专题21 图形的变化（课件）

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1．平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移．2．平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，平移前后的图形全等，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动．（2）图形平移后，对应线段相等且平行，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同．（3）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3. 确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离．4. 平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．5. 画平移图形：必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．
【例1】（2020•上海6/25）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．
【例2】（2020•青海4/28）如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
【解答】解：∵△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，∴AD=CF=2，AC=DF，∵△ABC的周长为8，∴AB+BC+AC=8，∴AB+BC+DF=8，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD =AB+BC+DF+AD+CF =8+2+2 =12．故答案为12．
1. 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．图形轴对称的性质：（1）轴对称图形变换不改变图形的 形状 和 大小 ，只改变图形的 位置 ．关于某条直线对称的两个图形是全等形，对应线段、对应角相等．（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
3．轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．4．轴对称图形的定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：（1）轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系． （2）两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
【例3】（2020•山西2/23）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．
【例4】（2020•青海16/28）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得： 故选：A．
1. 旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．2．旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4. 中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形．（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．5. 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．6. 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
7. 中心对称与中心对称图形区别与联系：（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
8. 中心对称与轴对称的区别与联系：（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
【例5】（2020•赤峰3/26）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　）
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．【解答】解：A、最小旋转角度＝ ＝120°；B、最小旋转角度＝ ＝180°；C、最小旋转角度＝ ＝45°；D、不是旋转对称图形；综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C．故选：C．
【例6】（2020•海南7/22）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（ ） A．1 cm B．2 cm C． D．
【分析】由直角三角形的性质得到AB=2AC=2，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到AB′= BB′．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1 cm，∴ ，则AB=2AC=2 cm．又由旋转的性质知， ，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′= BB′．根据旋转的性质知AB= AB′= BB′=2 cm．故选：B．
【例7】（2020•江西16/23）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据 ， ，AC=5，利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．（2）如图2中，△AB′C′即为所求．
【例8】（2020•北京4/28）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
1. 关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）.2. 关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）.3. 关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）.
【例9】（2020•广东3/25）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）A．（-3，2）B．（-2，3）C．（2，-3）D．（3，-2）
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，-2）．故选：D．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【例10】（2019·河南省10/23）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．
1．比例的有关概念和性质：（1）线段的比：在同一 单位长度 下，两条线段的长度之比，叫做两条线段的比．（2）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例．（3）第四比例项：若 或a:b=c:d，那么d 叫作a、b、c的第四比例项．（4）比例中项：若 或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项．（5）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 另外两条线段 的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
（6）比例的基本性质： ．（7）合比性质： ．（8）等比性质： ．（9）黄金分割：若线段AB上的一点P，把线段AB分成AP、BP两部分，并且使 ，即较长线段（AP）是原线段AB与较短线段（BP）的比例中项，就叫作把这条线段黄金分割．即AP2=AB•BP， ．一条线段的黄金分割点有两个．
（10）平行线分线段成比例定理：①三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②平行于三角形一边截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．③如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．④平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
2．相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
（2）相似三角形的性质： ①对应角相等． ②对应边 成比例 ． ③对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比． ④周长之比等于 相似比 ． ⑤面积之比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似． ②两角对应相等，两三角形相似． ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． ④三边对应成比例，两三角形相似． ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
3．相似多边形的性质：（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．4. 图形的位似：（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
【例11】（2020•吉林12/26）如图，AB∥CD∥EF．若 ，BD=5，则DF= ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ，∴DF=2BD=2×5=10．故答案为10．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【例12】（2020•通辽22/26）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2=PB·PA，求证：AB⊥CD．
【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB=PA：PD，∴PC·PD=PA·PB，∵PC2=PB·PA，∴PC=PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．
【例13】（2020•上海14/25）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴ ，∴ ，∴AC=7（米），答：井深AC为7米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确地识别图形是解题的关键．
【例14】（2020•重庆B卷6/26）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．