使得T1 ~T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴-36＜k＜-28，∴整数k =-35，-34，-33，-32，-31，-30，-29共7个，∴答案为：7．