专题01 实数（学案）

这是一份专题01 实数（学案），共17页。

2021年中考数学一轮专题复习
学案01 实数

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
实数、相反数、绝对值、倒数
理解实数、相反数、绝对值、倒数的意义，会比较实数的大小
有理数的有关概念及有理数的大小比较．
常以选择题、填空题的形式命题
2
数轴
理解数轴的概念，能用数轴上的点表示有理数
利用数轴解决数形结合问题．
常以选择题、填空题的形式命题
3
非负数
掌握非负数的性质，能求某些特殊等式中字母的值
非负数性质的运用．
常以选择题、填空题的形式命题
4
近似数、科学记数法
了解近似数的概念，能按问题的要求对结果取近似值，会用科学记数法表示数
概念的理解以及在实际生活中的应用．
常以选择题、填空题的形式命题
5
实数的混合运算
①掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主)；②理解实数的运算律，能运用运算律简化运算，并能运用实数的运算解决简单的问题
运算法则、运算顺序的理解、运用和计算的准确性、迅速性．
以选择题、填空题为主，有时也以简单解答题的形式命题

思维导图


知识点1：实数的有关概念

知识点梳理

1．实数：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数．
（2）分类：①按定义分类 ②按大小分类

（3）实数与数轴上的点是一一对应的．
【注意】常见的4种无理数类型：
①根号型：如，等开方开不尽的数；
②三角函数型：如sin60°，tan30°等；
③构造型（特殊规律型）：如0．1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）等；
④与π有关的数：如，π-1等．
判断一个数是不是无理数，不要只看形式，要看化简结果是不是无限不循环小数．
2．数轴：
规定了原点、正方向和 单位长度 的直线叫做数轴．数轴上的点与实数一一对应． 
3．倒数：
当a≠0时，a与互为倒数，即a、b互为倒数⇔ab＝ 1 ．
0没有倒数，倒数等于本身的数是±1． 
4．相反数：
a的相反数是－a，0的相反数为0；
a、b互为相反数⇔a＋b＝0．
5．绝对值：
数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|，离原点越远的数的绝对值越大．
|a|＝
6．实数的比较大小：
（1）性质比较法：
①正数>0>负数；
②两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而　小　　； 
③若一组数据中有正数，0，负数，求最大的数时在正数中找，求最小的数时在负数中找．
（2）数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数　　大　　． 
（3）差值比较法：对于任意实数a，b：a-b>0⇔　a>b ；a-b=0⇔　a=b ；a-b<0⇔　a 7．非负数：
非负数：正数和 0 统称非负数．
若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于 0 ，
即若A≥0，B≥0，C≥0，A＋B＋C＝0，
则A＝B＝C＝0．
典型例题

【例1】（2020•福建14/25）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 米．
【考点】正数和负数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．
【解答】解：规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，
低于海平面的高度记为负数，
“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，
该处的高度可记为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【例2】（2020•河南11/23）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【考点】估算无理数的大小
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【例3】（2020•鄂尔多斯1/24）实数﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【考点】算术平方根；实数的性质．
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：实数﹣的绝对值是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
【例4】（2020•江西1/23）-3的倒数是　　
A．3 B． C． D．
【考点】倒数
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：的倒数是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【例5】（2020•北京6/28）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

【考点】实数与数轴．
【答案】B
【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．
【解答】解：因为1＜a＜2，
所以﹣2＜﹣a＜﹣1，
因为﹣a＜b＜a，
所以b只能是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．
知识点2：近似数与科学记数法

知识点梳理

1．近似数：表示数据时，有时很难取得准确数，或者不必使用准确数，我们可以使用近似数来表示，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度来表示．
2．科学记数法：（1）定义：把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
（2）n值的确定：设这个数为m：
①当|m|≥10时，n等于原数的整数位数减1；
②当|m|<1时，|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零)．
【注意】遇到带单位的数，注意单位的换算：1亿=108，1万=104，1 mm=10-3m等．
3．科学记数法的还原
（1）绝对值大于10的数的还原：将数a的小数点向右移动n位；
（2）绝对值大于0且小于1的数的还原：将数a的小数点向左移动|n|位．
典型例题

【例6】（2020•海南2/22）从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约772000000千瓦时．数据772000000可用科学记数法表示为　　
A．772×106 B．77.2×107 C．7.72×108 D．7.72×109
【考点】科学记数法—示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于772000000有9位，所以可以确定n=9-1=8．
【解答】解：772000000=7.72×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
【例7】（2020•赤峰2/26）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（　　）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000099＝9.9×10-9，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
知识点3：实数的运算

知识点梳理

1．运算律：
（1）加法交换律：a＋b＝ b＋a ．
（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)．
（3）乘法交换律：ab＝ba．
（4）乘法结合律：(ab)c＝ a(bc)．
（5）乘法分配律：a(b＋c)＝ ab＋ac．
2．几种常见的运算：
（1）乘方：an=a·a·····a(n个a相乘)
（2）零次幂：任何非零实数的零次幂都为1，即a0= 1 (a≠0) 
（3）负整数次幂：规定a-n=(a≠0，n为正整数)，特别地，a-1=(a≠0) 
（4）-1的整数次幂：(-1)n=
3．运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先进行 括号内的 运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行． 
【注意】在进行负整数指数幂的运算时，防止出现以下错误：（1）3-2= （2）2a-2=．
典型例题

【例8】（2020•青海21/28）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则运算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
巩固训练

1.（2020•新疆兵团1/23）下列各数中，是负数的为　　
A． B．0 C．0.2 D．
2.（2020•赤峰1/26）实数|﹣5|，﹣3，0，中，最小的数是（　　）
A．|﹣5| B．﹣3 C．0 D．
3.（2020•海南1/22）实数3的相反数是　　
A．3 B． C． D．
4.（2019•北京市4/28）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5.（2020•兴安盟•呼伦贝尔1/26）的绝对值是　　
A． B．2020 C． D．
6.（2020•包头3/26）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
7.（2020•天津6/25）估计的值在　　
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8.（2020•福建6/25）如图，数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的结果可能是（ ）

A． B．1 C．2 D．3
9.（2020•北京11/28）写出一个比大且比小的整数 ．
10.（2020•天津3/25）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
11.（2020•陕西3/25）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
12. （2020•青海3/28）岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为 米．纳米米）
13.（2020•山西16（1）/23）计算：．
14.（2020•安徽11/23）计算： ．
15.（2020•天津1/25）计算的结果等于　　
A．10 B． C．50 D．
16.（2020•呼和浩特2/24）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：，0，，，，则这5天他共背诵汉语成语　　
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
17.（2020•山西1/23）计算的结果是　　
A． B．2 C．18 D．
18.（2020•北京17/28）计算：++|﹣2|﹣6sin45°．
19.（2019·安徽省8/23）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（　　）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
20.（2019·河北省20/26）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
巩固训练解析

1.（2020•新疆兵团1/23）下列各数中，是负数的为　　
A． B．0 C．0.2 D．
【考点】正数和负数
【分析】利用正数与负数的定义判断即可．
【解答】解：是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；是正数．
故选：A．
【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.（2020•赤峰1/26）实数|﹣5|，﹣3，0，中，最小的数是（　　）
A．|﹣5| B．﹣3 C．0 D．
【考点】算术平方根；实数大小比较．
【答案】B
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣5|＝5，＝2，﹣3＜0＜2＜5，
∴﹣3是最小的数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3.（2020•海南1/22）实数3的相反数是　　
A．3 B． C． D．
【考点】相反数；实数的性质
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数3的相反数是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
4.（2019•北京市4/28）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【考点】数轴．
【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
5.（2020•兴安盟•呼伦贝尔1/26）的绝对值是　　
A． B．2020 C． D．
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义直接解答．
【解答】解：根据绝对值的概念可知：，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
6.（2020•包头3/26）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
【考点】数轴．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
|2a+1|＝3，
解得，a＝1或a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查绝对值的意义，利用方程求解是常用的方法．
7.（2020•天津6/25）估计的值在　　
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【考点】估算无理数的大小
【分析】用“夹逼法”找到在哪两个可化为整数的二次根式之间即可．
【解答】解：，
，
故选：B．
【点评】考查估算无理数大小的知识；用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
8.（2020•福建6/25）如图，数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的结果可能是（ ）

A． B．1 C．2 D．3
【考点】实数与数轴
【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得，的结果可能是2．
【解答】解：，所对应的实数分别为，，
，
的结果可能是2．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9.（2020•北京11/28）写出一个比大且比小的整数　2或3（答案不唯一）　．
【考点】估算无理数的大小．有
【答案】见试题解答内容
【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可．
【解答】解：∵1＜＜2，3＜＜4，
∴比大且比小的整数2或3（答案不唯一）．
故答案为：2或3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出和的大小是解答此题的关键．
10.（2020•天津3/25）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11.（2020•陕西3/25）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12. （2020•青海3/28）岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为　　米．纳米米）
【考点】科学记数法表示较小的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米米米．
故答案为：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.（2020•山西16（1）/23）计算：．
【考点】有理数的混合运算
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）


．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算．
14.（2020•安徽11/23）计算：　2　．
【考点】实数的运算
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
15.（2020•天津1/25）计算的结果等于　　
A．10 B． C．50 D．
【考点】有理数的加法
【分析】根据有理数的加法法则计算即可，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的数的绝对值减去较小的数的绝对值．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键．
16.（2020•呼和浩特2/24）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：，0，，，，则这5天他共背诵汉语成语　　
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
【考点】正数和负数；有理数的混合运算
【分析】根据总成语数天数据记录结果的和，即可求解．
【解答】解：个，
这5天他共背诵汉语成语38个，
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键．
17.（2020•山西1/23）计算的结果是　　
A． B．2 C．18 D．
【考点】有理数的除法
【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以一个数，等于乘以这个数的倒数．
【解答】解：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.（2020•北京17/28）计算：++|﹣2|﹣6sin45°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+3+2﹣3
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19.（2019·安徽省8/23）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（　　）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．
【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），
2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），
∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．
20.（2019·河北省20/26）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9
＝3﹣6﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12；
（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
∴1××6□9＝﹣6，
∴3□9＝﹣6，
∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，
理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
∴这个最小数是﹣20．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．