2020-2021学年9.5 多项式的因式分解学案及答案

第六讲：因式分解

一、主要内容     

1、因式分解步骤                   2、因式分解注意事项

二、基本概念

1、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．

1、计算20152﹣2014×2016的结果是（　 　）

　 A.﹣2 B.﹣1       C.0 D.1

【答案】D；

举一反三：【变式1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（   ）

A.      B.       

C.      D.

【答案】A；

【变式2】用简便方法计算：（1）；（2）.

【答案】

（1）原式

（2）原式

2、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

1、已知：x+y=3，xy=﹣8，求：

（1）x2+y2        （2）（x2﹣1）（y2﹣1）．

【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；

（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．

举一反三：【变式】已知为任意有理数，则多项式－1－的值为（   ）．

 A．一定为负数 B．不可能为正数  C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0

【答案】B； 提示：－1－＝.

三、课堂讲解                            

1、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？

【答案与解析】

解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），

当x=10，y=10时，x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，

故密码为103010或101030或301010．

2、分解因式：

（1）；   （2）；

（3）；   （4）．

【答案与解析】解：（1）．

（2）．

（3）

．

（4）．

3、分解因式：

（1）．

（2）．

【答案】

解：（1）原式

．

（2）原式

．

4、已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3．

【答案与解析】

解：a3b+2a2b2+ab3= ab（a2+2ab+b2）= ab（a+b）2

将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．

故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．

5、若,是整数,求证：是一个完全平方数.

【答案】解：

令∴上式

即

6、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：

那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？

我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？

因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.

那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.

【答案与解析】

解：如

7、若△ABC的三边长分别为、、,且满足，

        求证：.

【答案】解：

所以

所以所以

因为△ABC的三边长分别为、、，，

所以，矛盾，舍去.所以.

8、若（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=　          　．

【答案】4032．

解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，

∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）（2013﹣x）=4，

则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=4+2×2014=4032．

【达标检测】

一.选择题

1. 下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（　　）

A．﹣a2﹣b2    B．﹣a2+9       C．p2﹣（﹣q2）   D．a2﹣b3

2．是下列哪一个多项式分解的结果（    ）    

A．                   B．   

C．           D．

3. 有一个因式是,则另一个因式为(　　)

A.     B.    C.     D.

4. 如果可分解为,那么的值为(　　).

A.30         B.－30        C.60           D.－60

5. 已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（　 　）

　 A.4 B. 3   C.12 D.1

6. 下列各式中，是完全平方式的是（    ）

   A.      B.     Ｃ.    D.

二.填空题

7. 若，那么．

8. 利用因式分解计算：__________，____________.

9. 分解因式：x2﹣4x+4=　    　．

10. 若a+2b=﹣3，a2﹣4b2=24，则a﹣2b+1=　                　．

11. 分解因式： ＝_____________.

12. 用公式简算：＝________________.

三.解答题

13. 若，求的值.

14. 把下列各式因式分解

（1）              （2）

（3）           （4）.

15. 把称为立方和公式，

称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解:

(1)；     (2).

【答案与解析】

一.选择题

1.A；2.C；  3.C；   4.D；5.C；6.B；

二.填空题

7. 8；    8. ；  9. （x﹣2）2

10.4x，﹣4x，．   11.；  12.（1）；（2）.

三.解答题

13.解：.

14．

解：∵x﹣y=1，

∴（x﹣y）2=1，

即x2+y2﹣2xy=1；

∵x2+y2=25，

∴2xy=25﹣1，

解得xy=12．

15.

解：（1）

   （2）.