专题08 一元二次方程（课件）

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1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）A．x2+1=0B．C．ax2+bx+c=0D．（x+1）（x–1）=x2+x+1
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A．【答案】A.
【例2】（2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为 ．
【解答】解：∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23．故答案为：23．
1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.2.常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方．（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解．
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为 （ ）．（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a =0或x-b=0来求解．
3.选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.
【例3】（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【例4】（2019•呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，∴ ， ．
【例5】（2019·通辽6/26）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　） A．48B．24 C．24或40 D．48或80
【解答】解： x2﹣8x+15＝0 可化为（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为 ，∴菱形的面积＝ ．故选：B．
【例6】若实数a、b满足(4a+4b) (4a+4b－2)－8=0，则a+b=__________.
【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得 ，x2=1．则a+b的值是 或1．故答案是： 或1．
1．一元二次方程根的判别式： b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式．2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）当 =b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即 ；（2）当 =b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即（3）当 =b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．
【例7】（2020•吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式 =b2-4ac即可求出值．【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，∴ =b2-4ac =9+4=13．所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．故答案为：13．【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
【例8】（2020•北京10/28）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【分析】根据根的判别式 ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴ ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．
【例9】（2020•新疆兵团5/23）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． B．x2+2x+4＝0 C．x2-x+2＝0 D．x2-2x＝0
【解答】解：A．此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意；B．此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意；C．此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意；D．此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．
【例10】（2020•河南7/23）定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．【解答】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴ ，故选：A．
1. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有 ， ．2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：（1） ； （2） ；（3 ） ；（4） ．
【例11】（2020•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5．请你写出正确的一元二次方程 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，解得b=-6，c=6，所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0．故答案为x2-6x+6=0．
【例12】（2019•呼和浩特8/25）若x1， x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4 x12 +17的值为（　　）A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17 ＝x12+x22﹣5x12+17 ＝(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17＝24﹣5x22 ＝24﹣5(﹣1﹣x1)2 ＝24﹣5(x12+x1+1) ＝24﹣5×(3+1) ＝4，故选：D．
1.列一元二次方程解应用题的步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步.
2.常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：①增长率＝ ×100%；②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x) 2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1–x)，第三年的产值为a(1–x) 2．
（2）利润等量关系：①利润＝售价-成本；②利润率＝利润成本×100%.③总利润=单件的利润×数量．（3）面积问题：充分利用各种图形对应的面积公式.
【例13】（2020•河南8/23）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．5000(1+2x)=7500B．5000×2(1+x)=7500C．5000(1+x)2=7500D．5000+5000(1+x)+ 5000(1+x)2=7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×(1+增长率)2=2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000(1+x)2=7500，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．
【例14】（2020•通辽15/26）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 (1+x)2=1691+x =±13x1 =12， x2=-14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．
【例15】（2020•山西14/23）如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
【解答】解：设底面长为a cm，宽为b cm，正方形的边长为x cm，根据题意得： ，解得a=10-2x，b=6-x，代入ab=24中，得：(10-2x)( 6-x)=24，整理得：x2-11x+18=0，解得x=2或x=9（舍去），答；剪去的正方形的边长为2 cm．故答案为：2．