高中苏教版 (2019)3.2 双曲线课后复习题

这是一份高中苏教版 (2019)3.2 双曲线课后复习题，共15页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

题组一 根据双曲线的标准方程研究其几何性质
1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则( )
A.实轴长为42,虚轴长为2
B.实轴长为82,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为42
D.实轴长为4,虚轴长为82
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于 ( )
A.-14 B.-4 C.4 D.14
3.(2021江苏扬州高邮高二上学期期中学情调研)双曲线x24-y25=1的渐近线方程为 ( )
A.y=±52x B.y=±255x C.y=±45x D.y=±54x
4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期期中)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率为3,则实数a的值为( )
A.22 B.12 C.1 D.2
题组二 由双曲线的几何性质求其标准方程
5.(2020江苏泰州中学高二下学期期初检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是( )
A.x212-y2=1 B.x29-y23=1 C.x2-y23=1 D.x223-y232=1
6.(2021江苏南京六合大厂高级中学高二上学期10月学情调研)以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点的双曲线方程为( )
A.y23-x2=1 B.x2-y23=1 C.x24-y23=1 D.x23-y24=1
7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的方程为( )
A.x2-y2=12 B.x2-y2=1 C.x2-y2=2 D.x2-y2=2
8.(2021江苏淮安淮阴师范学院附属中学高二上学期期中)过点(3,-1)且与双曲线x23-y2=1有公共渐近线的双曲线的标准方程是 .
题组三 双曲线的渐近线
9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±22x C.y=±12x D.y=±2x
10.(2021江苏无锡江阴第一中学高二上学期期中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的两倍,则它的渐近线方程为( )
A.y=±12x B.y=±2x C.y=±2x D.y=±3x
11.在平面直角坐标系xOy中,若椭圆C:x29+y2m=1与双曲线T:x2-y2m=1有相同的焦点,则双曲线T的渐近线方程为 ( )
A.y=±14x B.y=±12x C.y=±4x D.y=±2x
12.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学期学情调研)已知离心率为2的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点.若△AOF的面积为2,则实数a的值为( )
A.2 B.22 C.4 D.8
题组四 求双曲线的离心率的值(范围)
13.(2021江苏泰州中学高二上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,若点P(43,0)到双曲线C:x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.4 C.2 D.3
14.(2020江苏淮安淮阴中学高二上学期期末)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.233
15.(2021江苏南京秦淮中学高二上学期第一次段考)若双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的渐近线与圆(x-3)2+y2=1无交点,则C的离心率的取值范围为( )
A.1,324 B.1,233
C.324,+∞ D.233,+∞
能力提升练
题组一 双曲线的几何性质及其应用
1.(2020江苏南通高二上学期第一次教学质量调研,)若实数k满足0A.离心率相等 B.虚半轴长相等
C.实半轴长相等 D.焦距相等
2.(2021江苏南京田家炳高级中学高二上学期10月检测,)已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点,以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若△ABF的面积为4a2,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3
C.2 D.5
3.(2020江苏常州前黄高级中学高二上学期期末,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在C的一条渐近线x+2y=0上,O为坐标原点,若OF=PF,且△POF的面积为22,则C的方程为( )
A.x22-y2=1 B.x24-y22=1
C.x26-y23=1 D.x28-y24=1
4.(2021江苏扬州大学附属中学高二上学期期中,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,B为其左、右顶点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且
∠MAB=30°,则双曲线的离心率为( )
A.212 B.213
C.193 D.192
5.(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中,)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a29的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于P,若FP=2FE,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±223x B.y=±196x
C.y=±155x D.y=±62x
6.(2021江苏南京高二上学期期中,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A,B两点,A,B两点分别在一、四象限,若AFBF=513,则双曲线C的离心率为( )
A.1312 B.133 C.135 D.13
7.(2020江苏南通高二上学期第一次教学质量调研,)在平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的右焦点作垂直于x轴的直线l,l与双曲线的渐近线交于A、B两点,且三角形ABO为等腰直角三角形,若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为 .
8.[2021新高考八省(市)1月联考,]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,AF=BF.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
题组二 双曲线几何性质的综合应用
9.(2021江苏南京人民中学高二上学期9月月考,)下列三图形中的多边形均为正多边形,M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的F1,F2为焦点(焦点在x轴上),设图①,图②,图③中的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则e1,e2,e3的大小关系为( )
A.e1>e2>e3 B.e1C.e2=e3e2
10.(多选)(2021江苏宿迁沭阳修远中学、洪翔中学高二上学期第一次联考,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1·PF2=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.△PF1F2的面积为1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2
D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
11.(多选)(2021江苏南京天印高级中学高二上学期10月学情调研,)已知点P在双曲线x216-y29=1上,F1,F2分别是左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列判断正确的是( )
A.点P到x轴的距离为203
B.PF1+PF2=503
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2=π3
12.(2021江苏扬州中学高二上学期期中,)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,求3e1+e24的最小值.
13.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为x232-y24=1,可得a=42,b=2,所以双曲线的实轴长为82,虚轴长为4.
2.A 双曲线方程化为标准方程为y2-x2-1m=1,则有a2=1,b2=-1m.由题意得,2=-1m,解得m=-14.
3.A 双曲线x24-y25=1中,a=2,b=5,所以双曲线x24-y25=1的渐近线方程为y=±bax=±52x.故选A.
4.A 双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率为3,故a2+1a=3,解得a=22.
故选A.
5.C 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,∴双曲线C的标准方程是x2-y23=1.故选C.
6.B 由椭圆x24+y23=1得焦点为(±1,0),左、右顶点分别为(2,0)、(-2,0).
∴双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3.
则双曲线的标准方程为x2-y23=1.故选B.
7.B 因为曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,所以a2=b2,
则c=a2+b2=2a,所以双曲线的焦点坐标为(±2a,0),渐近线方程为x±y=0,
因为焦点到渐近线的距离为1,所以2a2=1,解得a=1,则双曲线的标准方程为x2-y2=1.
故选B.
8.答案 x26-y22=1
解析 设与双曲线x23-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是x23-y2=λ(λ≠0),
因为双曲线x23-y2=λ过点(3,-1),
所以93-(-1)2=λ,即λ=2,
所以所求双曲线的标准方程为x26-y22=1.
9.B 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62,即ca=62.
又ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=62,所以b2a2=12,ba=22.
故双曲线的渐近线方程为y=±22x.故选B.
10.A 因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的两倍,所以2a=4b,故ba=12,所以该双曲线的渐近线方程为y=±12x.故选A.
11.D 因为椭圆C:x29+y2m=1与双曲线T:x2-y2m=1有相同的焦点,
所以它们的焦点在x轴上,
所以9-m=1+m,解得m=4,
故双曲线T:x2-y24=1,双曲线T的渐近线方程为y=±2x.故选D.
易错警示
在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中有a2-b2=c2,在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中有a2+b2=c2,注意不要混淆.
12.A 因为双曲线的离心率为2,
所以c=2a,则c2=2a2=a2+b2,所以a=b,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,则∠AOF=45°,
易知∠OAF=90°,所以△AOF为等腰直角三角形,
所以S△AOF=12c·12c=2,解得c=22,所以a=2.故选A.
13.A 双曲线C:x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线为3x-ay=0,则1239+(-a)2=6,解得a=3,e=ca=9+33=2.故选A.
14.A 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,
则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离d=|2b+a×0|a2+b2=2bc=22-12,即4(c2-a2)c2=3,
整理可得c2=4a2,故双曲线的离心率e=c2a2=4=2.故选A.
解题通法
求双曲线的离心率的值(范围)常用两种方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),求解即可.
15.C 由题意知,双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,
不妨取y=bax,即bx-ay=0,则圆心(3,0)到此直线的距离d=3ba2+b2>1,
解得8b2>a2,即8(c2-a2)>a2,即e2>98,又e>1,
所以离心率的取值范围为e>324.故选C.
能力提升练
1.D ∵00,25-k>0,
∴双曲线x225-y29-k=1的实半轴长为5,虚半轴长为9-k,焦距为225+(9-k)=234-k,离心率为34-k5,
双曲线x225-k-y29=1的实半轴长为25-k,虚半轴长为3,焦距为2(25-k)+9=234-k,离心率为34-k25-k,
因此,两双曲线的焦距相等.故选D.
2.D 设双曲线的左焦点为F1,根据双曲线和圆的对称性知,圆过双曲线的左、右焦点,如图,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为矩形.
易知AF1-AF=2a,AF12+AF2=F1F2=(2c)2,
所以(AF1-AF)2=AF12-2AF1·AF+AF2=F1F2-2AF1·AF,
又因为S△ABF=S△AF1F=12AF1·AF=4a2,所以(2a)2=(2c)2-16a2,解得c=5a,
所以e=ca=5.故选D.
3.B ∵直线x+2y=0为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>b>0)的一条渐近线,
∴设双曲线C的方程为x22λ-y2λ=1(λ>0),则右焦点F(3λ,0),
故右焦点F到直线x+2y=0的距离d=3λ3=λ,
∴OP=2OF2-d2=22λ,
∴S△POF=12OP·d=12×22λ×λ=22,
∴λ=2,故C的方程为x24-y22=1.故选B.
4.B 由题意得双曲线的渐近线方程为y=±bax, 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,
联立y=bax,x2+y2=c2,可得x=a,y=b或x=-a,y=-b,
∴M(a,b),∵∠MAB=30°,∴直线AM的斜率k=33,
又k=b2a,∴3b2=4a2=3(c2-a2) ,即3c2=7a2 ,
则离心率e=ca=213.故选B.
5.A 结合题意画出图形,记右焦点为F1,如图:
由FP=2FE,知E为FP中点,又O是FF1中点,所以OE是△FPF1的中位线,所以OE∥PF1.
由题意知OE⊥EF,所以FP⊥F1P.
由题知OE=a3,所以F1P=2a3,结合双曲线的定义可得FP=2a+F1P=8a3,又△FPF1为直角三角形,所以FP2+F1P2=FF12,即8a32+2a32=(2c)2,即a2=917c2,由c2=a2+b2⇒a2=917(a2+b2),即b2a2=89,
所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±223x.故选A.
6.B 双曲线C的右焦点F(c,0),渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0,
根据题意画图如下:
由点到直线的距离公式可知AF=|bc|b2+a2=b,因为AFBF=513,所以BF=13b5,故AB=18b5,
设∠AOF=α,由双曲线的对称性可知∠AOB=2α,而tan α=ba,故tan 2α=ABOA=18b5a=18b5a,由二倍角的正切公式可知tan 2α=2tanα1-tan 2α=2aba2-b2,即18b5a=2aba2-b2,
化简可得4a2=9b2,所以e=ca=1+b2a2=139=133.故选B.
7.答案 x24-y24=1
解析 易知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,由三角形ABO为等腰直角三角形,可得
∠AOB=90°,
则ba=1,即a=b,则双曲线的渐近线方程为y=±x,
则a2=2,可得a=2,
所以双曲线的标准方程为x24-y24=1.
8.解析 (1)当BF⊥AF时,BF=b2a,
∵AF=BF,∴a+c=b2a,则a2+ac=c2-a2,
故(e-2)(e+1)=0,所以e=2(e=-1舍去).
(2)证明:由ca=2,得c=2a, 故双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,
设B(x0,y0),
当x0≠c时,tan∠BAF=y0x0+a,tan∠BFA=y0c-x0,
则tan 2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF=2y0x0+a1-y0x0+a2
=2y0(x0+a)(x0+a)2-y02,
因为B在双曲线C上,所以y02=3(x02-a2),
则tan 2∠BAF=2y0(x0+a)(x0+a)2-3(x02-a2)
=2y0(x0+a)2(2a2-x02+ax0)=y0(x0+a)(a+x0)(2a-x0)=y02a-x0=y0c-x0=tan∠BFA,
故∠BFA=2∠BAF.
当x0=c时,BF⊥AF,则AF=BF,∴∠BFA=90°,∠BAF=45°,
∴∠BFA=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
9.D ①设等边三角形的边长为2,
以F1F2所在直线为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则双曲线的焦点为(±1,0),且过点12,32,
∵点12,32到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是94+34=3和14+34=1,
∴此双曲线的实半轴长为3-12,∴e1=13-12=3+1.
②设正方形的边长为2,分别以两条对角线所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则双曲线的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),且过点12,12.
∵点12,12到两个焦点(-1,0),(1,0)的距离分别是94+14=102和14+14=22,
∴此双曲线的实半轴长为10-24,
∴e2=110-24=10+22.
③设正六边形的边长为2,以F1F2所在直线为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),且过点(1,3),
∵点(1,3)到两个焦点(-2,0)和(2,0)的距离分别为23和2,
∴此双曲线的实半轴长为3-1,
∴e3=23-1=3+1.
故e1=e3>e2.故选D.
10.AB 对于A,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以A正确;
对于B,由双曲线C:x2-y2=1,可得a=1,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),设P(x,y),则PF1=(-2-x,-y),PF2=(2-x,-y),
所以PF1·PF2=(-2-x)(2-x)+(-y)2=0,得x2+y2=2,
因为点P在双曲线上,所以x2-y2=1,解得|y|=22,所以△PF1F2的面积为12F1F2·|y|=12×22×22=1,所以B正确;
对于C,F1(-2,0)到一条渐近线x-y=0的距离为|-2|1+1=1,所以C错误;
对于D,由于 F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为2,所以圆的方程为x2+y2=2,所以D错误.
故选AB.
11.BC 由双曲线方程得a=4,b=3,则c=5,由△PF1F2的面积为20,
得12×2c×|yP|=12×10×|yP|=20,得|yP|=4,即点P到x轴的距离为4,故A错误;
将|yP|=4代入双曲线方程得|xP|=203,根据双曲线的对称性不妨设P203,4,
则PF2=203-52+42=133,由双曲线的定义知PF1-PF2=2a=8,
则PF1=8+133=373,则PF1+PF2=373+133=503,故B正确;
在△PF1F2中,PF1=373>2c=10>PF2=133,kPF2=4-0203-5=125>0,所以∠PF2F1为钝角,则△PF1F2为钝角三角形,故C正确;
cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1·PF2
=3732+1332-1002×133×373=319481≠12,故D错误.故选BC.
12.解析 设椭圆对应的参数为a1,b1,c,双曲线对应的参数为a2,b2,c,
由于线段PF1的垂直平分线过F2,所以F1F2=PF2=2c.
根据双曲线和椭圆的定义有PF1+2c=2a1,PF1-2c=2a2,两式相减得4c=2(a1-a2),即a1-a2=2c,所以a1=2c+a2.
所以3e1+e24=3a1c+c4a2=6+3a2c+c4a2≥6+23a2c·c4a2=6+3,
当且仅当c=23a2时取等号,
故3e1+e24的最小值为6+3.
13.解析 (1)由题意知a=23,
所以一条渐近线为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,所以b2=3.
所以双曲线的方程为x212-y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程代入双曲线方程,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.
所以x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.
由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),
所以t=4,点D的坐标为(43,3).