2022届中考典型解答题专题练习：一次函数图像的交点问题（二）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=−23x+43 与 x 轴交于点 A，直线 l2:y=2x+b 与 x 轴交于点 B，且与直线 l1 交于点 C−1,m．
（1）求 m 和 b 的值．
（2）求 △ABC 的面积．
（3）若将直线 l2 向下平移 t（t>0）个单位长度后，所得到的直线与直线 l1 的交点在第一象限，直接写出 t 的取值范围．

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与 x 轴交于点 A，与过点 B0,2 且平行于 x 轴的直线 l 交于点 C，点 A 关于直线 l 的对称点为点 D．
（1）求点 C，D 的坐标．
（2）将直线 y=x+4 在直线 l 上方的部分和线段 CD 记为一个新的图象 G，若直线 y=−12x+b 与图象 G 有两个公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）若点 P 在 y 轴上，且 S△AOP=12S△AOB，求点 P 的坐标．

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点．
（1）求 A，B 两点的坐标．
（2）若点 M 为直线 y=mx 上一点，且 △ABM 是等腰直角三角形，求 m 值．
（3）过 A 点的直线 y=kx−2k 交 y 轴于负半轴于 P，N 点的横坐标为 −1，过 N 点的直线 y=k2x−k2 交 AP 于点 M，试探究 PM 与 PN 之间的数量关系．

5. 在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−2x+6 与坐标轴交于 A，B 两点，直线 l2:y=kx+2k>0 与坐标轴交于点 C，D，直线 l1，l2 相交于点 E．
（1）当 k=2 时，求两条直线与 x 轴围成的 △BDE 的面积．
（2）点 Pa,b 在直线 l2:y=kx+2k>0 上，且点 P 在第二象限．当四边形 OBEC 的面积为 233 时．
①求 k 的值．
②若 m=a+b，求 m 的取值范围．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=k1x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，且 OB=3OA，直线 l2:y=k2x+b 经过点 C3,1，与 x 轴、 y 轴、直线 AB 分别交于点 E，F，D 三点．
（1）求直线 l1 的解析式．
（2）如图 1，连接 CB，当 CD⊥AB 时，求点 D 的坐标和 △BCD 的面积．
（3）如图 2，当点 D 在直线 AB 上运动时，在坐标轴上是否存在点 Q，使 △QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−3,5，B−2,1，C−1,3．
（1）画出将 △ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90∘ 得到 △A1B1C1，直接写出线段 BC 扫过的图形面积．
（2）在 y 轴上找一点 P，使 ∣PA1−PC1∣ 的值最大，直接写出点 P 的坐标．

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．点 C 在第四象限，BC⊥BA，且 BC=BA．
（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的横坐标为 ．
（2）设 BC 与 x 轴交于点 D，连接 AC，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E．若射线 AO 平分 ∠BAC，用等式表示线段 AD 与 CE 的数量关系，并证明．

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−23x+4 分别交 x，y 轴于 B，A 两点，将 △AOB 沿直线 l2:y=2x−92 折叠，使点 B 落在 y 轴上的点 C 处．
（1）①点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ．
②求点 C 的坐标．
（2）①点 D 在线段 BA 上，当 △CDB 与 △CDO 面积相等时，求 OD 所在直线的解析式．
②如图，在①的条件下，以 OD 为一边作正方形 OPQD（点 Q 在第二象限），则点 Q 的坐标为 ．
（3）在射线 BA 上是否还存在其它的点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等?若存在，求出点 Dʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 如图，直线 y=−2x+4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 B，点 C0,−2 在 y 轴上，连接 AC．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）若点 P 是直线 AB 上一点，若 △APC 的面积为 4，求点 P．
（3）过点 B 作直线 BE 交 x 轴于点 H（H 点在点 A 右侧），当 ∠ABE=45∘ 时，求直线 BE．
答案
第一部分
1. （1） C 在 l1 上，当 x=−1 时，m=−23×−1+43=2，故 C−1,2，
又 C 在 l2 上，故当 x=−1 时，y=−2+b=2，因此 l2=2x+4，此时 b=4．
（2） 由题意可知：
在直线 l1 上：令 y=0，0=−23x+43，
解得 x=2，即 A 点坐标为 2,0，
令 x=−1，y=−23×−1+43=63=2，即 C 点坐标为 −1,2，
在直线 l2 上：令 y=0，0=2x+4，
解得 x=−2，即 B 点坐标为 −2,0，
∴AB=4，在 △ABC 中 AB 边上的高为 2，
故 S△ABC=4×2×12=4．
（3） 83【解析】将 l2 下移 t（t>0）个单位长度后，得到的直线方程为：y=2x+4−t，
求它与 l1 的交点，故联立直线 l1，l2 的方程，
得：y=−23x+43,y=2x+4−t, 解得 x=38t−1,y=−14t+2,
又交点在第一象限，因此 t 满足 38t−1>0,−14t+2>0, 解得：83故 t 的取值范围是 832. （1） 因为直线 y=x+4 与 x 轴交于点 A，
所以 A−4,0，
因为直线 y=x+4 与过点 B0,2 且平行于 x 轴的直线 l 交于点 C，
所以 C−2,2，
因为点 A 关于直线 l 的对称点为点 D，
所以 D−4,4．
（2） 当直线 y=−12x+b 经过点 C−2,2 时，
所以 2=−12×−2+b，解得 b=1，
当直线 y=−12x+b 经过点 D−4,4 时，
所以 4=−12×−4+b，解得 b=2，
所以 13. （1） 令 x=0，得 y=4．
令 y=0，得 x=2．
∴A0,4，B2,0．
（2） ∵S△AOB=12×2×4=4，
∴S△BOP=12S△AOB=2．
∴12×OA×OP=2，
∴12×2×OP=2，
∴OP=2，
∵P 点在 y 轴上，
∴P10,−2，P20,2．
4. （1） y=−2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，
令 y=0，则 x=2；令 x=0，则 y=4，
∴A2,0，B0,4．
（2） （1）当 m>0 时，分三种情况：
①如图 1，当 BM⊥BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN⊥y 轴于 N，
∵BM⊥BA，MN⊥y 轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90∘，
∴∠NBM+∠NMB=90∘，∠ABO+∠NBM=90∘，
∴∠ABO=∠NMB，
在 △BMN 和 △ABO 中，
∠MNB=∠BOA,∠NMB=∠ABO,BM=AB,
∴△BMN≌△ABOAAS，
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M 的坐标为 4,6，
代入 y=mx 得：m=32；
如图 2，当 AM⊥BA，且 AM=BA 时，过 M 作 MN⊥x 轴于 N，
△BOA≌△ANMAAS，同理求出 M 的坐标为 6,2，m=13；
③如图 4，当 AM⊥BM，且 AM=BM 时，
过 M 作 MN⊥x 轴于 N，MH⊥y 轴于 H，
则 △BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设 Mx,x 代入 y=mx 得：x=mx，
∴m=1．
答：m 的值是 32 或 13 或 1．
（2）当 m<0 时，由（1）得：关于直线 AB:y=−2x+4，
同理可得：m=−14 或 −2．
（3） 如图，设 NM 与 x 轴的交点为 H，过 M 作 MG⊥x 轴于 G，
过 H 作 HD⊥x 轴，HD 交 MP 于 D 点，连接 ND，
由 y=k2 与 x 轴交于 H 点，
∴H1,0，
由 y=k2 与 y=kx−2k 交于 M 点，
∴M3,k，而 A2,0，
∴A 为 HG 的中点，
∴△AMG≌△ADHASA，
又 ∵N 点的横坐标为 −1，且在 y=k2 上，可得 N 的纵坐标为 −k，
同理 P 的纵坐标为 −2k，
∴ND 平行于 x 轴，且 N，D 的横坐标分别为 −1，1，
∴N 与 D 关于 y 轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴PM−PNAM=2，
∵PN=AM，
∴PMPN=3．
5. （1） ∵ 直线 l1:y=−2x+6 与坐标轴交于 A，B 两点，
∴ 当 y=0 时，得 x=3，当 x=0 时，y=6，
∴A0,6，B3,0，
当 k=2 时，直线 l2:y=2x+2k≠0，
∴C0,2，D−1,0，
解 y=−2x+6,y=2x+2.，得 x=1,y=4.
∴E1,4，
∴△BDE 的面积 =12×4×4=8．
（2） ①连接 OE，设 En,−2n+6，
∵S四边形OBEC=S△EOC+S△EOB，
∴12×2×n+12×3×−2n+6=233，
解得 n=23．
∴E23,143，
把点 E 代入 y=kx+2 中，143=23k+2，
解得 k=4．
② ∵ 直线 y=4k+2 交 x 轴于 D，
∴D−12,0，
∵Pa,b 在第二象限，在线段 CD 上，
∴−12 ∴b=4a+2，
∴m=a+b=5a+2，
∴−12故答案为：−126. （1） y=k1x+6，
当 x=0 时，y=6，
∴OB=6，
∴OB=3OA，
∴OA=23，
∴A−23,0，
把 A−23,0 代入：y=k1x+6 中得：−23k1+6=0，k1=3，
∴ 直线 l1 的解析式为：y=3x+6．
（2） 方法一：
∵CD⊥AB，
∴k2=−33，
∴ 直线 l2 解析式 y=−33x+b，
把 C3,1 代入 y=−33x+b 中，
得 −1+b=1，解得 b=2，
∴y=−33x+2，
联立 y=3x+b,y=−33x+2, 解得 x=−3,y=3,
∴D−3,3，
把 x=0 代入 y=−33x+2 中得 y=2，
∴F0,2，
∴BF=4，
∴S△BCD=S△DBF+S△CBF=12BF⋅xD+12BF⋅xC=12⋅BF⋅3+3=12×4×23=43.
【解析】方法二：
如图 1，过 C 作 CH⊥x 轴于 H．
∵C3,1，
∴OH=3，CH=1，
Rt△ABO 中，AB=62+232=43，
∴AB=2OA，
∴∠OBA=30∘，∠OAB=60∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADE=90∘，
∴∠AED=30∘，
∴EH=3，
∴OE=OH+EH=23，
∴E23,0，
把 E23,0 和 C3,1 代入 y=k2x+b 中得：
23k2+b=0,3k2+b=1, 解得：k2=−33,b=2,
∴ 直线 l2:y=−33x+2，
∴F0,2 即 BF=6−2=4，
则 y=−33x+2,y=3x+6, 解得 x=−3,y=3,
∴D−3,3，
∴S△BCD=12BFxC−xD=12×43+3=43．
（3） 存在，Q 坐标 0,±23 或 6−43,0 或 −43−6,0．
【解析】分四种情况：
①当 Q 在 y 轴的正半轴上时，
如图 2，过 D 作 DM⊥y 轴于 M，过 C 作 CN⊥y 轴于 N．
∵△QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，
∴∠CQD=90∘，CQ=DQ，
∴∠DMQ=∠CNQ=90∘，
∴∠MDQ=∠CQN．
在 △DMQ 和 △QNC 中，
∠MDQ=∠NQC,∠DMQ=∠CNQ,DQ=CQ,
∴△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=3，
设 Dm,3m+6m<0，则 Q0,−m+1，
∴OQ=QN+ON=OM+QM，
即 −m+1=3m+6+3，m=−5−33+1=1−23，
∴Q0,23；
②当 Q 在 x 轴的负半轴上时，
如图 3，过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 C 作 CN⊥x 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=1，
设 Dm,3m+6m<0，则 Qm+1,0，
∴OQ=QN−ON=OM−QM，
即 3m+6−3=−m−1，m=5−43，
∴Q6−43,0；
③当 Q 在 x 轴的负半轴上时，
如图 4，过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 C 作 CN⊥x 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=1，
设 Dm,3m+6m<0，则 Qm−1,0，
∴OQ=QN−ON=OM+QM，
即 −3m−6−3=−m+1，m=−43−5，
∴Q−43−6,0；
④当 Q 在 y 轴的负半轴上时，
如图 5，过 D 作 DM⊥y 轴于 M，过 C 作 CN⊥y 轴于 N．
同理得：△DMQ≌△QNCAAS，
∴DM=QN，QM=CN=3，
设 Dm,3m+6m<0，则 Q0,m+1，
∴OQ=QN−ON=OM+QM，
即 −3m−6+3=−m−1，m=−23−1，
∴Q0,−23．
综上，存在点 Q，使 △QCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，
点 Q 的坐标是 0,±23 或 6−43,0 或 −43−6,0．
7. （1） 所画 △A1B1C1 如图所示，
54π．
【解析】由图可知：SBC线段=S扇形OCC1−S扇形OBB1，
∵OC=12+32=10，OB=12+22=5，
∴S扇形OCC1=14π×102=52π，
S扇形OBB1=14π×52=54π，
∴S线段BC=52π−54π=54π．
（2） 0,−2．
【解析】连接 A1C1，并延长交 y 轴于点 P，
则 ∣PA1−PC1∣ 最大，
由图可知，点 P 坐标为 0,−2．
8. （1） 0,3；3,3−3k
【解析】∵y=kx+3，
∴B0,3，A−3k,0，
∴AB2=91+1k2，
∵kAB=k，
∴kBC=−1k，设 Cx,y，
∴−1k=y−3x−0,AB2=BC2⇒x=k3−y,x2+y−32=91+k2k2,
∴y=±3k+3，
∵y<0，
∴y=3−3k，
∴x=3，
∴C3,3−3k．
（2） CE=3k−3，
∵kBC:y=−xk+3，
令 y=−xk+3=0，
∴x=3k，
∴x3k,0，
∴AD=3k+3k，
∴AD−CE=3k+3k−3k−3=3k+1，
tan∠BAO=k，
∵AO 平分 ∠BAC，
∴tan∠EAC=ECAE=k，
∵AE=3+3k，EC=3k−3，
∴k2+2k−1=0，
∴k=2−1，
∴AD−CE=32．
9. （1） ① 0,4；6,0
②由题意知，C 点为 B 点关于直线 l2:y=2x−92 的对称点，
连接 BC，
则可知直线 BC 与直线 l2 垂直，且与直线 l2 交点为 BC 中点．
∴ 设直线 BC 解析式为 y=kx+b，则解析式满足：
k×2=−1,0=k×6+b, 解之得：k=−12,b=3.
故 BC 解析式为 y=−12x+3．
∴ 可知直线 BC 与直线 l2 交点满足：
y=−12x+3,y=2x−92,
解之得：x=3,y=32.
故交点为 3,32．
∴ 设点 C 的坐标为 x1,y1，则由 BC 中点为交点有：
x1+6=3×2,y1+0=32×2,
解之得：x1=0,y1=3,
故 C 点坐标为 0,3．
【解析】① ∵ 直线 l1:y=−23x+4 分别与 x，y 轴交于 B，A 两点，
∴ 当 x=0 时，y=−23×0+4=4，故 A 坐标 0,4．
当 y=0 时，0=−23x+4，解之得 x=6，故 B 坐标 6,0．
（2） ①点 D 在线段 BA 上，故可设点 D 坐标为 a,−23a+4，且 0≤a≤6，
∴ △CDO 可看为以 OC 为底，D 到 y 轴距离为高的三角形，
故 S△CDO=3×a×12=32a．
又 S△CDB=S△ABO−S△BCO−S△ADC=6×4×12−6×3×12−4−3×a×12=3−12a.
∵△CDB 与 △CDO 面积相等，故 32a=3−12a，解之得 a=32．
∴ 可知 D 坐标为 32,3 .设直线 OD 解析式为 y=k1x+b，将 O，D 两点代入有：3=32×k1+b1,0=k1×0+b1,
解之得：b1=0,k1=2, 故 OD 解析式为 y=2x．
② −32,92．
【解析】②由①可知 D32,3，OD 的解析式为 y=2x．
∵ODQP 为正方形且 OD=322+32=352，
∴ 可知 OD∥QP，且 D 到 QP 的距离 d=352．
∴ 设直线 QP 解析式为 y=k3x+b3，故解析式满足：
k3=2,d=k3×32+b3−3k32+C−D2=352, 解之得：k3=2,b3=±152.
∵ 点 Q 在第二象限，故 b3>0，b3=152．
∴QP 解析式为 y=2x+152．
此时又有直线 DQ 垂直于 QP，
∴ 设直线 DQ 解析式为 y=k4x+b4，故有：
k4×2=−1,3=k4×32+b4,
解之得：k4=−12,b4=154,
故 DQ 解析式为 y=−12x+154，
∴Q 为 DQ 与 QP 交点，故有：
y=−12x+154,y=2x+152, 解之得：x=−32,y=92.
故 Q 点的坐标为 −32,92．
（3） 由 2 中①问情况为 D 在线段 BA 上，即 D 为 BA 在第一象限点，
∴ 若射线 BA 上存在其它点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等，则此 Dʹ 应该在第二象限，
∴ 可设 Dʹ 坐标为 c,−23c+4，c<0．
∴ 可知 S△CDʹO=3×∣c∣×12=−32c．
S△CDʹB=S△CADʹ+S△CBA=4−3×∣c∣×12+4−3×6×12=−12c+3.
∴ 可知 S△CDʹO=S△CDʹB 时，
有 −32c=−12c+3，
解之得 c=−3．
∴ 此时，Dʹ 坐标为 −3,6，
∴ 存在 Dʹ，Dʹ 坐标为 −3,6．
10. （1） 直线 y=−2x+4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 B，
当 x=0 时，y=4，
当 y=0 时，x=2，
∴A2,0，B0,4．
（2） ∵S△ABC=6，
∴ 点 P 可在 AB 上或 BA 的延长线上，Px,−2x+4，
①当点 P 可在 AB 上时，
S△APC=S△ABC−S△BPC=6−12BC×x=6−12×6×x=4.
当 x=23，则 y=−2×23+4=83，
∴P123,83．
②当 P 在或 BA 的延长线上时，
S△APC=S△BPC−S△ABC=12BC×x−12BC×OA=12×6×x−6=3x−6=4.
当 x=103，则 y=−2×103+4=−83，
∴P2103,−83．
∴ 点 P 的坐标为 P123,83，P2103,−83．
（3） 如图所示，作 AD⊥BE，DG⊥DE，BH⊥GH．
设 a=AG，DG=b，a+b=4,a+2=b,
∴a=1，b=3，
∴D3,3，B0,4，
把点 D，B 代入 y=kx+b，得 3=3k+b,4=b,
∴b=4,k=−13,
∴BE 所在解析式为：y=−13x+4．